徐乃楠，馬曉艷(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000)

中俄高中幾何教科書比較研究

徐乃楠，馬曉艷
(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000)

俄羅斯高中數(shù)學(xué)課程教科書在世界范圍內(nèi)廣受推崇，其中代數(shù)與數(shù)學(xué)分析初步和幾何分科編寫，幾何教科書重視數(shù)學(xué)公理化體系，具有較高的知識(shí)難度，對(duì)我國(guó)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂和實(shí)驗(yàn)教科書編寫具有重要的借鑒意義。

俄羅斯；幾何；高中教科書

俄羅斯聯(lián)邦高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求分為基礎(chǔ)水平(БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ)和專業(yè)水平(ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)兩個(gè)層次[1]，教育標(biāo)準(zhǔn)下有示范性教學(xué)大綱[2]，在教育標(biāo)準(zhǔn)和示范性大綱指導(dǎo)下還有著名數(shù)學(xué)家編寫的各種教科書。本文針對(duì)高中學(xué)段數(shù)學(xué)教科書的核心內(nèi)容——幾何模塊，選取我國(guó)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》(人教A版)和俄羅斯卡列寧和捷列圣編寫的《幾何》教科書,進(jìn)行文本比較研究。

1 俄羅斯《幾何》教材簡(jiǎn)介

捷列圣·德米特里·亞歷山德洛維奇(Терёшин Дмитрий Александрович，1967- )，是莫斯科物理技術(shù)學(xué)院(Московский физико технический институт)數(shù)學(xué)系的副教授，2010年曾獲得俄羅斯聯(lián)邦教育獎(jiǎng)，出版過(guò)13本立體幾何和數(shù)學(xué)奧林匹克方面的書籍。

莫斯科物理技術(shù)學(xué)院被譽(yù)為俄羅斯的MIT，一直積極參與數(shù)學(xué)教育研究和數(shù)學(xué)教科書、奧林匹克數(shù)學(xué)參考書編寫，尼科利斯基院士曾在那里工作過(guò)?？ɡ麑帯啔v山大·尤里耶維奇(Калинин Александр Юрьевич)是捷列圣的學(xué)生，1996年移居美國(guó)，現(xiàn)工作在亞馬遜公司。二人合寫的《幾何》(10-11年級(jí)合訂本)教科書由莫斯科繼續(xù)數(shù)學(xué)教育中心(Московский центр непрерывного математического образования)出版。該書是俄羅斯聯(lián)邦國(guó)家教育和科學(xué)部批準(zhǔn)使用的高中數(shù)學(xué)教科書，2011年莫斯科繼續(xù)數(shù)學(xué)教育中心出版了新修訂補(bǔ)充本[3]。俄羅斯的教科書有的專門用于基礎(chǔ)水平的學(xué)生學(xué)習(xí)使用的，有的是專門用于專業(yè)水平的學(xué)生使用，有的是同時(shí)可供基礎(chǔ)和專業(yè)水平的學(xué)生使用[4]。該書可以提供給10-11年級(jí)學(xué)生,用于專業(yè)水平的學(xué)習(xí)使用。

該書是合訂本，但在具體編寫中分為10、11兩個(gè)年級(jí)，主體知識(shí)內(nèi)容共有13個(gè)章節(jié)，具體章、節(jié)、內(nèi)容與我國(guó)高中幾何模塊比較情況如表1所示。其中帶有星號(hào)的知識(shí)點(diǎn)例如歐拉定理、空間三角形相等定理和相似定理、空間中的相似變換和移動(dòng)分類、旋轉(zhuǎn)體和多面體的非標(biāo)準(zhǔn)組合、圓錐曲線，以及整個(gè)第九章問(wèn)題解決的知識(shí)等內(nèi)容，教科書扉頁(yè)注釋中指出是“高于正常難度的內(nèi)容”。

表1 中俄高中幾何教科書主要內(nèi)容

中國(guó)幾何教科書內(nèi)容俄羅斯幾何教科書內(nèi)容模塊分類章節(jié)具體內(nèi)容模塊分類章節(jié)具體內(nèi)容幾何證明選講選修4-1相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì);直線與圓的位置關(guān)系;圓錐曲線性質(zhì)的探討空間變換第8章基本定義,變換,變換的一般性質(zhì);平移;繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng);中心對(duì)稱和平面對(duì)稱;空間中的相似變換;*空間三角形相等定理和相似定理;變換群;空間中的相似變換和移動(dòng)分類坐標(biāo)系與參數(shù)方程選修4-4坐標(biāo)系;參數(shù)方程問(wèn)題解決第9章*正棱錐中基本角的關(guān)系;棱錐和棱柱的底面上高的定義;求體積的輔助公式;輔助多面體的組合問(wèn)題旋轉(zhuǎn)體第10章初步認(rèn)識(shí),圓柱體、圓錐體、平截頭圓錐體;球面和球體;球面和部分球體;球與圓柱體、圓錐體、平截頭圓錐體的組合;兩個(gè)球面的相互位置關(guān)系,相互接觸的球面問(wèn)題;圓柱體、圓錐體、平截頭圓錐體與多面體的組合;切割線定理;球與多面體的組合;旋轉(zhuǎn)體和多面體的非標(biāo)準(zhǔn)組合;*圓錐曲線空間向量(后續(xù)部分)第11章向量積和混合積;向量積和混合積的幾何補(bǔ)充;空間直線方程;平面方程;一些實(shí)例;笛卡兒坐標(biāo)系;球面方程;坐標(biāo)法解決問(wèn)題的實(shí)例最大值和最小值問(wèn)題第12章引論;問(wèn)題解決實(shí)例;幾何不等式物體的體積和表面積第13章體積定義;直平行六面體體積,棱柱體積;體積計(jì)算方法,圓柱體積;四面體體積;棱錐和圓錐體積;球體和部分球體體積;表面積定義;閔可夫斯基表面積計(jì)算方法平面幾何學(xué)的理論和方法選編附件三角形角平分線的性質(zhì);解三角形;幾個(gè)三角形面積公式;與三角形基本元素相關(guān)的一些公式;內(nèi)角定理的一些推論;內(nèi)接多邊形和外切多邊形;平面點(diǎn)的幾何軌跡;賽瓦定理和梅涅勞斯定理

從整體上看，中國(guó)教科書的每?jī)?cè)內(nèi)容都是圍繞一個(gè)主體，每?jī)?cè)書由幾章組成，每章又由幾小節(jié)組成，知識(shí)劃分比較細(xì)致。中國(guó)人教A版教科書幾何部分分為必修和選修，其中必修部分共6章，大部分集中在必修2的內(nèi)容中，選修部分共4章,包括立體幾何、空間向量以及圓錐曲線內(nèi)容。俄羅斯教科書每?jī)?cè)包含了不一樣的主題，相同主題的內(nèi)容化為一章，因此從章節(jié)上看，相同知識(shí)點(diǎn)所劃分的章數(shù)比中國(guó)教科書多，知識(shí)形式比較全面。

2 中俄幾何知識(shí)結(jié)構(gòu)比較分析

2.1 兩國(guó)幾何教科書內(nèi)容不同

從整體內(nèi)容上看，兩國(guó)教科書中知識(shí)量差異較大，中國(guó)教科書所含內(nèi)容在俄羅斯教科書中都能找到，但是俄羅斯教科書中的一些知識(shí)在中國(guó)教科書中沒(méi)有體現(xiàn)，如“多面體最優(yōu)化、梅涅勞斯定理、賽瓦定理、空間求面坐標(biāo)系、定向曲面和麥比烏斯帶、星狀多面體、凸幾何分析、變換群”等，都是我們數(shù)學(xué)專業(yè)課中才能學(xué)到的內(nèi)容。從細(xì)節(jié)上看，俄羅斯教科書中多數(shù)知識(shí)點(diǎn)設(shè)置體現(xiàn)在習(xí)題中，中國(guó)教科書的知識(shí)點(diǎn)都設(shè)置在正文中，如：對(duì)于面面垂直的性質(zhì)定理,在俄羅斯教科書中是作為習(xí)題結(jié)論給出的。教科書中很多知識(shí)的學(xué)習(xí)都是通過(guò)學(xué)生探究交流、動(dòng)手探究實(shí)現(xiàn)的。

2.2 兩國(guó)幾何教科書知識(shí)安排順序不同

俄羅斯教科書的內(nèi)容組織建立在公理體系基礎(chǔ)上，第一章內(nèi)容把幾何公理作為引論,在全書知識(shí)內(nèi)容之前做好鋪墊，這對(duì)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有良好的影響，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論的抽象本質(zhì)和意義。然后，以公理為基礎(chǔ)來(lái)研究點(diǎn)、直線、平面之間的性質(zhì)及其位置關(guān)系，進(jìn)而研究以它們?yōu)樵亟M成的棱柱、棱錐、球等空間幾何體。我國(guó)高中教科書先把立體幾何作為開頭，在“空間幾何體結(jié)構(gòu)”內(nèi)容中展示了大量幾何體實(shí)物、模型、圖片等，學(xué)生可以感受空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，深入認(rèn)識(shí)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。中國(guó)教科書先學(xué)習(xí)多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念及體積和表面積，而俄羅斯教科書將其放在第二章、第六章和第十章,對(duì)多面體和旋轉(zhuǎn)體進(jìn)行分類講授。對(duì)于空間直線與平面平行與垂直的內(nèi)容，中國(guó)教科書將其放在一章中學(xué)習(xí)，其本意是把二者歸為空間中直線與平面的特殊位置關(guān)系這一類內(nèi)容，而俄羅斯教科書把這一內(nèi)容分為兩章，對(duì)平行與垂直分類討論，并且這兩章并不連續(xù)，中間是向量知識(shí)，對(duì)于垂直問(wèn)題可直接用向量法解決。

2.3 兩種教材習(xí)題設(shè)置不同

中國(guó)教科書在每節(jié)結(jié)束后會(huì)設(shè)置一些習(xí)題，使學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容。按難度分為A、B兩組，其中B組難度稍大，這樣設(shè)置有利于學(xué)生復(fù)習(xí)。俄羅斯教科書在每個(gè)單元教學(xué)內(nèi)容完成之后都有一個(gè)小小的習(xí)題系統(tǒng)，并且由簡(jiǎn)單到復(fù)雜層層遞進(jìn)，對(duì)教師和學(xué)生都有較高的要求。

3 對(duì)我國(guó)高中幾何教科書編寫的啟示

3.1 處理好高中幾何教科書難度

俄羅斯高中《幾何》教科書中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容涉及向量的數(shù)量積、混合積及其幾何意義，梅捏勞斯定理和賽瓦定理，多面體最優(yōu)化問(wèn)題，空間球面坐標(biāo)系，定向曲面與麥比烏斯帶，星狀多面體，凸幾何分析問(wèn)題，變換群等內(nèi)容，有的已經(jīng)超出教育標(biāo)準(zhǔn)的要求[5]。我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程對(duì)一些難度較高的數(shù)學(xué)知識(shí)不是沒(méi)有考慮，只是全都設(shè)計(jì)在選修課程當(dāng)中，編有獨(dú)立的選修教科書，內(nèi)容與必修課程的聯(lián)系不夠密切。選修系列涉及的幾何內(nèi)容有“對(duì)稱與群、歐拉公式與閉曲面分類、球面上的幾何、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充”等內(nèi)容，有的是俄羅斯高中數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有的。但這些選修知識(shí)需要各個(gè)學(xué)校、教師根據(jù)情況單獨(dú)開課，事實(shí)上很多學(xué)校老師也沒(méi)為學(xué)生開設(shè)這些專題講座，其原因主要是因?yàn)楦呖疾豢歼@些內(nèi)容，很多一線高中教師對(duì)這些現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容把握不好。俄羅斯高中教科書中難度較高的知識(shí)點(diǎn)，是在必修內(nèi)容或后續(xù)部分呈現(xiàn)的，二者聯(lián)系較為密切，有鮮明的接續(xù)性，我國(guó)高中教科書中的高難度知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生進(jìn)行更大范圍的拓展性學(xué)習(xí)，對(duì)提高學(xué)生掌握必修內(nèi)容的水平并不一定具有實(shí)質(zhì)性作用。

3.2 處理好高中幾何教科書的編寫方式

俄羅斯高中《幾何》教科書總體遵循直線順序編排幾何知識(shí)內(nèi)容，但也存在小螺旋編排結(jié)構(gòu)，例如，教科書第十年級(jí)的第三章“空間向量”主要討論“向量的定義、運(yùn)算和數(shù)量積”等內(nèi)容，第十一年級(jí)的第十一章繼續(xù)討論“空間向量(后續(xù)部分)”，內(nèi)容涉及“向量的混合積及幾何意義，空間直線、平面、球面方程的向量表達(dá)”等問(wèn)題。我國(guó)高中數(shù)學(xué)采用呈螺旋式上升方式編寫的教科書，代數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容混排，在一些知識(shí)點(diǎn)的螺旋編排銜接上需要我們進(jìn)一步完善的。另外，俄羅斯幾何教科書內(nèi)容建立在公理體系基礎(chǔ)上，第一章內(nèi)容基本把幾何公理作為引論,在全書知識(shí)點(diǎn)講授前做好鋪墊，幾何公理化是俄羅斯幾何教科書最顯著的特征。教育家們的理由是“它對(duì)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展給予良好的影響，有利于理解數(shù)學(xué)理論的抽象性的本質(zhì)和意義，保證了有可能把理論應(yīng)用到種種具體情況中去?！盵6]雖然受到西方新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)影響的俄羅斯數(shù)學(xué)教育改革中公理化特點(diǎn)逐漸弱化，在初中階段教科書中著名數(shù)學(xué)家沙雷金的直觀幾何影響很大，但俄羅斯大部分中小學(xué)幾何教科書主要還是以幾何公理化體系組織知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)綜合向量和坐標(biāo)幾何等現(xiàn)代幾何內(nèi)容,而平面解析幾何尤其是圓錐曲線內(nèi)容基本上是選修的內(nèi)容。因此，如何將直觀和邏輯有效地結(jié)合起來(lái)值得我們思考，平面幾何和空間幾何的統(tǒng)一教學(xué)體系究竟應(yīng)該包括哪些基本內(nèi)容需要我們深入研究[7]。

3.3 處理好高中代數(shù)和幾何課程分和問(wèn)題

關(guān)于教科書的分科編寫還是混合編寫的問(wèn)題，一直是我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程中爭(zhēng)論不休的問(wèn)題。爭(zhēng)論的雙方都有論據(jù)、各執(zhí)一詞。提倡綜合課程的認(rèn)為利于學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。提倡分科課程的認(rèn)為，不同教師負(fù)責(zé)不同科目有利于教師發(fā)揮自身優(yōu)勢(shì)，也有利于學(xué)生有指向性地學(xué)習(xí)不同數(shù)學(xué)知識(shí)。在這一點(diǎn)上俄羅斯小學(xué)(1～4年級(jí))教材是綜合課程，就叫《數(shù)學(xué)》，包括算數(shù)、代數(shù)初步和幾何課程初步的內(nèi)容，而初中5～6年級(jí)教材為《數(shù)學(xué)》，7～9年級(jí)則分為《代數(shù)》與《幾何》兩科，高中分為《代數(shù)與分析初步》和《幾何》。高中數(shù)學(xué)課程改革不要僅僅做表面文章，更應(yīng)關(guān)注課程內(nèi)容，關(guān)注課程和教科書的知識(shí)內(nèi)容。

[1]徐乃楠,孔凡哲.俄羅斯高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)最新進(jìn)展及啟示[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013(4):5-8.

[2]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數(shù)學(xué)示范性大綱最新進(jìn)展研究[J].長(zhǎng)春師范大學(xué)學(xué)報(bào),2014(3):117-124.

[3]А. Ю. Калинин, Д. А. Терёшин. Геометрия[M].10-11 классов(профильный уровни), Москва: МЦНМО,2011.

[4]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數(shù)學(xué)教科書研究及啟示[J].長(zhǎng)春師范大學(xué)學(xué)報(bào),2014(6):165-168.

[5]徐乃楠,孔凡哲,史寧中.俄羅斯高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)、示范性大綱和教科書的最新變化特征及啟示[J].全球教育展望,2015(1):100-109.

[6]A.A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陛,等,譯.北京:人民教育出版社,1984:169.

[7]徐乃楠.中俄高中數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)學(xué)史研究[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2014:275.

Comparative Research on the Geometric Textbooks Between Russian and Chinese

XU Nai-nan,MA Xiao-yan

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping Jilin 136000, China)

The Russian textbooks of senior high school mathematics curriculum is widely respected in the world, the geometry and algebra and mathematical analysis had division writing, Geometry textbook pays attention to mathematical axiomatic system, knowledge has a high difficulty, it is of great significance for the revision of the mathematical curriculum standards and textbooks of senior high school in China.

Russian；Geometry；Senior high school mathematical textbook

2017-01-02

國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金2012年度教育學(xué)重點(diǎn)課題“中小學(xué)理科教材國(guó)際比較研究”(AHA120008)；吉林省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“俄羅斯數(shù)學(xué)課程改革最新進(jìn)展研究”(GH14205)；吉林省教育廳“十三五”社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“中俄中小學(xué)數(shù)學(xué)課程比較研究”(吉教科文合字[2016]第176號(hào))。

徐乃楠(1979- )，女，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。

G423.07

A

2095-7602(2017)04-0112-05