李莉莉, 苑春波, 史寧寧, 周月峰

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

一類多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng)的無源輸出調(diào)節(jié)問題

李莉莉, 苑春波, 史寧寧, 周月峰

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 遼寧 大連 116029)

基于無源性討論一類多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題.構(gòu)造分段Lyapunov泛函,利用平均駐留時(shí)間方法,分別設(shè)計(jì)多時(shí)滯全息反饋控制器和多時(shí)滯誤差反饋控制器.結(jié)合自由權(quán)矩陣方法和詹森積分不等式,以線性矩陣不等式的形式給出多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng)的無源輸出調(diào)節(jié)問題可解的充分條件.最后,用兩個(gè)仿真例子說明結(jié)果的有效性.

切換隨機(jī)系統(tǒng);多時(shí)滯;輸出調(diào)節(jié)問題;無源性;平均駐留時(shí)間

輸出調(diào)節(jié)問題是指通過設(shè)計(jì)反饋控制器實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)漸近跟蹤參考信號(hào)和漸近抑制擾動(dòng)信號(hào)的同時(shí),保持閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定,是控制領(lǐng)域的一個(gè)十分重要的課題.基于凸組合方法給出了一類線性切換系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題的可解性條件[1].為進(jìn)一步降低保守性,利用多Lyapunov函數(shù)方法研究了離散線性切換系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題[2].研究了具有切換外部系統(tǒng)的線性系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題,但系統(tǒng)本身是非切換系統(tǒng)[3].基于多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時(shí)間兩種方法給出了幾類切換系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題可解的條件[4].基于中心流形理論討論了非線性時(shí)滯系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題可解的條件[5].但到目前為止, 對(duì)于多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題的研究成果尚未見報(bào)道.又因無源性理論定義的存儲(chǔ)函數(shù)與系統(tǒng)能量緊密相關(guān), 所以常將存儲(chǔ)函數(shù)作為系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)用以分析系統(tǒng)穩(wěn)定性.受此啟發(fā),筆者將以無源性為工具, 基于平均駐留時(shí)間方法,結(jié)合自由權(quán)矩陣和詹森積分不等式,給出調(diào)節(jié)器和切換信號(hào)設(shè)計(jì)方案,保證多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題可解.最后,用數(shù)值例子說明結(jié)果的有效性.

1 問題描述與預(yù)備知識(shí)

考慮如下形式的一類多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng):

(1)

其中，x(t)∈n為狀態(tài),h0=0,hj≥0(j=1,2)是常時(shí)滯為定義在m維完備概率空間上的布朗運(yùn)動(dòng)且滿足E{dw(t)}=0和E{dw(t)2}=dt,z(t)是控制輸出,切換規(guī)則σ(t):是分段常值函數(shù),ui(t)∈m為第i個(gè)子系統(tǒng)的控制輸入,φ(θ)是[-h,0]上的一個(gè)向量值初始函數(shù),fi∈n×m是以非線性函數(shù)形式存在的隨機(jī)擾動(dòng),Aji,Bi,Ci,Fji為適當(dāng)維數(shù)的常矩陣,v(t)∈L2[0,+∞)是外部輸入變量,滿足外部系統(tǒng)

dv(t)=Sv(t)dt.

(2)

為了考慮系統(tǒng)(1)的輸出調(diào)節(jié)問題,做如下假設(shè):

假設(shè)1[6]存在實(shí)常陣G0i,G1i,G2i使

結(jié)合假設(shè)2, 系統(tǒng)(1), 系統(tǒng)(2)在全息反饋控制器

(3)

下的閉環(huán)系統(tǒng)為

(4)

結(jié)合假設(shè)3,系統(tǒng)(1), 系統(tǒng)(2)在誤差反饋控制器

(5)

下的閉環(huán)系統(tǒng)為

(6)

為解決本文涉及的問題,給出一些相關(guān)定義和引理．

定義1[4]令Nσ(t,T)表示切換信號(hào)σ(t)在[t,T]上切換次數(shù),T>t>0.如果存在N0≥0和Ta>0,使得Nσ(t,T)≤N0+(T-t)/Ta成立,則Ta稱為平均駐留時(shí)間.通常取N0=0.

引理1[6](詹森積分不等式)對(duì)于任意的常數(shù)矩陣Z=ZT>0，標(biāo)量h>0和向量函數(shù)x(·):[-h,0]→n使得成立.

2 全息反饋輸出調(diào)節(jié)問題

給出系統(tǒng)(1)在全息反饋控制器(3)下的閉環(huán)系統(tǒng)(4)的隨機(jī)無源輸出調(diào)節(jié)問題可解的充分條件.

定理1 若假設(shè)1和假設(shè)2成立,并且對(duì)于給定的常數(shù)0=h0≤h1≤h2,α>0和μ≥1,存在矩陣Pi>0,Qji>0,Zji>0，適當(dāng)維數(shù)矩陣K0i,K1i,K2i, 對(duì)稱可逆矩陣Ti以及標(biāo)量γ>0,εi>0使得

(7)

Pi≤εiI,

(8)

(9)

則存在全息反饋控制器(3)和滿足平均駐留時(shí)間條件

(10)

的任意切換信號(hào),使得系統(tǒng)(1)的輸出調(diào)節(jié)問題可解,其中，

證 構(gòu)造如下Lyapunov泛函

在t∈[tk,tk+1)上,對(duì)該式兩端同時(shí)積分之后取期望得到

(13)

(14)

3 誤差反饋輸出調(diào)節(jié)問題

給出系統(tǒng)(1)在誤差反饋控制器(5)下的閉環(huán)系統(tǒng)(6)的隨機(jī)無源輸出調(diào)節(jié)問題可解的充分條件.

(15)

(16)

(17)

證 選取Lyapunov泛函

4 數(shù)值例子

例1 考慮含有2個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng), 其中，

取滿足假設(shè)2的矩陣

圖1 切換策略

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出誤差

例2 考慮含有2個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)，其中，

取滿足假設(shè)3的下列矩陣

圖3 切換策略

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出誤差

5 結(jié) 論

基于平均駐留時(shí)間方法,以無源性為工具研究一類多時(shí)滯切換隨機(jī)系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題.結(jié)合自由權(quán)矩陣方法和詹森積分不等式,設(shè)計(jì)切換規(guī)則和全息、誤差兩種反饋控制器,以線性矩陣不等式的形式給出了輸出調(diào)節(jié)問題可解的充分條件.

[1] LIU Y,ZHAO J.Output regulation of a class of switched linear systems with disturbances[C].American Control Conference, Arlington VA,2001:882-883.

[2] 宋政一,聶紅,趙軍.線性離散切換系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)問題[J].控制與決策,2006,21(11):1249-1253.

[3] GAZI V.Output regulation of a class of linear systems with switched ecosystems[J].International Journal of Control,2007,80(10):1665-1675.

[4] 董瀟瀟.切換系統(tǒng)的輸出跟蹤與調(diào)節(jié)問題的研究[D].沈陽：東北大學(xué),2012.

[5] FRIDMAN E.Output regulation of nonlinear systems with delay[J].Systems & Control Letters,2003,50(2):81-93.

[6] LIAN J,SHI P,FENG Z.Passivity and passification for a class of uncertain switched stochastic time-delay systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics,2013,43(1):3-13.

Passive output regulation problem for a class of switched stochastic systems with multi-delays

LILili,YUANChunbo,SHINingning,ZHOUYuefeng

(School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian 116029, China)

This paper discusses the output regulation problem for a class of switched stochastic systems with multi-delays based on passive performance.Constructing a piecewise Lyapunov functional and using the average dwell time method, a full information feedback controller and an errorfeedback controllerare designed with multi-delays respectively.By combining the free-weighting matrix method and Jensen’s integral inequality, sufficient conditions for the solvability of the passive output regulation problem for switched stochastic systems with multi-delays are given in the form of linear matrix inequalities.Besides, two simulation examples are introduced to illustrate the validity of the results gained.

switched stochastic systems;multi-delays;output regulation;passivity;average dwell time

2016-09-20 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61304056；11671184)；大連市高層次人才創(chuàng)新支持計(jì)劃項(xiàng)目(2016RQ049) 作者簡(jiǎn)介：李莉莉(1982-)，女，遼寧大連人，遼寧師范大學(xué)副教授，博士．

1000-1735(2017)01-0006-08

10.11679/lsxblk2017010006

TP273

A