趙士魁+任娟+林建良

摘要：高中數(shù)學(xué)選修部分的微積分知識(shí)是幫助學(xué)生解決高中物理問(wèn)題、理解物理概念的重要工具，筆者把微積分的知識(shí)應(yīng)用到課堂物理知識(shí)點(diǎn)的講解和物理問(wèn)題的解決中去，聯(lián)系高考和全國(guó)物理競(jìng)賽，為高中生今后學(xué)習(xí)大學(xué)物理知識(shí)做出了很好的鋪墊。

關(guān)鍵詞：微積分；物理教學(xué)；圓周運(yùn)動(dòng)；高考

一、引入微積分讓學(xué)生深入理解物理公式

1. 圓周運(yùn)動(dòng)

圓周運(yùn)動(dòng)中的線速度：為了描述物體經(jīng)過(guò)某位置附近運(yùn)動(dòng)的快慢，可以取一段很短的時(shí)間 ，物體在這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)為 。比值 反應(yīng)了物體運(yùn)動(dòng)的快慢，叫做線速度，用 表示，即 ，線速度也有平均值和瞬時(shí)值之分。如果所取的時(shí)間間隔很小，這樣得到的就是瞬時(shí)速度，按照微分的形式為： ，角速度可以表示為： ，而 ，所以 從而得到 就是線速度和角速度的關(guān)系。

2. 勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度的證明

人教版必修二中指出：勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度表達(dá)式 可以從加速度公式 導(dǎo)出 ，但是并沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)證明，粵教版必修二也沒(méi)有嚴(yán)格的證明，下面筆者將利用微積分來(lái)證明勻速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度表達(dá)式。因?yàn)槭莿蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，所以

，時(shí)間極短易知：

再根據(jù)牛頓第二定律就可以得出向心力的表達(dá)式： 的結(jié)果 。

3.交流電有效值

大家比較熟悉是正弦交流電，電流峰值和有效值關(guān)系是： ，其實(shí)余弦交流電也是一樣的，下面進(jìn)行證明。

交流電的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來(lái)定義的，假設(shè)流過(guò)定值電阻的電流函數(shù)為余弦函數(shù)， ， 時(shí)刻的瞬時(shí)功率為

而

代入得

在一個(gè)周期內(nèi)電阻 上產(chǎn)生的熱量為

所以

假設(shè)有一個(gè)恒定電流 與其等效，在一個(gè)周期內(nèi)的熱量 為，且 ，所以 。

通過(guò)微積分計(jì)算，學(xué)生對(duì)這些基本公式有了深層次的理解，有助于他們的記憶和運(yùn)用。

二、微積分為高中物理題目帶來(lái)新的解法

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，求某函數(shù)的極值時(shí)，可先令此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，找到自變量的取值，再求此值下的函數(shù)值即為最值。利用微分解釋有關(guān)函數(shù)極值問(wèn)題，可以加深學(xué)生對(duì)物理意義的理解，避免繁雜的計(jì)算，提高解題效率。

例1：一小汽車(chē)從靜止開(kāi)始以 的加速度啟動(dòng)，恰有一自行車(chē)以 的速度從車(chē)邊勻速駛過(guò)，汽車(chē)在追上自行車(chē)前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間后兩者距離最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？

分析與解 t時(shí)刻兩者的距離為：

對(duì) 求導(dǎo)得：

令：

=0，

可得： ，把 帶入原式得：

例2：一小物塊以速度 沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到頂部水平的高臺(tái)上并由高臺(tái)上飛出，如圖所示.問(wèn)高臺(tái)的高度 多大時(shí)，小物塊飛行的水平距離 最大？這個(gè)距離是多少？（ 取 ）

分析與解 設(shè)小物塊剛脫離曲面頂部的速度為 ，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

○1

小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離 和高度 分別為：

， ○2

。 ○3

以上三式聯(lián)立解得：

令 ，對(duì) 求導(dǎo)得：

當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于零，即 時(shí)飛行距離最大，代入計(jì)算：

三、微積分在高考和全國(guó)物理競(jìng)賽試題中的應(yīng)用

近年來(lái)，全國(guó)物理高考和全國(guó)物理競(jìng)賽都出現(xiàn)了考察微積分的題目，而且分值較重，筆者認(rèn)為：微積分在物理題目中的應(yīng)用將是未來(lái)高考和競(jìng)賽考察的重點(diǎn)，值得大家思考。

例1：（2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試）某游樂(lè)園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中。為計(jì)算方便起見(jiàn)，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖谒椒较虺闹芫鶆蛏㈤_(kāi)。忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g.求

（i）噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（ii）玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度。

分析與解：（i）在時(shí)間間隔 時(shí)間內(nèi)，可以為噴泉噴出的水柱保持速度 不變。

該時(shí)間內(nèi)，噴出水柱高度： ①

噴出水柱質(zhì)量： ②

其中 為水柱體積，滿足： ③

由①②③可得：噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量為

（ii）設(shè)玩具底面相對(duì)于噴口的高度為

由玩具受力平衡得： ④

其中， 為水體對(duì)玩具底部的作用力。

由牛頓第三定律： ⑤

其中， 為玩具底部對(duì)水體的作用力。

為水體到達(dá)玩具底部時(shí)的速度

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式： ⑥

在很短 時(shí)間內(nèi)，沖擊玩具水柱的質(zhì)量為

⑦

由題意可知，在豎直方向上，對(duì)該部分水柱有動(dòng)量定理

⑧

由于 很小， 也很小，可以忽略

⑧式變?yōu)?⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

例2：（第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽理論考試試題）如圖， 單原子理想氣體構(gòu)成的系統(tǒng)分別經(jīng)歷循環(huán)過(guò)程 和 。已知理想氣體在任一緩慢變化過(guò)程中，壓強(qiáng) 和體積 滿足函數(shù)關(guān)系 。

（1）試證明：理想氣體在任一緩慢變化過(guò)程的摩爾熱容可表示為

式中， 和 分別為定容摩爾熱容和理想氣體常數(shù)； （2）計(jì)算系統(tǒng)經(jīng) 直線變化過(guò)程中的摩爾熱容；

分析與解：（1）根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

實(shí)踐證明：把數(shù)學(xué)微積分知識(shí)滲透到高中日常物理教學(xué)中來(lái)，可以幫助學(xué)生簡(jiǎn)便地解決高中物理問(wèn)題、深層次理解物理概念，對(duì)學(xué)生的高考和物理競(jìng)賽有很大幫助，對(duì)高中物理與大學(xué)物理的銜接也有積極作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 人民教育出版社、課程教材研究所等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 物理2 （必修 ）[M].第3版.北京：人民教育出版社， 2010：20.

[2] 張三慧.大學(xué)物理第一冊(cè) 力學(xué)[M].第2版.北京：清華大學(xué)出版社， 1999：33-38.

[3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第5版.北京：高等教育出版社， 2001：186.

趙士魁老師 廣州市番禺區(qū)城區(qū)大道1號(hào) 石碁第三中學(xué) 郵編 511450 郵箱784855245@qq.com 手機(jī) 18002209069