劉文東，李華濱，包為民

（1. 北京航天自動控制研究所，北京，100854；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；3. 中國航天科技集團(tuán)公司，北京，100037）

平衡截斷法與時間尺度法的降階效能分析

劉文東1，李華濱2，包為民3

（1. 北京航天自動控制研究所，北京，100854；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；3. 中國航天科技集團(tuán)公司，北京，100037）

為分析利用平衡截斷法截斷系統(tǒng)設(shè)計控制器的優(yōu)勢及局限，對比分析了在對系統(tǒng)降階的過程中平衡截斷法和時間尺度法在降階維數(shù)的判斷、截斷狀態(tài)的選擇及截斷后降階系統(tǒng)頻率響應(yīng)方面的區(qū)別與聯(lián)系。提出一種以降階控制器控制原系統(tǒng)的效果來判斷降階系統(tǒng)對原系統(tǒng)的近似方法。利用平衡截斷后系統(tǒng)與慢時間尺度系統(tǒng)分別設(shè)計降階控制器。仿真結(jié)果表明，平衡截斷法在截斷系統(tǒng)狀態(tài)過程中更為精細(xì)，對于加入控制后為改變其開環(huán)特性的系統(tǒng)，依據(jù)平衡截斷法得到的降階系統(tǒng)對原系統(tǒng)逼近效果比時間尺度法好；而對于反饋控制改變其開環(huán)特性的系統(tǒng)，平衡截斷法不能敏感到系統(tǒng)特性的改變，近似效果比時間尺度法差。

平衡截斷; 時間尺度; 降階系統(tǒng); 降階控制

0 引 言

工程實(shí)踐中，為解決復(fù)雜高階系統(tǒng)帶來的計算困難，通常采取一系列模型簡化的方法，平衡截斷法即是一個得到廣泛認(rèn)可[1～3]的經(jīng)典模型降階方法。

平衡截斷法最早由Moore[4]提出，旨在通過坐標(biāo)變換構(gòu)造系統(tǒng)內(nèi)部的平衡實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而截斷可控性、可觀性差的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)模型的降階[5]。比平衡截斷法提出稍早，Kokotovic從時間尺度的角度提出包含快慢模態(tài)系統(tǒng)的分解方法[6]，并從設(shè)計狀態(tài)調(diào)節(jié)器的角度分析依據(jù)慢子系統(tǒng)設(shè)計的控制器對原系統(tǒng)的控制效果[7]?？梢哉f，平衡截斷法與時間尺度的分析方法均是一種通過設(shè)計低階/降階控制來控制高階系統(tǒng)的方法。從選取哪些狀態(tài)不參與降階控制器設(shè)計的角度來說，前者舍去的是Hankel奇異值小的可控可觀性差的狀態(tài)；后者舍去的是特征值大的高頻分量。區(qū)別在于平衡截斷法側(cè)重于對開環(huán)系統(tǒng)頻率、幅值特性的近似，而時間尺度法側(cè)重于對系統(tǒng)控制效果的近似。目前，尚未有文獻(xiàn)對這兩種選取降階系統(tǒng)的依據(jù)及其相應(yīng)的控制效果進(jìn)行對比分析。同時考慮到文獻(xiàn)[8]中提及的加入控制后，系統(tǒng)時間尺度改變導(dǎo)致降階系統(tǒng)維度變化的情況，應(yīng)用平衡截斷法是否存在同樣問題也需進(jìn)行研究。

本文按兩種方法分別選取了降階系統(tǒng)，并依此設(shè)計了控制器，對比了其降階系統(tǒng)的維度、包含的狀態(tài)，以及控制器控制效果，從時間尺度的角度出發(fā)，分析了平衡截斷法的優(yōu)勢及局限，并對平衡截斷法的使用提出建議。

1 平衡截斷法與時間尺度法

1.1 平衡截斷法

假定系統(tǒng){A,B,C,D}是穩(wěn)定的。P，Q分別表示可控性Gramian矩陣和可觀性Gramian矩陣，則P，Q滿足：

依次遞減排列的稱為系統(tǒng)的Hankel奇異值。若存在第r個奇異值使得，那么所對應(yīng)狀態(tài)的可控性和可觀性都較差，截取它們不會損失太多信息。

1.2 時間尺度分析方法

兩尺度線性定常系統(tǒng)

式中x1，x2維度分別為n1×1和n2×1。μ為小于1的小參數(shù)。若A22可逆，可分解為快慢兩個子系統(tǒng)分別求解。慢子系統(tǒng)為

快子系統(tǒng)為

由此，原系統(tǒng)式（3）最優(yōu)控制的解可通過子系統(tǒng)式（4）、式（6）的解近似。

2 降階控制器性能指標(biāo)計算方法

對于奇異攝動系統(tǒng)，存在邊界層[9]問題。然而，對于性能指標(biāo)為積分型的線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）問題，針對降階慢子系統(tǒng)設(shè)計的控制器能保證其控制性能指標(biāo)與最優(yōu)性能指標(biāo)相差0(μ)量級[6]，意味著在該種情況下，可利用慢子系統(tǒng)一定程度上近似原系統(tǒng)。因而，提出了一種以降階控制器控制原系統(tǒng)得到的性能指標(biāo)為依據(jù)判斷降階系統(tǒng)對原系統(tǒng)的近似程度的方法。

控制器性能指標(biāo)為

對降階系統(tǒng)：

性能指標(biāo)式（7）變?yōu)?/p>

構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：

由極值條件：

解得：

正則方程為

假定：

式中K待定。對式（14）求導(dǎo)得：

聯(lián)立式（12）至式（15），對比xr項(xiàng)系數(shù)，得：

若Riccati方程式（16）存在半正定穩(wěn)定解Kr，則降階系統(tǒng)的最優(yōu)控制為

對于降階控制ur=?Fxr，閉環(huán)軌線為

性能指標(biāo)式（7）可化為

聯(lián)立式（18）至式（20）可知：

若能保證Ar-BrF穩(wěn)定，則可通過解Lyapunov方程式（21）得到正定的Pr，進(jìn)而可得降階控制的性能指標(biāo)Jr。

3 平衡截斷法與時間尺度法對比分析

3.1 降階維數(shù)的判斷

平衡截斷法依據(jù)Hankel奇異值的大小決定降階的維度，意味著PQ的特征值影響著降階的維度。時間尺度法降階則依據(jù)系統(tǒng)特征值的大小。為探明PQ特征值與系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)特征值的關(guān)系，將原系統(tǒng)降至一維，則Lyapunov方程式（1）、式（2）的解為

式中a,b,c為A,B,C陣的標(biāo)量形式。而此時，系統(tǒng)開環(huán)特征值為a。若采用LQR設(shè)計反饋，系統(tǒng)閉環(huán)特征值為?？纱致哉J(rèn)為Hankel奇異值與系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)特征值存在包含某種比例系數(shù)的倒數(shù)關(guān)系。這也與降階近似時，平衡截斷法截斷Hankel奇異值小的狀態(tài)而時間尺度法舍棄特征值大的狀態(tài)相符。

為進(jìn)一步辨明Hankel奇異值與開環(huán)系統(tǒng)特征值及閉環(huán)系統(tǒng)特征值的關(guān)系，選取系統(tǒng)如下：

隨機(jī)生成系數(shù)矩陣B，C，仿真 100次，系統(tǒng)的Hankel奇異值分布如圖1所示。

由圖1中可以清晰看出盡管系統(tǒng)系數(shù)矩陣B，C參數(shù)發(fā)生了改變，但Hankel奇異值始終保持兩大兩小的分布。

與此同時，系數(shù)矩陣A的特征值為：-2.815±12i，-140±142.83i，與Hankel奇異值分布相符。為測試閉環(huán)系統(tǒng)特征值與Hankel奇異值的關(guān)系，選取性能指標(biāo)取式（7），采用前文系統(tǒng)參數(shù)依據(jù)LQR設(shè)計反饋得到系統(tǒng)閉環(huán)特征值，100次仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2中存在一條虛線界限，當(dāng)閉環(huán)特征值3到達(dá)虛線左側(cè)時，可認(rèn)為閉環(huán)系統(tǒng)特征值實(shí)部絕對值呈現(xiàn)三大一小的分布。由此可見在相同的系統(tǒng)參數(shù)情況下，Hankel奇異值與系統(tǒng)開環(huán)特征值分布相似，與系統(tǒng)閉環(huán)特征值分布存在偏差。

3.2 截斷狀態(tài)的選擇

取矩陣B=[0 0 0 10]’，C=[0 1 1 1]，觀察兩種方法舍去的狀態(tài)量的成分。

平衡實(shí)現(xiàn)后的系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)?=xTx，狀態(tài)?x為

對于時間尺度法[7]，滿足：

式中a，b為系數(shù)矩陣A，B中元素，Go為慢子系統(tǒng)對應(yīng)的反饋系數(shù)us=Goxs。

把xf作為快子系統(tǒng)狀態(tài)量進(jìn)行截斷時，截斷的快模態(tài)僅為x3，x4中快模態(tài)的一部分，未包含x3，x4快模態(tài)中與x1，x2相關(guān)的部分0(μ)項(xiàng)及x1，x2中的快模態(tài)0(μ)項(xiàng)。這說明時間尺度法截斷的狀態(tài)僅為系統(tǒng)快模態(tài)的一部分，保留的是系統(tǒng)慢模態(tài)和剩余的快模態(tài)。雖然文獻(xiàn)[8]證明了包含部分快模態(tài)及全部慢模態(tài)的拓展降階控制器性能優(yōu)于僅包含慢模態(tài)的控制器，然而該命題的前提是系統(tǒng)維度已增高。若對于系統(tǒng)維度不變的情況下，將快慢模態(tài)復(fù)合的狀態(tài)判定為慢模態(tài)會導(dǎo)致判斷系統(tǒng)切空間膨脹壓縮方向時存在一定偏差[10]，雖然該偏差已證明為μ的同階無窮小量級[6]。

3.3 截斷后降階系統(tǒng)頻率響應(yīng)

依據(jù)兩種方法得到的降階系統(tǒng)為

系統(tǒng)頻率響應(yīng)如圖3所示。由圖3可知，平衡截斷法得到的降階系統(tǒng)在全頻域?qū)υ到y(tǒng)近似較好，但在高頻區(qū)域存在偏差；慢子系統(tǒng)對系統(tǒng)的低頻域近似較好，高頻較差；快子系統(tǒng)反之。通常時間尺度法利用慢子系統(tǒng)、快子系統(tǒng)分段近似原系統(tǒng)并在交叉段進(jìn)行復(fù)合。圖3表明兩種方法均能夠?qū)υ到y(tǒng)的頻域做出有效的近似。

3.4 降階控制器控制效果分析

取式（7）中R=1，初值x0=[1 1 1 1]’，依據(jù)平衡截斷后系統(tǒng)與慢子系統(tǒng)分別設(shè)計降階控制器，按第2節(jié)中的方法計算控制性能，采用文獻(xiàn)[4]、文獻(xiàn)[8]中的系統(tǒng)模型，仿真結(jié)果如表1所示。

表1 多系統(tǒng)降階控制器控制性能對比（1～7）

續(xù)表1

由表1可看出在仿真1～7中，系統(tǒng)Hankel奇異值與閉環(huán)系統(tǒng)特征值均呈現(xiàn)兩大兩小分布，這意味著兩種方法降階后的系統(tǒng)均為兩維。從降階控制器控制性能的角度來說，表中采用平衡截斷法截斷系統(tǒng)后設(shè)計的降階控制器控制效果比依據(jù)時間尺度法設(shè)計的控制效果好，而這也與3.2節(jié)中對兩種方法截斷狀態(tài)的分析結(jié)果相符。

然而由文獻(xiàn)[8]知，仿真1～7中，系統(tǒng)的開環(huán)特性并未發(fā)生改變。對于反饋控制改變系統(tǒng)開環(huán)特性的系統(tǒng)，仿真結(jié)果如表2所示，若n階系統(tǒng)存在n1維慢模態(tài)和n2維快模態(tài)（n=n1+n2），則設(shè)計n1維降階控制器是合理的；若設(shè)計的降階控制器維數(shù)低于n1維，則該控制器是不合理的，因?yàn)檫@意味著控制器設(shè)計過程中忽略了部分不應(yīng)忽略的慢變狀態(tài)，其控制效果存在較大不確定性。

對于仿真8～10，由E可知若采用LQR最優(yōu)控制，則反饋控制改變了系統(tǒng)開環(huán)特性，對應(yīng)的合理降階系統(tǒng)維度從原來的兩維變?yōu)槿S，在令平衡截斷后的系統(tǒng)同樣保留三維狀態(tài)后，對比發(fā)現(xiàn)其控制效果與閉環(huán)時間尺度法相比較差。這是由于Hankel奇異值更接近于系統(tǒng)開環(huán)特征值，依據(jù)Hankel奇異值對系統(tǒng)的非奇異變換使得系統(tǒng)在選取要截斷的狀態(tài)時不能敏感到反饋控制帶來的系統(tǒng)特性的改變。因而該非奇異變換在選取系統(tǒng)主要成分過程中存在偏差，進(jìn)而使得截斷后系統(tǒng)對原系統(tǒng)的近似比時間尺度法差。

表2 多系統(tǒng)降階控制器控制性能對比（8～10）

4 結(jié) 論

平衡截斷法作為一種廣泛使用的模型降階方法，使用時通常從頻域、時域方面檢驗(yàn)其與原開環(huán)系統(tǒng)的逼近程度。然而對高階系統(tǒng)的降階目的并非只有對系統(tǒng)開環(huán)特性的近似，更一般的是依據(jù)降階后的系統(tǒng)設(shè)計相應(yīng)的控制來控制原系統(tǒng)，因而模型降階與其說是設(shè)計一種低階系統(tǒng)近似原高階系統(tǒng)，不如說是通過以一種低階系統(tǒng)對應(yīng)的控制近似原高階控制的控制效果。在這樣的考慮下，本文設(shè)計了以降階控制器控制效果為評判依據(jù)的平衡截斷法與時間尺度法對系統(tǒng)逼近效果的比較。仿真結(jié)果表明，在系統(tǒng)開環(huán)特性未改變的情況下，平衡截斷法由于其平衡實(shí)現(xiàn)導(dǎo)致其截斷狀態(tài)過程中更為精細(xì)，控制器效果較好；而對于反饋控制改變系統(tǒng)開環(huán)特性的情況，平衡截斷法不能敏感該改變，在截斷狀態(tài)時存在偏差，其控制效果比時間尺度法差。因而在使用平衡截斷法截斷系統(tǒng)設(shè)計控制律后，需檢驗(yàn)其閉環(huán)系統(tǒng)特性與原開環(huán)特性相比是否發(fā)生改變。

[1] 杜鑫, 丁大偉. 基于平衡截斷法的離散時間線性時滯系統(tǒng)的低頻域模型降階[J]. 自動化學(xué)報, 2015, 41(10): 1826-1830.

[2] 尤明, 宗群, 曾凡琳, 等. 基于平衡截斷方法的高超聲速飛行器模型降階[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2014, 31(6): 795-800.

[3] 熊綱, 楊超. 平衡截斷方法在氣動伺服彈性系統(tǒng)模型降階中的應(yīng)用[J].航空學(xué)報, 2001, 22(2): 168-170.

[4] Moore B. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability and model reduction[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, 26(1): 17-32.

[5] 周克敏, Doyle J C, Glover K. 魯棒與最優(yōu)控制[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2006.

[6] Kokotovic P V, Haddad A H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1975, 20(1):111-113.

[7] Chow J H, Kokotovic P V. A decomposition of near-optimum regulators for systems with slow and fast modes[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1976, 21(5): 701-705.

[8] 劉文東, 范世鵬, 李華濱, 等. 閉環(huán)兩尺度系統(tǒng)復(fù)合LQR控制建模與設(shè)計方法[J]. 控制與決策, 2017(3): 60.

[9] 周明儒, 林武忠, 倪明康, 等. 奇異攝動導(dǎo)論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2014.

[10] Mease K D, Bharadwaj S, Iravanchy S. Timescale analysis for nonlinear dynamical system[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2003, 26(2): 318-330.

Performance Analysis for Balanced Truncation and Timescale Method

Liu Wen-dong1, Li Hua-bin2, Bao Wei-min3
(1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing, 100854; 2. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076; 3. China Aerospace Science and Technology Corporation, Beijing, 100037)

To analyze the advantage and limitation of using balanced truncation method during controller designing, the comparison between balanced truncation method and timescale method is made in the decision of reducing dimension, the selection of the truncated states and the frequency response of the reduced order system. To evaluate the degree of approximation, a method using reduced controller control performance index is proposed. Two reduced order controllers are designed using the truncated system and slow timescale system, and the performances are compared. Simulation results show that the balanced truncation method is more precise in selecting the system state. For the system which has not change its open loop characteristics after adding the control, the reduced order system obtained by the balanced truncation method has better approximation than the timescale method, however, for the system has changed its characteristics with feedback control, the balanced truncation method can not be sensitive to the changes, the approximation is worse than the other method.

Balanced truncation; Timescale; Reduced-order system; Reduced-order control

O231.1

A

1004-7182(2017)02-0044-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20170210

2016-12-15；

2017-01-16

劉文東（1987-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行控制系統(tǒng)中的多尺度問題