張夢倩，宋漢文

(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

壓電懸臂梁機電耦合系統(tǒng)的建模及動力學特性分析

張夢倩，宋漢文

(同濟大學航空航天與力學學院，上海200092)

基于壓電能量采集器中最為經典的壓電懸臂梁模型展開研究?？紤]懸臂梁的陣型信息和軸向應變分布，這導致與梁耦合的壓電片的電邊界條件復雜。分別基于均勻電場分布和均勻電位移分布的兩種不同電邊界條件，深入探討壓電懸臂梁的機電耦合原理和耦合特性，并建立機電耦合系統(tǒng)的數學模型；在傳統(tǒng)一階能量采集電路的基礎上，在電路中加入電感，建立二階電路，并改進數學模型；對于加入電感后的模型，2階電路可以與其耦合的n自由度機械系統(tǒng)共同構成一個n+1自由度系統(tǒng)，從而可對耦合系統(tǒng)進行系統(tǒng)整體的仿真分析，同時深入研究不同電路元件對系統(tǒng)采集效率的影響，發(fā)現(xiàn)電感的加入可極大提高系統(tǒng)能量采集效率。

振動與波；壓電懸臂梁；機電耦合模型；系統(tǒng)仿真；功率優(yōu)化

隨著微電子（MEMS）技術的飛速發(fā)展，新型微能量采集器得到高度重視。壓電振動能量采集器具有結構簡單、能量轉換密度大、易于微型化、集成化的優(yōu)點，具有最為廣闊的研究前景。目前，基于壓電材料振動能量采集裝置的研究不斷深入，研究范圍也不斷擴大。研究領域涉及壓電材料的研究、采集器結構優(yōu)化、能量采集電路優(yōu)化以及壓電能量采集系統(tǒng)數學模型的構建和能量輸出的預測等。

經典的壓電能量采集裝置為壓電單晶片或壓電雙晶片構成的懸臂梁結構。然而微型化的壓電懸臂梁結構只能實現(xiàn)一定頻率下的振動能量收集，且固有頻率高，有效采集帶寬窄，難以在振動源多變的振動環(huán)境中保持較高發(fā)電效率。故而，為提高發(fā)電效率，對采集器結構提出了多種優(yōu)化方法，包括在懸臂梁結構末端增加質量塊，降低結構的固有頻率[1]；將多個固有頻率相近的單懸臂梁進行組合，設計一種懸臂梁陣列式結構[2,6]；Erturk提出一種L型多懸臂梁多質量塊結構，極大地縮小了第1階、第2階固有頻率之間的差距，在12階固有頻率之間實現(xiàn)內共振，提高采集帶寬[3]。

其次，數學模型的有效建立亦是準確預測系統(tǒng)能量輸出效率的關鍵?；诘湫偷膲弘姂冶哿航Y構和經典采集電路的機電耦合模型，其數學模型主要有：單自由度模型[1]、分布參數模型[4]、近似分布參數模型[5]和等效電路模型[14]等。其模型電學部分均簡化為只含負載的簡單電路，且假設沿懸臂梁縱向，壓電片上下表面間電場強度不變，建立以懸臂梁的位移x(t)和輸出電壓V(t)為基本變量的機電耦合模型。此時，耦合系統(tǒng)的數學模型可以表示為振動的2階微分方程和R-C電路的1階微分方程的耦合方程組。

在采集電路中加入電感，并以懸臂梁的位移x(t)和輸出電荷q(t)為基本變量，建立數學模型。假設壓電片表面電位移沿著懸臂梁縱向均勻分布，在該假設下，可將n自由度的機械系統(tǒng)的機電耦合模型簡化成n+1自由度的系統(tǒng)整體進行仿真分析。文中進一步研究了電感的加入對系統(tǒng)能量采集效率的影響，并發(fā)現(xiàn)，電路固有頻率對外激勵的頻率變化更為敏感，且電路固有頻率與懸臂梁一階固有頻率接近時，會大幅提高能量采集效率。

1 壓電懸臂梁數學建模

選擇經典的懸臂梁結構和電感電阻串聯(lián)的簡化電路構成的能量采集系統(tǒng)進行數學建模和動力學特性分析，如圖1所示。

圖1 壓電懸臂梁式壓電振動能量采集器模型示意圖

采集器由金屬基板、壓電晶片、基座和采集電路組成，其中壓電晶片作為機電轉換的重要媒介，選擇介電系數較高、性能更為穩(wěn)定的PZT型壓電陶瓷。壓電片PZT層通過環(huán)氧樹脂粘結到基板的上表面，沿厚度方向極化，并通過電極與外部采集電路相連。由于壓電材料的各種常數取決于電場、位移、應力和應變的方向，各個參數加雙下標表示其作用方向，其中應變系數d表示壓電片應變和電場強度之間關系。在文中所研究的結構中，壓電片表面的應變與其厚度方向的電場方向垂直，因此應變常數d31則表示1方向的應變和與其垂直的3方向電場之間的關系，因此稱之為壓電懸臂梁d31模型。金屬基板的一端固定在基座上，另一端自由。參數l、b、hs、hp分別表示壓電懸臂梁的長、寬、金屬基板的厚度以及PZT的厚度。由于壓電陶瓷上下表面電極的厚度很小，這里可以忽略不計。R、L分別表示外接采集電路的阻抗和電感系數。等效電容兩端電壓等于電阻電感兩端電壓總和。以懸臂梁的位移x(t)和輸出電荷q(t)為基本變量，分別在均與電場和均勻電位移兩種假設下建立數學模型。

1.1 均勻電場假設下耦合系統(tǒng)建模

建立2階電路，簡化電路圖如圖2所示。為了方便電路元件和力學系統(tǒng)參數的對應，選擇懸臂梁位移wrel(x,t)和電路的總電荷量q(t)為基本變量進行數學建模。

圖2 電路模型簡化

對于該壓電耦合模型，假設：

(1)簡化電路只含有串聯(lián)的電感和電阻，并與壓電片與電極形成的等效電容并聯(lián)；

(2)假設外界能量可以保證懸臂梁基座持續(xù)振動，以保證采集電路電能不間斷；

(3)壓電片在懸臂梁表面全覆蓋均勻分布，且電極與外部的收集電路相連，導電性良好，電場沿壓電片表面均勻分布。

選取壓電片的第一類本構方程為

懸臂梁的橫截面如圖1（b）所示，由此可知內力矩的表達式為

將內力矩表達式代入基礎位移激勵下懸臂梁振動的偏微分方程，可得

再來看電路方程。電路中的電荷量可以由壓電片電位移的積分獲得，于是有

由電荷表達式和電路圖(見圖2)，可得關于電路電壓的等式

整理可得以總電荷量q(t)為基本變量的電路方程為

將懸臂梁振動微分方程中的V(t)用變量q(t)代替，得到與2階電路耦合的壓電耦合系統(tǒng)的數學模型

容易看出，電路電感與力學系統(tǒng)的質量對應，阻抗與阻尼對應，電感與剛度對應。若截取第1階模態(tài)，將懸臂梁簡化成單自由度系統(tǒng)[1]，則該力電耦合系統(tǒng)可寫成方程組

可以看出，該壓電耦合系統(tǒng)的數學模型，不同于我們常見的力學系統(tǒng)，其廣義質量陣和廣義剛度矩陣都不對稱。

1.2 均勻電位移假設下耦合系統(tǒng)建模

再來看另一種建模方式。假設壓電片上的電位移沿壓電片均勻分布，此時，電位移D(t)只是關于時間t的函數，而電場分布E(x,t)則是關于x、t的函數。

取壓電片的本構方程[7]

通過懸臂梁橫截面，可積分得到懸臂梁的內力矩

其中

對于電路部分，假設電邊界條件是電位移均勻分布，于是

由于電場沿懸臂梁不均勻分布，故電壓分布也不均勻，故等效電容兩端電壓取均值。由壓電本構方程和電路方程，可得等式

整理可得均勻電位移假設下壓電耦合系統(tǒng)的數學模型

則式（11）、式（14）構成該假設下懸臂梁機電耦合系統(tǒng)的數學模型；將懸臂梁簡化成集中參數的單自由度模型，數學模型如式（16）所示

在該假設下，壓電耦合系統(tǒng)數學模型的廣義質量陣和廣義剛度陣均為對稱矩陣，便于下一步的研究計算。并且容易看出，以x(t)和q(t)為基本變量建立數學模型，可以更好地描述機電耦合系統(tǒng)中機械和電路之間的關系。電路電感與質量對應，表示系統(tǒng)動能，阻尼和電阻均是耗能項，而剛度和電容均為勢能項。

2 系統(tǒng)仿真及模型驗證

表1中給出了依據文獻[1]設定的壓電振動能量采集器的材料和結構參數。

表1 壓電振動能量采集器的材料和結構參數

給定2階電路電阻為1 000 Ω、電感為500 H，則電路固有頻率為25 Hz，懸臂梁系統(tǒng)的1階固有頻率為48 Hz；因此，簡化的集總參數模型輸出電壓的頻響函數應有25 Hz、48 Hz兩個峰值；分布參數模型截取梁的前3階，兩種模型仿真對比如圖3所示。

從電壓響應的頻譜我們容易看出，當外激勵頻率遠遠低于懸臂梁的第2階固有頻率時，可以用簡化的單自由度系統(tǒng)來近似模擬壓電懸臂梁。

接下來，采用單自由度模型進行仿真，驗證兩種電邊界條件下系統(tǒng)的理論頻響函數。這里，我們將單自由度力學模型和2階電路看作一個二自由度的系統(tǒng)，定義力學模型的質量、剛度、阻尼為該系統(tǒng)的第一自由度，電路的電感、電阻、電容為系統(tǒng)的第二自由度，兩自由度之間的耦合由機電耦合系數實現(xiàn)。

如圖4所示，實線表示均勻電位移假設下的系統(tǒng)頻響函數，虛線表示均勻電場假設下系統(tǒng)頻響函數。容易看出，均勻電場假設下，系統(tǒng)頻響函數H12和H21不對稱；除了H12，兩種電邊界條件假設下，系統(tǒng)理論頻響函數估計結果一致。即在弱耦合的條件下，在力學系統(tǒng)上施加外力激勵，兩種電邊界條件對系統(tǒng)位移響應和電壓響應估計結果一致；但若是在2階電路上施加電壓激勵，電邊界條件的不同假設則會導致響應估計產生較大誤差。

圖4 兩種邊界條件假設下頻響函數比較

在文中所述的能量采集系統(tǒng)中，電邊界條件假設不同對系統(tǒng)響應估計幾乎沒有影響。由于，均勻電位移假設下，系統(tǒng)的廣義質量陣和剛度陣均為對稱矩陣，方便進一步的系統(tǒng)仿真和證明，因此，接下來的研究將采用均勻電位移假設。

3 電路參數對采集性能的影響

3.1 電阻對系統(tǒng)采集效率的影響

在該系統(tǒng)中，電阻是耗能元件，以系統(tǒng)的總輸出電壓（加載在壓電片兩端的電壓）和電阻能耗作為判斷系統(tǒng)輸出效率的標準。

分別對200 Ω、1 000 Ω、5 000 Ω、10 000 Ω和50 000 Ω的阻抗進行系統(tǒng)仿真，系統(tǒng)輸出電壓及電阻耗能功率分別如圖5圖、圖6所示。

圖5 不同阻值下系統(tǒng)的輸出電壓

圖6 不同阻值下耗能電阻的能力損耗功率

在電路固有頻率處，阻尼越小，系統(tǒng)輸出電壓響應反而越大，而電阻能耗并沒有明顯變化，說明此時，電感對系統(tǒng)輸出電壓的大幅提高有顯著影響；而在機械系統(tǒng)固有頻率處，系統(tǒng)輸出電壓并不隨電阻的改變而有明顯變化，而隨著阻尼的增大，電阻耗能增加，電阻承擔更多電壓，相應，電感上的電壓減少。因此，在阻尼較小時，電感的存在會承擔更多電壓，將系統(tǒng)的輸出電壓穩(wěn)定在一個較高水平。

3.2 電感對系統(tǒng)采集效率的影響

電感的加入，本質上改變了采集電路的性質，可以通過調節(jié)電感參數來控制采集電路的固有頻率。首先比較電感的加入對系統(tǒng)輸出效率的影響。圖7分別表示同阻值下，12階電路輸出電壓。

容易看出，電感的加入，將系統(tǒng)輸出電壓穩(wěn)定在一個較高水平，尤其在電阻阻值較小時，使系統(tǒng)輸出電壓的提高更為顯著；而當系統(tǒng)阻值大于2階電路臨界振蕩的阻值時，電感對系統(tǒng)的影響不再明顯，12階電路下系統(tǒng)的輸出電壓差距不大。

再來看2階電路系統(tǒng)輸出響應的特征。當電路固有頻率為25 Hz、機械系統(tǒng)固有頻率為48 Hz時，系統(tǒng)在不同頻率激勵下的電壓響應和位移響應（簡化的單自由度系統(tǒng)的位移，即懸臂梁的末端位移）特征如圖8所示。

圖7 不同阻值工況下12階電路輸出電壓比較

圖8 電路固有頻率為25 Hz時系統(tǒng)響應

容易看到，系統(tǒng)輸出電壓受機械系統(tǒng)的影響較大，當外激勵頻率在機械系統(tǒng)固有頻率附近時，電壓響應表現(xiàn)出明顯峰值；而由于耦合極弱，機械系統(tǒng)受電路的影響極小，當外激勵在電路固有頻率附近時，對位移響應幾乎沒有影響。

調節(jié)電感數值，使電路固有頻率分別為25 Hz、40 Hz、48 Hz、55 Hz、70 Hz（關于懸臂梁1階固有頻率對稱），對其進行系統(tǒng)仿真，輸出電壓響應如圖9所示。

圖9 不同電感工況下系統(tǒng)的輸出電壓

可以看出，調節(jié)電路固有頻率，使電路固有頻率與懸臂梁固有頻率越接近，系統(tǒng)輸出的電壓響應越大；在兩個固有頻率一致時，系統(tǒng)輸出電壓只表現(xiàn)出一個峰值。

調節(jié)電路固有頻率在機械系統(tǒng)固有頻率附近變化，系統(tǒng)在不同頻率下的輸出電壓和位移如圖10和圖11所示。

圖10 不同電路固有頻率下輸出電壓響應

圖11 不同電路固有頻率下位移響應

當電路的固有頻率接近機械系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)的電壓響應只有一個峰值，并且當電路固有頻率在機械系統(tǒng)固有頻率附近變化時，輸出電壓響應對電路固有頻率的變化更為敏感；外激勵頻率與電路固有頻率相同時，系統(tǒng)電壓輸出提高更為顯著；電路固有頻率的變化對系統(tǒng)位移幾乎沒有影響。

3.3 電路參數優(yōu)化

由于電路元件可調節(jié)性遠遠高于機械系統(tǒng)，并且外激勵與電路共振時，對系統(tǒng)電壓的輸出更為顯著，因此在懸臂梁系統(tǒng)固有頻率不變情況下，可嘗試設計可調電路，使電路固有頻率追蹤外激勵固有頻率變化，以此來提高壓電懸臂梁能量采集系統(tǒng)的能量輸出效率。仿真外激勵在20 Hz～70 Hz變化，若電感可追蹤外激勵頻率，則系統(tǒng)輸出電壓如圖12所示，可將系統(tǒng)采集效率維持在一個較高的水平。

圖12 調節(jié)電路固有頻率隨外激勵變化

4 結語

針對壓電式振動能量采集器的機電耦合模型進行深入探討，并基于兩種不同的壓電片電邊界條件假設進行數學建模及仿真分析。發(fā)現(xiàn)在能量采集系統(tǒng)中，由于耦合較弱，電邊界條件不明顯，在兩種電邊界條件的假設下，系統(tǒng)輸出基本一致；但反之，若以壓電片作為驅動器的激振系統(tǒng)，兩種電邊界條件對系統(tǒng)輸出估計差距較大，而通常此時，電壓較強，均勻電壓的電邊界條件很容易判斷。

同時仿真結果證明，壓電懸臂梁在外激勵頻率遠低于梁的第2階固有頻率的時候，可將懸臂梁簡化成單自由度系統(tǒng)進行理論估計；對比發(fā)現(xiàn)，建立2階能量采集電路，能較大程度地提高系統(tǒng)的能量采集效率。并且2階電路的能量采集效率對外激勵的頻率更為敏感，若可通過調節(jié)電路固有頻率一定程度上追蹤外激勵頻率，對系統(tǒng)能量采集效率的提高也有較大幫助。

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Model and DynamicAnalysis of the Electro-mechanical Coupling System of Piezoelectric Vibration Energy Harvesters

ZHANG Meng-qian,SONG Han-wen
(School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics,Tongji University, Shanghai 200092,China)

Cantilever beams with piezoelectric ceramic layers have been frequently used as piezoelectric vibration energy harvesters.The most classical piezoelectric cantilever model d31of the piezoelectric energy harvesters(PEH)is studied in this paper.The exact analytical solution of the cantilever PEH is presented based on Euler-Bernoulli beam assumption.The influence of dynamic mode shape and strain distribution of the cantilever PEH is considered.The mathematical model of the cantilever PEH is established and the electro-mechanical coupling principle and characteristics are deeply analyzed with the two boundary conditions of uniformly distributed electric field and uniformly distributed electric displacement respectively.Based on the traditional PEH of order one,an inductance is added to the circuit to establish a second order circuit and improve the mathematical model.In the improved model,a new system with n+1 DOFs is obtained by combining the second order circuit with the n-DOF oscillatory system so that the global simulation of the coupled system can be realized.In addition,the influence of different elements of the circuit is analyzed.It is found that the added inductance can greatly increase the energy-harvesting efficiency of the PEH.

vibration and wave;vibration energy harvester;electro-mechanical coupling model;system simulation; power optimization

O32

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.02.002

1006-1355(2017)02-0007-06+22

2016-11-08

國家自然科學基金資助項目（11272235）

張夢倩(1991－)，女，碩士研究生，上海市人，主要研究方向為壓電振動能量采集。E-mail:09102mq@tongii.edu.cn

宋漢文，博士生導師。E-mail:hwsong@#edu.cn