張軍

摘 要：在平時教學中，將同一類型的問題進行歸納、總結(jié)出通性通法，引導學生在變化的問題中尋找不變的本質(zhì)，對提高課堂效率和學生的解題能力有很大的幫助。本文基于一道中考試題的思考，對二次函數(shù)的一類最值問題的解法進行了總結(jié)歸納，在解決問題的過程中感受數(shù)學思想方法。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù) 最值問題 數(shù)學模型

隨著新課改的進行，各地中考數(shù)學試卷異彩紛呈，尤其是二次函數(shù)的最值問題，題型靈活多樣，設計新穎精巧，既繼承傳統(tǒng)又勇于創(chuàng)新，體現(xiàn)能力立意和學科本質(zhì)，具有典型、示范和遷移性。在教學中，注意讓學生在實際問題中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，在變化的問題中找到不變的本質(zhì)，通過轉(zhuǎn)化把新問題轉(zhuǎn)化為一類已解決的問題，并運用所學的知識與技能求得問題解決。

本課例是對一類中考二次函數(shù)最值問題的思考，課例設置的問題從學生的已有水平出發(fā)，貼近學生認知的最近發(fā)展區(qū)，設問由易到難、由簡到繁，通過問題引領，沿著“鉛垂線段——斜線段——周長——面積”主線層層推進。課例的教學設計旨在引導學生探索研究二次函數(shù)的最值問題如何轉(zhuǎn)化、歸一，幫助學生的數(shù)學思維逐步實現(xiàn)由常量數(shù)學到變量數(shù)學的飛躍，體現(xiàn)了筆者對于數(shù)學思想方法及數(shù)學教學的一些認識和理念，期與同仁相互切磋，敬請批評

指正。[1]

一、問題引領 探究本質(zhì) 發(fā)掘這條線

針對中考試題的特征，本課例設計的引入問題圍繞數(shù)學概念內(nèi)涵展開，由淺入深喚醒學生對已學過的事實、法則、公式以及定義的記憶，教學設計對先前的學習材料的準確再現(xiàn)的內(nèi)容直接陳述，引導學生探究一種解決問題的思維，較清楚的通過預設問題顯示學生對某個具體問題的認識水平和思維層次。[2]

問題：如圖1（圖略），已知拋物線經(jīng)過直線與、軸的交點B、C，與軸的另一個交點為A，點D是直線BC下方的拋物線上一動點.

（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求拋物線的表達式；（3）過D作DE//軸交直線BC于點E，求線段DE長度的最大值.

解法研究：（1）、（2）略；

（3）設點D（，）（）；點E在BC上，有E（，），線段.則當時，線段DE最大值為2；

功能分析：本問題的設置角度常規(guī)，解題思路寬廣，幫助學生體驗二次函數(shù)研究的是“數(shù)”與“形”的關(guān)系，“數(shù)”即二次函數(shù)的數(shù)量特征，“形”即為二次函數(shù)圖像的幾何特征，幫助學生架起“數(shù)”、“形”溝通的橋梁。繼續(xù)引導學生深入研究：問題（3）中線段DE的最值求解的，幫助學生建立模型，數(shù)學方法是數(shù)學思想在數(shù)學活動中的反映與體現(xiàn)，在數(shù)學活動過程中，認識問題是解決問題的基礎，認識線段DE的價值，汲取知識，存儲模型。

二、變式探究 突出思想 用好這條線

變式教學設計實現(xiàn)了一類題解法套路的遷移，并鞏固加深了模型的認識，在一脈相承的問題串研究中，聯(lián)想類比相關(guān)題型，在題干背景條件不變的情況下，改變提問的對象，圖形轉(zhuǎn)化，在辨析對比中，一題多解，一題優(yōu)解，打開解題思路，把學生的思維引向新的高度。

變式1：已知，上述條件不變，過點D作DFBC，垂足為點F，則求點D到直線BC的最大距離及此時點D的坐標。

解法研究：

方法1：如圖2（圖略），過D作DE//軸交直線BC于點E，可證△BOC∽△DFE，且OC=2，OB=4，根據(jù)勾股定理：BC=，由相似比例式得：，當DE最大時，DF取得最大值。則根據(jù)上述問題可知：設點D（，）（其中）；則當時，線段DE最大值為2，DF最大等于，此時點D坐標為（2，-3）.

方法2：如圖3（圖略），過點D作與BC平行的直線l，當直線l與拋物線有且只有一個交點時，此時點D到直線BC的距離是最大的。設解析式得方程，求得，代入求點D的坐標（2，-3），再利用D點坐標求最大面積。

功能分析：比較兩種解法，體會這條“鉛垂高”的妙處。變式的設置在原問題的基礎上拓展延伸，是每個問題都建立在前面已解決的基礎上，在變式的解法上培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，一題多解。同時，又幫助學生體會到雖然解題的出發(fā)點不同，但最終都歸一到這條“鉛垂高”，總結(jié)解題的最優(yōu)方案，明了解題的思路。

變式拓展：如圖4（圖略），過D作DE//軸交直線BC于點E，若點F在直線BC上，且四邊形DFEG為矩形，求矩形DFEG的周長的最大值。[3]

解法研究：當四邊形DFEG為矩形時，即DFBC，連接DE，由上述可知：△BOC∽△DFE，

則：，

故四邊形DFEG的周長：.

則當點D（2，-3）時，DE最大為2，則四邊形DFEG的周長最大為.

功能分析：二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合時，要從“數(shù)形結(jié)合”的角度審視，要根據(jù)矩形這一特殊圖形的幾何性質(zhì)特征，善于發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)中的這條“鉛垂線”的作用，即是兩者之間的紐帶，也是解決問題的關(guān)鍵。體會“周長——鉛垂高”的這一類最值問題的探究，培養(yǎng)學生建立幾何模型，促進學生自覺構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)。

三、能力培養(yǎng) 注重本質(zhì) 用活這條線

變換角度，將不同的問題對象設置在統(tǒng)一的問題情景下，符合中學生的思維特征，給學生同一個舞臺，不同的劇本，讓他們的思維盡情舞動，在探究利用“鉛垂高”求二次函數(shù)最值得路上越走越精彩。

變式2：在上述問題里其他條件不變的情況下，連接BD，CD，如圖5（圖略），求△BCD的面積最大值.

解法研究：過D作DE//軸交直線BC于點E，設點C到DE的距離為，點B到DE的距離為，

則

則當DE最大時，△BCD的面積取到最大值，

此時點D（2，-3），△BCD的面積最大值為4.

功能分析：本問題的設置前后呼應，因為△BCD的底BC不變，當△BCD的面積最大時，即高最大，對應上述變式1“點D到BC距離最遠”的問題。幫助學生建立問題之間的聯(lián)系，在數(shù)學知識體系之間建立起有助于發(fā)展意義理解的聯(lián)系，體會“面積——鉛垂高”的探究過程，不僅找到了問題的解決思路而且把這些思想相互聯(lián)系起來，拾級而上，探尋學生對數(shù)學思想方法的領悟能力。

四、追根溯源 鏈接中考 用巧這條線

聯(lián)系中考，遵循學生認知規(guī)律，在探索試題的路上，幫助學生把知識點循跡理線，將問題串“珠”成“鏈”，將方法歸類擇優(yōu)，把原本孤立的知識點按一定的思維序列串聯(lián)起來，數(shù)學思維訓練實現(xiàn)了由厚向薄的轉(zhuǎn)化，由量到質(zhì)的飛躍，從線段的長度問題向幾何面積問題轉(zhuǎn)化的本領。

中考鏈接：如圖6（圖略），若已知拋物線經(jīng)過直線與、軸的交點B、C，與軸的另一個交點為A，點D是軸下方的拋物線上一動點，連接DB，DC，設所得的△BCD的面積為S。

（1）求S的取值范圍；（2）若△BCD的面積S為整數(shù)，則這樣的△BCD共有 個。

解法研究：（1）（過程略）綜上所述：.（2）（過程略）面積是整數(shù)的共有11個點.

功能分析：立足中考，把握中考試題的方向脈搏，研究壓軸題的特征，我們在審題中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，探究中體會“面積的范圍問題——面積的最值問題——鉛垂高”，當我們能巧用“鉛垂高”這條線求出面積最值時，問題即迎刃而解。

五、教學反思 方法提煉 讓自己更智慧

1.教學內(nèi)容與目標分析

本課例的設計有“起步低、步子小、變式多”的特點，通過巧妙的預設、科學的變式讓學生不斷深入思考，建立求二次函數(shù)最值問題的基本思路——作“鉛垂高”。在教學中忽略純粹的公式記憶，重視解決問題的操作過程，領會解決問題的核心是數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法，學生經(jīng)歷破題的過程，啟發(fā)學生自己去思考、建模探究，在探究與體會求二次函數(shù)最值問題的方法，培養(yǎng)和訓練學生的思維能力。

2.教學設計自然生動，突出問題意識

本課例教學設計由一道中考試題引出筆者的一些思考，進而對試題的不斷研究，總結(jié)出的解決二次函數(shù)一類最值問題的方法，在問題的設計過程中，從解決二次函數(shù)的“鉛垂高”的最值問題為基礎，層層推進，在探索問題求解過程中培養(yǎng)了學生的數(shù)學能力，避免“上課一聽就懂，課后一做就錯”的現(xiàn)象。

3.抓住數(shù)學思想、方法教學，突出建模教學核心

在設計的梯度上，課例通過“點——線——面”的思路設計問題，結(jié)合方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等方法，探索解決問題的本質(zhì)，使一類問題歸一到“求鉛垂高最值”的問題。提升了學生的建模能力和邏輯推理計算能力，豐富了數(shù)學探究活動的經(jīng)驗，完善更新了認知結(jié)構(gòu)。

“數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的過程教學”，在教學活動中，通過教師的啟發(fā)、激勵、引導體現(xiàn)教師的主導作用，通過解決二次函數(shù)一類最值問題，關(guān)注學習過程中數(shù)學方法和思想的滲透，幫助學生優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，會一題，解一類，會一類，通一片，歸納一類題的特征，揭示數(shù)學本質(zhì)，體驗感受數(shù)學的通性通法，發(fā)展學生的思維。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）.北京師范大學出版社，2012.1

[2]朱建華.例談初中數(shù)學最值問題[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2013

[3]韋玉球，劉立明.中學數(shù)學求解最值問題的方法探尋.教育教學論壇，2014