電磁感應(yīng)中的雙電源問(wèn)題求解策略

■河北省衡水市第二中學(xué) 陳月新

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,有兩種情形可產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：一是空間磁場(chǎng)不變,閉合回路中的部分導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),此種情形產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)一般被稱為“動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)”;二是穿過(guò)閉合回路的磁場(chǎng)在變化,從而引起回路中磁通量變化而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),此種情形產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)一般被稱為“感生電動(dòng)勢(shì)”。在一些電磁感應(yīng)問(wèn)題中,存在雙電源。雙電源問(wèn)題因其綜合性較強(qiáng),涉及的物理過(guò)程復(fù)雜多變,故而需要同學(xué)們特別注意。

一、由電池和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)形成的雙電源問(wèn)題

因?yàn)殚]合回路中接有電池,產(chǎn)生的電流使得導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)起來(lái),產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),所以使得回路中的電流發(fā)生變化,進(jìn)而導(dǎo)致導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況產(chǎn)生相應(yīng)的變化。如圖1甲所示,固定于水平面上的U形導(dǎo)線框處于豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,兩平行導(dǎo)線的間距為l,左端接一電動(dòng)勢(shì)為E0、內(nèi)阻不計(jì)的電源。一質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒MN垂直導(dǎo)線框放置并接觸良好。閉合開(kāi)關(guān)S,導(dǎo)體棒從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。忽略摩擦阻力和導(dǎo)線框的電阻,兩平行導(dǎo)線足夠長(zhǎng)。請(qǐng)分析說(shuō)明導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況,在圖1乙中畫出導(dǎo)體棒的速度v隨時(shí)間t變化的示意圖,并求出導(dǎo)體棒達(dá)到的最大速度。

圖1

解析：閉合開(kāi)關(guān)S,導(dǎo)體棒在安培力F= B0I l的作用下開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng),加速度a=導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生與電池相反的電動(dòng)勢(shì),閉合回路中的電流說(shuō)明當(dāng)導(dǎo)體棒的速度v增大時(shí),電流I減小,安培力F減小,加速度a減小,即導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)E0=B0l v0時(shí),電流為零,導(dǎo)體棒的速度達(dá)到最大,最大速度此后導(dǎo)體棒以最大速度vmax做勻速運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)體棒的速度v隨時(shí)間t變化的示意圖如圖2所示。

圖2

二、存在兩個(gè)導(dǎo)體棒產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的雙電源問(wèn)題

1.兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相同的雙電源問(wèn)題。

在兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相同的雙電源問(wèn)題中,根據(jù)串聯(lián)電路的基本特點(diǎn)可知,回路中的總電動(dòng)勢(shì)等于兩個(gè)電源電動(dòng)勢(shì)之和。

圖3

在傾角為θ、足夠長(zhǎng)的光滑斜面上,存在兩個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng),其中一個(gè)磁場(chǎng)的方向垂直于斜面向上,另一個(gè)磁場(chǎng)的方向垂直于斜面向下,寬度均為L(zhǎng),如圖3所示。一個(gè)質(zhì)量為m、電阻為R、邊長(zhǎng)也為L(zhǎng)的正方形導(dǎo)線框在t=0時(shí)刻以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng),恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng),若經(jīng)過(guò)時(shí)間t0,線框的a b邊到達(dá)磁場(chǎng)邊界線g g'與f f'中間位置時(shí),線框又恰好做勻速運(yùn)動(dòng),則下列說(shuō)法正確的是( )。

A.當(dāng)線框的a b邊剛越過(guò)磁場(chǎng)邊界線f f'時(shí),線框加速度的大小為gs i nθ

B.t0時(shí)刻線框做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v04

C.在0～t0時(shí)間內(nèi)線框中產(chǎn)生的焦耳熱為

D.線框在離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中將做勻速直線運(yùn)動(dòng)

解析：線框的a b邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),由于感應(yīng)電流受到安培力的作用做勻速直線運(yùn)動(dòng),則直到線框的a b邊越過(guò)磁場(chǎng)的邊界線f f'。當(dāng)線框的a b邊剛剛到達(dá)磁場(chǎng)的邊界線f f'位置時(shí),線框的兩個(gè)邊同時(shí)切割磁感線,形成方向相同的雙電源,則線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流加倍,線框受到的安培力變?yōu)樵瓉?lái)的4倍,則,解得a=3gs i nθ,選項(xiàng)A錯(cuò)誤。在t0時(shí)刻有故此時(shí)線框做勻速運(yùn)動(dòng)的速度選項(xiàng)B正確。在0～t0時(shí)間內(nèi),線框沿斜面向下運(yùn)動(dòng)的距離為根據(jù)能量守恒定律得Q=選項(xiàng)C正確。線框在離開(kāi)磁場(chǎng)的過(guò)程中,只有線框的c d邊切割磁感線,且線框受到的安培力等于m gs i nθ,所以線框?qū)⒆黾铀僦本€運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案為B C。

2.兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反的雙電源問(wèn)題。

在兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相反的電源問(wèn)題中,根據(jù)串聯(lián)電路的基本特點(diǎn)可知,回路中的總電動(dòng)勢(shì)等于兩個(gè)電源電動(dòng)勢(shì)之差。

圖4

如圖4所示,在水平面上有兩條平行金屬導(dǎo)軌MN、P Q,導(dǎo)軌間距離為l,勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,兩根金屬桿1、2垂直放置在導(dǎo)軌上,它們的質(zhì)量和電阻分別為m1、m2和R1、R2,兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好,與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,已知金屬桿1被外力拖動(dòng),以恒定的速度v0沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng),當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),金屬桿2也以恒定速度沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng),導(dǎo)軌的電阻可以忽略不計(jì),求此時(shí)金屬桿2克服摩擦力做功的功率。

解析：設(shè)金屬桿2的運(yùn)動(dòng)速度為v,兩金屬桿運(yùn)動(dòng)時(shí),由兩金屬桿和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的磁通量發(fā)生變化,產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),由于二者運(yùn)動(dòng)的方向一致,使得兩金屬桿中的感應(yīng)電流方向均向上,即兩金屬桿中的感應(yīng)電流方向相同,而在整個(gè)閉合電路中,兩金屬桿產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向相反,則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為二者之差,則E=B l(v0-v)。根據(jù)歐姆定律得感應(yīng)電流因?yàn)榻饘贄U2做勻速運(yùn)動(dòng),所以它受到的安培力等于摩擦力,即B I l=μm2g。金屬桿2克服摩擦力做功的功率P=μm2g v。聯(lián)立以上各式解得P=

3.由于磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)形成的雙電源問(wèn)題。

穿過(guò)回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),這是產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的條件。而磁通量變化的方式很多,當(dāng)導(dǎo)體并沒(méi)有切割磁感線,也沒(méi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化,而是磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí),由于相對(duì)運(yùn)動(dòng),同樣可在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流。

如圖5甲所示,與水平面成θ角的兩根足夠長(zhǎng)的平行絕緣導(dǎo)軌,間距為L(zhǎng),導(dǎo)軌間有垂直于導(dǎo)軌平面方向、等距離間隔的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng),兩個(gè)磁場(chǎng)的方向相反,大小相等,均為B。導(dǎo)軌上有一質(zhì)量為m的矩形金屬框a b c d,其總電阻為R,金屬框的寬度a b與磁場(chǎng)間隔相同,金屬框與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。開(kāi)始時(shí),金屬框靜止不動(dòng),重力加速度為g;若t=0時(shí)刻,磁場(chǎng)沿直導(dǎo)軌向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng);金屬框經(jīng)一段時(shí)間也由靜止開(kāi)始沿直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng),其v-t關(guān)系圖像如圖5乙所示(C D段為直線,Δt、v1已知),求磁場(chǎng)的加速度大小。

圖5

解析：金屬框在A點(diǎn)時(shí)靜止不動(dòng),由平衡條件得2B I L=m gs i nθ+μm gc o sθ。當(dāng)磁場(chǎng)以瞬時(shí)速度v0相對(duì)金屬框運(yùn)動(dòng)時(shí),金屬框的b c、a d邊同時(shí)切割磁感線,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2B L v0,感應(yīng)電流金屬框在C點(diǎn)時(shí),由牛頓第二定律得2B I1L-(m gs i nθ+ μm gc o sθ)=m a。此時(shí),由圖乙可知,金屬框運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為v1,設(shè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為vt,則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E1=2B L(vt-v1),感應(yīng)電流磁場(chǎng)做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小等于金屬框做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小,則對(duì)磁場(chǎng)有vt=v0+aΔt。聯(lián)立以上各式解得

注意：磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)使得金屬框與磁場(chǎng)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng),即金屬框切割磁感線,產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),且因?yàn)榻饘倏虻腶 d、b c邊同時(shí)切割磁感線,所以金屬框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為每個(gè)邊產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和。

三、同時(shí)存在動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)的雙電源問(wèn)題

當(dāng)在同一個(gè)電磁感應(yīng)問(wèn)題中,既存在因穿過(guò)回路的磁場(chǎng)發(fā)生變化而產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì),同時(shí)又存在因?qū)w棒切割磁感線而產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí),同學(xué)們一定要仔細(xì)分析,否則,很容易因顧此失彼而導(dǎo)致失誤。

如圖6所示,兩條平行的金屬導(dǎo)軌MN、P Q固定在絕緣水平面上,兩導(dǎo)軌間的距離L=1m,且MP、a b、c d、e f間的距離也均為L(zhǎng)=1m,導(dǎo)軌MN、P Q和MP單位長(zhǎng)度的電阻均為R0=0.1Ω,虛線a b右側(cè)空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向豎直向下,且大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為Bt=0.2+0.1t(T),導(dǎo)體棒開(kāi)始時(shí)在外力作用下靜止于c d處,若導(dǎo)體棒的電阻忽略不計(jì),求：

圖6

(1)通過(guò)導(dǎo)體棒電流的大小和方向。

(2)若導(dǎo)體棒在外力作用下以2m/s的速度勻速向右運(yùn)動(dòng),在t=0時(shí)刻剛好經(jīng)過(guò)c d處,則此時(shí)導(dǎo)體棒所受的安培力為多大?

(3)在第(2)問(wèn)的情景下,求導(dǎo)體棒從c d處勻速運(yùn)動(dòng)到e f處的過(guò)程中安培力做的功。

解析：(1)導(dǎo)體棒不動(dòng)時(shí),回路中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì),根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得E=此時(shí)回路總電阻R=5L R0,由閉合電路歐姆定律得由閉合電路歐姆定律得,解得I=0.2A。根據(jù)楞次定律可知,電流的方向?yàn)閐→c。

(2)導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),同時(shí)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),由楞次定律可知,二者的方向相同,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得導(dǎo)體棒所受的安培力F1=B0I1L,解得F1=0.2N。

(3)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知,t時(shí)刻回路中的總電動(dòng)勢(shì)回路總電阻Rt=5L R0+2v t R0,通過(guò)導(dǎo)體棒的電流,解得可知回路中的電流為定值,與時(shí)間無(wú)關(guān),所以導(dǎo)體棒所受安培力隨時(shí)間均勻變化。當(dāng)導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),導(dǎo)體棒受到的安培力隨位移均勻變化,則導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到c d處所受安培力F1=BcdI L。又有,安培力所做的功,解得W=-0.2 2 5J。

(責(zé)任編輯 張 巧)