羅志強(qiáng) (郵編：246000)

安徽省安慶市第一中學(xué)

含參變量的分段函數(shù)的零點(diǎn)問題的特值分析法

羅志強(qiáng) (郵編：246000)

安徽省安慶市第一中學(xué)

近幾年高考數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)帶參變量的分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，題型新穎，思維靈活，中等難度，內(nèi)容豐富，切入點(diǎn)多.本文就圖象解法，通過例題來介紹自己的一點(diǎn)探索，期望對(duì)大家有所啟發(fā).

例1 (2015湖南理)已知

分析 本題函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y=x3和y=x2兩個(gè)函數(shù)組合而成的，直線x=a把這兩個(gè)函數(shù)圖象分成兩個(gè)部分，函數(shù)f(x)在直線x=a的左半部分是y=x3,右半部分是y=x2.由于a是變化的，故函數(shù)f(x)的圖象也不斷發(fā)生變化，為了方便分析，對(duì)a取特殊值進(jìn)行討論.

圖1

圖2

(1)取a=0,如圖1.函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)，由題意，是否存在實(shí)數(shù)b,使方程f(x)=b有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，故當(dāng)a=0時(shí)不符合題意.又函數(shù)f(x)右半部分是y=x2,函數(shù)y=x2的圖象是拋物線，對(duì)稱軸是x=0,結(jié)合圖1知，當(dāng)a<0時(shí),符合題意.

(2)取a=1,如圖2. 函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)，從而g(x)也是(-∞,+∞)內(nèi)的增函數(shù)不符合題意.又當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，有a2>a3成立，由圖象2可知，當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)，符合題意.又當(dāng)a∈(1.+∞)時(shí)，有a2

分析 本題函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y=2x-a和y=4(x-a)(x-2a)兩個(gè)函數(shù)組合而成的，分段函數(shù)的變量取值范圍不變，解析式中含有參變量.其中函數(shù)y=2x-a的圖形是指數(shù)函數(shù)圖形的上下平移，函數(shù)y=4(x-a)(x-2a)的零點(diǎn)是a和2a,符合題意的是f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)a進(jìn)行討論.問題是函數(shù)y=2x-a是否有零點(diǎn)，且函數(shù)y=4(x-a)(x-2a)的零點(diǎn)是否在分段的范圍內(nèi)(x≥1).問題看起來很復(fù)雜，若取特殊值來研究就簡(jiǎn)單了.

圖3

圖4

圖5

結(jié)合圖3知，當(dāng)a<0時(shí)函數(shù)y=2x-a的圖象是指數(shù)函數(shù)圖象的向上平移，圖象與x軸無交點(diǎn)，且函數(shù)y=4(x-a)(x-2a)的零點(diǎn)不是在分段(x≥1)的范圍內(nèi)，故f(x)無零點(diǎn).所以a≤0不符合題意.

(2)取a=1,f(x)=

(3)取a=2,

當(dāng)10,函數(shù)y=2x-a在分段范圍內(nèi)(x<1)有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)y=4(x-a)(x-2a)在分段范圍內(nèi)(x≥1)有兩個(gè)零點(diǎn)a和2a,故f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)a>2時(shí)，根據(jù)圖象分析，函數(shù)y=2x-a的圖象是指數(shù)函數(shù)圖象的向下平移，且2-a<0,函數(shù)y=2x-a在分段范圍內(nèi)(x<1)無零點(diǎn)，函數(shù)y=4(x-a)(x-2a)在分段范圍內(nèi)(x≥1)有兩個(gè)零點(diǎn)a和2a,故f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意.故a≥2符合題意.

兩道試題各有特點(diǎn)，例1分段函數(shù)中的變量的取值范圍含有參變量，函數(shù)解析式中不含參變量，例2則相反，分段函數(shù)的取值范圍確定，函數(shù)解析式中含有參變量.兩個(gè)函數(shù)的圖象隨參變量取值的變化，函數(shù)的圖象也在變，千姿百態(tài)，豐富多彩，給大家留有變幻想象的空間.雖然圖象不確定，但變化有規(guī)律.如何思考？怎么切入？我認(rèn)為圖形圖象是抓手，從特殊值或極端情況切入，思路簡(jiǎn)單，機(jī)智應(yīng)變.這兩道題有多種解法，都沒有圖象法簡(jiǎn)潔明朗，直奔主題.這兩道高考試題起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，考查常規(guī)常法與基礎(chǔ)知識(shí)基本技能，數(shù)形結(jié)合，考點(diǎn)多，入口寬.符合高考命題多考想、少考算的命題思維，是難得的函數(shù)圖象創(chuàng)新題.

2017-01-10)