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論極限對學生數(shù)學思維能力的影響

2017-05-09 02:08馬靜亞
內蒙古教育·基教版 2017年4期
關鍵詞:極限數(shù)學思維能力

馬靜亞

摘 要:本文通過對極限概念的剖析,列舉相關案例,闡明極限學習如何使學生的數(shù)學思維能力(思維的深刻性、嚴謹性、辯證性)得以提升。

關鍵詞:極限;數(shù)學思維能力;辯證思想

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】B

【文章編號】1008-1216(2017)04B-0092-02

數(shù)學學習最重要的是培養(yǎng)學生的思維能力,在學習的過程中幫助學生學會思考、學會學習、學會求知。良好的數(shù)學思維能力是個人適應現(xiàn)代生活和未來發(fā)展的重要能力基礎。本文通過幾個案例來透視極限對學生數(shù)學思維的影響。

一、通過極限的學習提高思維的深刻性

中學學習的數(shù)列極限主要為定性描述,如:“an與a的距離無限接近”“|an-a|的值無限小”,更有“an與a的距離比你所能想到的還要小”等。數(shù)學分析在對極限部分的處理上,引入了定量化的極限概念,這與中學學習極限概念徹底劃清了界限。

將極限概念用簡化的邏輯符號來表示: an=aε>0,N>0,當n>N時,恒有|an-a|<ε。此定義是由一堆抽象的字母與數(shù)學符號構成,同時又包含“任意給定”“存在”“對所有”這些量詞,邏輯結構復雜難以理解,很容易對它把握不準。因此在整個學習過程中,要注意“由主到次”“由粗到精”地層層剖析,捋順其中的關系,深入地思考與分析很有必要:

(一)對于任給的ε,首先它可以是實數(shù)域內任意取的正數(shù),但ε一旦確定,又是實數(shù)域里的一個定值。因此,它一方面是任意的,以保證an與a的接近程度;另一方面,它又是固定的,以保證檢驗步驟的進行。通過分析ε的任意性和確定性,來準確地從“量”上把握數(shù)列極限。

(二)一般由|an-a|<ε推出N,隨著ε的變小,N越來越大。雖然N與ε有關,但并非由ε唯一決定,關鍵是N的存在性。

(三)對于不等式|an-a|<ε-εN的點an都落在a的ε鄰域里,而在此鄰域外的點,至多在數(shù)列{an}前有N個有限點。 在這樣層層分析極限概念的學習中可以不斷提高學生思維的深刻性。

課堂學習中有這樣一道題目:0.9是否可以等于1?大多數(shù)同學是這樣回答的:0.9不會等于1,并且0.9永遠小于1。因為作為小數(shù)的0.9,即使后面再有無數(shù)個9,總不能與正數(shù)1相等。但這道題的正確答案是:0.9與1相等。

分析上述解答中存在的問題,學習者還是延續(xù)初等數(shù)學的思想,用有限思想來考察無限的變化問題。應用極限的思想來解答,即,這樣來看二者相等是顯而易見的。因此,當把的n擴大看成是有限的,0.9小于1,但當n增大到一定的限度,量變成為質變,0.9與1相等。

這是初等數(shù)學與高等數(shù)學明顯的異同點,在分析這種問題時,我們要有意識地進行思考與訓練,多進行這樣的練習,思維深刻性就會在無形中得以提高。

二、通過極限的學習訓練思維的嚴謹性

極限理論是一個嚴密的系統(tǒng),初學者常犯思考不全面,邏輯不嚴謹?shù)腻e誤。

例1:求極限: 。

學生解答 原式= ++…+=0 。

分析:錯解的問題在于用錯極限和的性質,只有和為有限項時和的極限才等于極限的和。本題中,極限和看起來是有限個(n個),但實際為無窮多個(n→∞),上述性質就不再適用。這反映出學生思維的不嚴謹性。

正解:本題可以將極限式化為積分和,使用定積分進行計算。

例2:求極限 。

學生解答 原式 ==0。

分析:學生解答中,首先沒有弄清自變量是朝兩個方向無限增大,得到arctanx =的錯誤結論。再次,將∞直接寫到分母位置并沒有理論根據。此外,忽略商的極限條件,直接令,雖然得到的答案是極限為0,與正確答案一致,但解答思路錯誤。

正解:①當x→+∞時,arctanx→+,→0,根據無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量這一結論,能夠得出

=0。

②當x→+∞時,arctanx→-,→0,根據同上結論,

能夠得出 =0。

要避免上述情況發(fā)生,不僅要具有堅實的知識基礎,更要樹立嚴謹?shù)慕忸}觀念,掌握正確的方法與技巧。這就要求我們在學習過程中,要特別注意加強對概念定義的嚴格把握,對題目內容的全面分析,以增強思維的嚴謹性。

三、通過極限的學習,提高思維的辯證性

極限中蘊含著豐富的哲學辯證思想,把極限理論與哲學思想融會貫通,對于提高學生思維的辯證性,形成正確的世界觀和人生觀都有很好的作用。

(一)量變與質變的轉化統(tǒng)一

量變發(fā)展到一定程度,就會引起質變,這是事物發(fā)展的必然結果。對于極限也不例外,如函數(shù)f (x)=A,x與f (x)在不斷進行量變,無限變化過程中發(fā)生質變,x變?yōu)槎ㄖ祒0,f (x)變?yōu)槎ㄖ礎。

(二)有限與無限的轉化統(tǒng)一

正是引入了無限思想才使得極限概念得以確定,雖然有限與無限有著本質的不同,但它們之間又有聯(lián)系。 例如,在極限an=a中,隨著n的增大an無限趨于a,無限變化的an可以通過有限量a來表明它的變化趨勢,有限量a又可借助無限變化的an來進行認識,這樣的對立體現(xiàn)了局部的有限性與整體的無限性。因此,在極限思想中,無限是有限的發(fā)展,有限是無限的結果,二者可以轉化統(tǒng)一。

(三)近似與精確的轉化統(tǒng)一

近似與精確的轉化是數(shù)學應用于實際運算的重要訣竅。例如,劉徽的“割圓術”,通過不斷倍增圓內接正多邊形的邊數(shù),正多邊形的面積就逐漸轉化為圓的面積,從而實現(xiàn)由近似到精確的矛盾轉化,進而求出圓周率。

四、通過對極限數(shù)學史的學習,提高創(chuàng)新性意識

極限理論的創(chuàng)立過程充滿了我們難以想象的艱辛,一代代數(shù)學家經過不懈的努力,克服重重的困難,最終建立起了完善的極限系統(tǒng)理論。這些偉大的數(shù)學家的創(chuàng)新精神值得我們學習。我國古代數(shù)學家在極限研究方面做出了很大貢獻。

我國魏晉數(shù)學家劉徽發(fā)明的“割圓術”是中國古代極限思想的典范。劉徽為證明《九章算術》“圓田術問題”,推導的圓面積計算公式“半周半徑相乘得積步”這一結論,創(chuàng)造出了著名的“割圓術”,在極限思想的啟發(fā)下,提出“化圓為方”的基本思想:他從圓內接六邊形出發(fā),將邊數(shù)依次加倍,一直推算到內接正192邊形,并逐次計算得到正多邊形的周長和面積,劉徽指出,隨著分割的不斷細密,當達到極限狀態(tài)時,內接多邊形與圓便重合,在此基礎上得到圓周率的近似值為π≈3.14,這即是我們所說的徽率,這是當時世界上最準確的圓周率值。

南北朝的祖沖之又在此基礎上取得新成就。祖沖之自幼刻苦,對數(shù)學有著濃厚的興趣,他在研究過劉徽“割圓術”之后,又通過自己的創(chuàng)新,得到圓周率在3.1415926與3.1415927之間,成為當時世界上最早計算圓周率精確到6位小數(shù)的人,這是他最突出的研究成果。1100年以后,德國數(shù)學家奧托才得出如此精確的結果。祖沖之的計算結果非常精密,用他的密率來計算半徑十公里圓的面積誤差僅有幾平方毫米。祖沖之如何得到這么精確的結果,由于他的著作失傳,我們已無法了解。但是很顯然若是沒有嚴謹?shù)恼撟C、完善的推導,是不可能有如此輝煌的成就的。更為可貴的是,在那個信息非常閉塞,計算具非常落后,資料非常缺少的年代,完成這樣的研究,工作量會是多么的巨大!這讓現(xiàn)代人感到十分震驚!

綜上所述,極限學習不僅是讓學生獲得數(shù)學知識,更重要的是讓學生體會數(shù)學思維與方法,提高思維能力,體會極限中蘊含的人文精神,促進全面發(fā)展。因此,我們在學習時要認真把握,善于思考,這樣才能把數(shù)學學好,學得有意義。

參考文獻:

[1]耿恒考,王宗信.學生的數(shù)學學習能力在不斷探究中提升[J].數(shù)學通報,2016,(9).

[2]胡先富. 在極限的教學中談學生數(shù)學素質的培養(yǎng)[J].數(shù)學通報,2008,(8).

[3]陶振乾.極限概念的源流及其文化性探析[D].華中師范大學,2015.

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