李生，張安付，王真，黎申，游卓

（1.海軍駐武漢七一九所軍事代表室，武漢430205；2.武漢第二船舶設(shè)計研究所，武漢430205；3.武漢紡織大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，武漢430200）

雙向正交加筋板聲振響應(yīng)解析方法研究

李生1，張安付2，王真3，黎申2，游卓2

（1.海軍駐武漢七一九所軍事代表室，武漢430205；2.武漢第二船舶設(shè)計研究所，武漢430205；3.武漢紡織大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，武漢430200）

提出雙向正交加筋板聲振響應(yīng)的一種解析計算方法。使用兩種連續(xù)性條件，建立雙向正交加筋板的耦合振動方程。利用二維傅里葉級數(shù)作為雙向正交加筋板振動位移表達式，將雙向正交加筋板振動微分方程化為線性方程組，求解獲得雙向正交加筋板的模態(tài)特性以及加筋板穩(wěn)態(tài)聲振響應(yīng)，并通過了現(xiàn)有文獻數(shù)據(jù)和有限元方法的驗證。通過進一步的參數(shù)分析，研究加強筋在板上的排布方式對加筋板聲振特性的影響。

振動與波；雙向正交加筋板；聲振響應(yīng)；任意邊界條件；二維傅里葉級數(shù)

加筋板在工程各領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，如航空器和船體的壁板。加筋板的振動和聲學(xué)問題一直受到研究者和工程人員的關(guān)注。當(dāng)加筋薄板結(jié)構(gòu)受到外力激勵，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生振動并向外輻射噪聲，結(jié)構(gòu)過大的振動會影響到與之連接的儀器和儀表，會減弱儀器儀表的靈敏度，振動產(chǎn)生的噪聲與會對人們的身體和生活產(chǎn)生不良影響。在早期加筋板振動的解析方法研究中，主要存在兩種做法，一種是熟知的“正交異性板殼理論”[1–2]，這種方法沒有突出加強筋自然的離散特性，沒有考慮加強筋與板之間力的相互作用，而是將加筋板看作一個整體結(jié)構(gòu)，對于一些稀疏加筋、不等距、不均勻加筋，這種方法很難處理。二是將加強筋當(dāng)成為剛性結(jié)構(gòu)處理[3]，但是這種處理方法與工程實際有較大差異。

隨著研究的深入，研究者逐漸將加強筋作離散結(jié)構(gòu)處理[4]，即將加強筋作為加筋板的離散結(jié)構(gòu)，利用加強筋與板結(jié)構(gòu)之間連續(xù)條件，建立起筋-板力平衡關(guān)系。楊陽利用離散原理，提出一種加筋板機械導(dǎo)納分頻段計算方法[5]。Lorenzo Dozio等人提出一種可以方便編程、有較高計算效率的加筋方板振動特性解析-數(shù)值計算方法[6]。該方法適合帶有小數(shù)量、輕加強筋平板的振動特性分析。Tian Ran Lin推導(dǎo)了帶有周期或不規(guī)則加強筋的四邊簡支有限加筋板輸入導(dǎo)納的顯式表達式，并分析了周期加筋或不等距加筋平板的振動控制機理和模態(tài)特性[7]。Anirban Mitra等人研究了帶有初始變形加筋板的自由振動特性[8]。盡管目前各類解析方法可以用來研究各種形態(tài)加筋板振動特性，但仍存在各種不足，如只能處理經(jīng)典邊界條件、求解精度不高等。

文中亦將加強筋考慮為離散結(jié)構(gòu)，在平板振動方程中加入加強筋的反力和反彎矩，建立雙向正交加筋板的耦合振動控制方程，結(jié)合相應(yīng)的邊界條件，通過引入二維傅里葉級數(shù)作為位移假設(shè)函數(shù)，實現(xiàn)振動微分方程的矩陣化，求解加筋板的振動響應(yīng)，并使用Rayleigh積分，獲得雙向正交加筋板的聲輻射特性。Rayleigh積分是一種離散化求聲場的手段，將振動輻射面離散為多個離散點聲源，然后求和得到遠場的聲壓。

1 理論研究

圖1為雙向正交加筋矩形板示意圖，板上共有I根縱向加強筋與x方向垂直，共有J根橫向加強筋與y方向垂直，加強筋與矩形板邊界平行，加筋板四邊邊界條件任意。圖1中EE表示加筋板為任意邊界條件。

圖1 雙向正交加筋板示意圖

根據(jù)平板和加強筋的位移連續(xù)、力平衡兩種連續(xù)性條件，得到加筋板耦合振動方程為[6]

式（1）中集中力作用在點（x0，y0）上，方程等號左邊前兩項為平板的振動方程，第三、四項為橫向筋與平板之間的相互作用力，第五、六項為縱向筋與平板之間的相互作用力，方程的右邊為外激勵力，可以為面激勵力、線激勵力、點激勵力。文中以點激勵力為例。式（1）囊括平板上的所有力，并將所有力聯(lián)系在同一個方程中。

式（1）中，當(dāng)右邊為0表示自由振動方程，當(dāng)右邊為F0δ(x-x0)δ(y-y0)ejωt表示受迫振動方程。筋與平板之間作用力、扭轉(zhuǎn)彎矩的表達式為

式（1）至式（5）中，i=1，2，…I,，j=1,，2，…J。分別表示第j根橫向加強筋的彎曲剛度、翹曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、密度、截面積、極慣性矩表示第i根縱向加強筋的相應(yīng)參數(shù)為雙調(diào)和算子，δ為狄拉克函數(shù)。ω為圓頻率，w(x，y)為矩形板的橫向彎曲位移。加強筋在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時的轉(zhuǎn)角θy(x,yj)和θx(xi,y)表示為

加筋板四條邊界的邊界方程為式（8）至式（11）[9]，邊界方程反映了加筋板在邊界處力、彎矩的連續(xù)性，式（8）至式（11）中，kx0和kxa（ky0和kyb）為x=0和x=a(y=0和y=b)處的橫向邊界約束剛度，Kx0和Kxa（Ky0和Kyb）為x=0和x=a(y=0和y=b)處的扭轉(zhuǎn)邊界約束剛度，表達式的右邊分別為加筋板在邊界處的截面剪切力和彎矩。剛度k和K組成的外界彈性力（彎矩）和加筋板的截面剪切力（彎矩）構(gòu)成了加筋板的邊界方程。

為了適應(yīng)加筋板的任意邊界條件，位移函數(shù)可以表達為二維傅里葉級數(shù)[9]

式中λam=mπ/a，λbn=nπ/b，在級數(shù)求和中，m的截斷項數(shù)為M，n的截斷項數(shù)為N，函數(shù)為一般的三角函數(shù)，表達較復(fù)雜，具體參閱文獻[9]。式（12）的構(gòu)造思路本質(zhì)上利用了余弦級數(shù)在邊界處不為零的特點，可以表達邊界處任意幅值的位移。

將加筋板位移表達式（12）代入式（8）至式（11）邊界方程，并沿邊界長度進行積分，消去位置變量x、y，使邊界方程可以寫成矩陣的形式，如下所示

式中矩陣H和Q均為邊界方程經(jīng)過整理得到的常量矩陣。矢量p和a分別為

同樣將位移表達式（12）代入加筋板的振動控制方程式（1）中，去微分符號，并沿整個板面進行積分，消去位置變量x、y，寫成矩陣形式為

利用式（13）得到p=H-1Qa，并代入式（16）消去矢量p。由于八個邊界方程相互獨立，故矩陣H確定可逆。得到更簡潔的線性方程組為

若加筋板受外激勵力，根據(jù)式（1）中的受迫振動方程，受迫振動線性方程組可以表達為

式（18）中外激勵矢量F的元素為

阻尼矩陣C為比例阻尼，表達式如下

σ1為質(zhì)量矩陣因子，σ2為剛度矩陣因子。

通過求解式（17）即可以得到加筋板的模態(tài)特性；通過求解式（18）可以得到a中的元素，再將a代入式（13）可以得到p，將a、p代入振動位移表達式（12），則即可獲得加筋板在點激勵力作用下的振動位移。

根據(jù)計算得到的加筋板振動響應(yīng)，由瑞利積分可以求得加筋板的輻射聲功率為[10]

ve為板振動速度矢量，rij（i=1,..L,j=1,...L）為板上兩點之間的距離，k=ω/c0，ρ0為輻射聲場介質(zhì)的密度，c0為聲場介質(zhì)的聲速，Ae為板上被分割小塊的面積，L為板上被分割小塊的數(shù)量。

根據(jù)板的輻射聲功率和振動速度，可以由式（23）計算得到加筋板的聲輻射效率。

式中S為加筋板的輻射面積，vˉ為加筋板的平均均方振速。

2 計算分析

2.1 數(shù)值方法驗證

通過文獻[6]中已有的算例來驗證本解析方法的有效性，圖2給出了文獻中一個算例的雙向正交加筋板示意圖，該加筋板含兩個縱筋和兩個橫筋。板結(jié)構(gòu)和加強筋的材質(zhì)均為鋼。板尺寸a=2 m，b=1 m，厚度為10 mm，所有筋高均為15 mm，筋寬為10 mm。

圖2 兩橫筋兩縱筋加筋板示意圖

表1給出了圖2中加筋板結(jié)構(gòu)前5階歸一化固有頻率值隨位移假設(shè)函數(shù)的截斷常數(shù)M、N的變化，歸一化固有頻率的計算公式可參見文獻[6]?？梢钥闯?，M=N=9時，結(jié)果基本收斂，顯示了很好的收斂性。同時與該文獻中算例的歸一化固有頻率結(jié)果數(shù)據(jù)作對比，驗證了本解析方法具有較高的精度。

表1 采用本解析方法計算所得加筋板固有頻率的收斂性和精度

以下算例仿真驗證本解析方法計算雙向正交加筋板振動響應(yīng)的有效性，加筋板x方向均布三根縱向筋，y方向均布兩根橫向筋，板長1.6 m，寬0.9m，厚4 mm，所有加強筋均有相同的截面尺寸，寬10 mm，高15 mm。加強筋和平板的材質(zhì)設(shè)為鋼。選取加筋板上(0.5 m，0.4 m)位置為激勵點，拾取加筋板上激勵位置、(1.0 m，0.5 m)位置處振動速度，計算中加筋板的邊界條件分別為經(jīng)典（固支）、任意邊界條件。為了作對比驗證，建立加筋板的有限元模型，模型采用Beam188和Shell181單元表征加強筋和平板。

經(jīng)典（固支）、任意邊界條件下加筋板輸入和傳遞速度導(dǎo)納本文理論分析結(jié)果與Ansys有限元結(jié)果對比如圖3、圖4所示。

圖3經(jīng)典邊界條件下加筋板振速響應(yīng)

圖3和圖4給出了加筋板的輸入速度響應(yīng)和傳遞速度響應(yīng)。邊界分別為經(jīng)典（固支）和任意邊界條件，可以看出本文理論解析方法所得結(jié)果與有限元仿真值吻合相當(dāng)好，驗證了本解析方法在計算加筋板振動響應(yīng)時有較高精度。

圖4 任意邊界條件下加筋板振速響應(yīng)

2.2 加強筋排布方式的影響分析

為了分析加強筋位置對加筋板聲振響應(yīng)的影響，這里引入三種類型的加筋排布，分別為中心密集、均勻和稀疏排布，如圖5所示。

三種排布方式中加強筋間距均為等差數(shù)列，公差分別為?70 mm、0 mm、±70 mm?？v筋6根，橫筋2根，板尺寸為1.2 m×0.9 m×0.005 m，加強筋的尺寸為15 mm×5 mm，激勵點在板的中心位置附近，坐標(biāo)為（0.6 m，0.47 m）。分別計算結(jié)構(gòu)的振動能量以及輻射聲功率和輻射效率。振動能量定義為板均方振速平方與板質(zhì)量的乘積的一半。

從圖6－圖8可以看出，加強筋的排布方式對加筋板結(jié)構(gòu)振動和聲輻射有一定的影響。加強筋向中心激勵點集中，可使得加筋板的低階共振聲響應(yīng)增強，也增強了加筋板的低頻聲輻射效率。密集排布由于增大了激勵點區(qū)域的剛度，使加筋板在低頻段振動響應(yīng)有所降低。

圖6 加強筋排布方式對加筋板聲振響應(yīng)的影響

3 結(jié)語

提出一種求解任意邊界條件下雙向正交加筋板振動和聲響應(yīng)的解析方法，使用二維傅里葉級數(shù)為加筋板假設(shè)位移表達式，通過求導(dǎo)、積分，將加筋板振動方程的微分符號消除，得到相應(yīng)的線性方程組，求解獲得加筋板的模態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并使用Ansys有限元軟件驗證了該解析方法的有效性和精度。

利用建立的加筋板解析模型，討論加強筋在板上排布方式對加筋板振動、聲響應(yīng)的影響，結(jié)果表明：加強筋的排布方式對加筋板聲振響應(yīng)有明顯影響，加強筋越向激勵點集中，低頻段加筋板的聲功率就會越大，而振動能量會越減小，從而使加筋板的低頻輻射效率越大。

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Research onAnalytical Method for Vibro-acoustic Response Analysis of Bi-directionally Orthogonal Stiffened Plates

LISheng1,ZHANG An-fu2,WANGZhen3LIShen2,YOUZhuo2
(1.Military Representative Office,Navy Stationed in 719 Research Institute,Wuhan 430205,China; 2.Wuhan Second Ship Design and Research Institute,Wuhan 430205,China; 3.School of Mechanical Engineering andAutomation,Wuhan Textile University, Wuhan 430200,China)

The analytical method for sound and vibration analysis of bi-directionally orthogonal stiffened plates is proposed.By using displacement and force continuity conditions between plates and stiffeners,vibration equations of the stiffened plate system are established.With the displacement function expressed as a two-dimensional Fourier series,one can convert the differential equations of the stiffened plates into linear algebraic equations.Thus,the solutions of free vibration and forced vibration of the stiffened plates can be obtained.Results of the present method demonstrate a good agreement with published results and the results of typical finite element analysis.Subsequently,the effect of stiffeners position on vibro-acoustic response of multi-stiffened plates is studied.

vibration and wave;bi-directionally orthogonal stiffened plate;vibro-acoustic response;arbitrary boundary conditions;two-dimensional Fourier series

O326；TB532

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.02.004

1006-1355(2017)02-0018-05

2016-09-29

國家自然科學(xué)基金資助項目(11202152)

李生（1979－），男，山東省泰安市人，工程師，主要研究方向為船舶性能。E-mail:li_s_li@sina.com

張安付（1986－），男，安徽省六安市人，博士，工程師，主要研究方向為振動與噪聲控制。E-mail:anfu1769@163.com