包振華, 王 翠

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029)

具有隨機(jī)保費(fèi)離散半馬爾可夫風(fēng)險(xiǎn)模型的生存概率

包振華, 王 翠

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029)

半馬爾可夫風(fēng)險(xiǎn)模型通過構(gòu)造一個(gè)外在的馬爾可夫環(huán)境來刻畫保險(xiǎn)公司所處環(huán)境的變化,可以用來處理保險(xiǎn)公司在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過程中出現(xiàn)的各種相依關(guān)系.考慮到保險(xiǎn)實(shí)踐中保費(fèi)收入具有不確定性，構(gòu)建一類具有隨機(jī)保費(fèi)收入的離散半馬爾可夫風(fēng)險(xiǎn)模型,其中保費(fèi)收入由一個(gè)獨(dú)立的二項(xiàng)過程來刻畫.利用概率生成函數(shù)的技巧,給出生存概率所滿足的遞歸計(jì)算公式.建立了生存概率在零初值時(shí)所滿足的2個(gè)線性方程，通過求解線性方程組可以給出零初值時(shí)生存概率的解析表達(dá)式，進(jìn)而利用遞歸公式得到任意初值的生存概率.作為應(yīng)用,最后對(duì)理論結(jié)果做了數(shù)值分析.

半馬爾可夫風(fēng)險(xiǎn)模型;隨機(jī)保費(fèi);生存概率

在風(fēng)險(xiǎn)理論中,馬爾可夫調(diào)節(jié)的風(fēng)險(xiǎn)模型通過構(gòu)造一個(gè)馬爾可夫外在環(huán)境來處理保險(xiǎn)公司實(shí)際運(yùn)營(yíng)中出現(xiàn)的各種相關(guān)關(guān)系,因而受到了保險(xiǎn)精算理論和實(shí)踐者的廣泛關(guān)注.離散半馬爾可夫風(fēng)險(xiǎn)模型假設(shè)索賠額受一個(gè)環(huán)境馬爾可夫鏈控制,此類模型最早由Reinhard和Snoussi[1-2]提出,他們得到了破產(chǎn)前盈余分布的遞歸計(jì)算公式.最近,Chen等[3-4]放松了文獻(xiàn)[1-2]中關(guān)于模型的一些設(shè)置條件,分別得到了期望貼現(xiàn)紅利以及生存概率滿足的遞歸公式.然而,上述文獻(xiàn)中都假設(shè)單位時(shí)間的保費(fèi)收入為常數(shù),這種限制一般不符合保險(xiǎn)實(shí)踐.Temnov[5]最早在模型中使用一個(gè)復(fù)合泊松過程來描述保費(fèi)收入,而用另一個(gè)獨(dú)立的復(fù)合泊松過程刻畫索賠額,得到了破產(chǎn)概率所滿足的卷積公式.此后,有眾多保險(xiǎn)精算文獻(xiàn)研究具有不同形式的隨機(jī)保費(fèi)收入模型,參見文獻(xiàn)[6-7]及所引文獻(xiàn).本文考慮具有隨機(jī)保費(fèi)收入的半馬爾可夫風(fēng)險(xiǎn)模型,得到了生存概率滿足的遞歸計(jì)算公式,并對(duì)理論結(jié)果做數(shù)值分析.

1 模型結(jié)構(gòu)

(1)

其中，u∈為保險(xiǎn)公司的初始盈余,非負(fù)整值隨機(jī)變量序列{Yi,i=1,2,…}表示索賠過程,并且Yt的分布是受環(huán)境馬爾可夫鏈影響,即Yt和Jt的條件聯(lián)合分布為

2 生存概率滿足的遞歸公式

(2)

(3)

(4)

解線性方程組(4)得

(5)

為了簡(jiǎn)化符號(hào),定義

(6)

由式(6)得

(7)

(8)

定理1 對(duì)于i=1,2以及k∈+,生存概率滿足遞歸計(jì)算公式:

(9)

證 由式(7)和式(8),只需說明當(dāng)f0=0且f1=0時(shí)不等式π1μ1+π2μ2≥1成立.注意到

(10)

等價(jià)地

(11)

(12)

在式(12)兩邊關(guān)于s求導(dǎo)得

(13)

(14)

其中，

經(jīng)計(jì)算得

(15)

其中，

(16)

現(xiàn)在考慮f0>0.令

(17)

3 數(shù)值分析

數(shù)值分析只考慮f0=0的情形,其他情形類似.索賠分布(表1)引自文獻(xiàn)[4].注意到當(dāng)p=1時(shí)，模型(1)即退化為文獻(xiàn)[4]中的風(fēng)險(xiǎn)模型.

表1 索賠的分布

表和的數(shù)值結(jié)果

[1] REINHARD J M，SNOUSSI M.On the distribution of the surplus prior to ruin in a discrete semi-Markov risk model[J].ASTIN Bull，2001，31(2):255-276.

[2] REINHARD J M，SNOUSSI M.The severity of ruin in a discrete semi-Markov risk model[J].Stochastic Models，2002，18(1):85-107.

[3] CHEN M，GUO J，WU X.Expected discounted dividends in a discrete semi-Markov risk model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，266(2):1-17.

[4] CHEN M，YUEN K C，GUO J.Survival probabilities in a discrete semi-Markov risk model[J]. Applied Mathematics and Computation，2014，232(2):205-215.

[5] TEMNOV G.Risk process with random income[J].Journal of Mathematical Sciences，2004，123(1):3780-3794.

[6] BAO Z H，LIU H.The compound binomial risk model with delayed claims and random income[J].Mathematical and Computer Modeling，2012,55(3/4):1315-1323.

[7] GAO J W，WU L Y.On the Gerber-Shiu discounted penalty function in a risk model with two types of delayed-claims and random income[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2014,269:42-52.

Survival probabilities with random premiums in a discrete semi-Markov risk model

BAOZhenhua，WANGCui

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

The semi-Markov risk model describes the changes for the insurance company by constructing an external Markov environment, which can be used to deal with the dependencies arisen in the operation of insurance company. Noting that the premiums received by the insurer are uncertain, we propose a class of discrete semi-Markov risk model with random premiums, in which the premiums are modeled by an independent binomial process. By using the technique of probability generating function, the recursive formulae for survival probabilities are obtained. We set up two linear equations satisfied by the survival probabilities with zero initial and the corresponding analytic expressions can be derived by solving the system of linear equations, then we can get the survival probabilities with arbitrary initials. As an application, the theoretical results are analyzed by a numerical example.

semi-Markov risk model;random premium;survival probability

2016-10-20 基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(15YJC910001)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(LR2014031)

包振華(1976-),男,遼寧大連人,遼寧師范大學(xué)教授,博士.

1000-1735(2017)01-0001-05

10.11679/lsxblk2017010001

O211.67

A