王念良

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院/應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，陜西商洛 726000）

1 引言與結(jié)論

定義1[1]設(shè)p是奇素?cái)?shù)，n是正整數(shù)，(p,n)=1。若同余方程：

有解，則稱n是模p的二次剩余；若無(wú)解，則稱n是模p的二次非剩余。

二次剩余理論是初等數(shù)論中非常重要的結(jié)論與組成部分。17世紀(jì)到18世紀(jì)，費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數(shù)論學(xué)家對(duì)二次剩余問(wèn)題作了初步研究，證明了部分定理并作出了一些相關(guān)的猜想，高斯是首先對(duì)二次剩余進(jìn)行系統(tǒng)研究的數(shù)學(xué)家，他在著作《算術(shù)研究》中首次引入了術(shù)語(yǔ)“二次剩余”與“二次非剩余”的概念[1]。二次剩余不僅可用來(lái)判斷二次同余式是否有解，而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，如從噪音工程學(xué)到密碼學(xué)以及大數(shù)分解等[2-5]。

設(shè)χ是模q的Diriclet特征，令Gn(χ)=表示關(guān)于特征χ的廣義高斯和(χ)=表示關(guān)于特征χ的高斯和。關(guān)于特征 χ的 Dirichlet函數(shù) L(s,χ)定義為[3]：

設(shè) k,α 是非負(fù)整數(shù)，r是正整數(shù),q=pα，χ是模p的Dirichlet本原特征。關(guān)于特征χ的短區(qū)間和定義[3-4]為：

定理設(shè)k,α 是非負(fù)整數(shù)，r是正整數(shù),q=pα。當(dāng)素?cái)?shù)p≡1(mod 4)時(shí)，勒讓德符號(hào)

2 結(jié)論的證明

為了完成定理的證明，首先敘述一個(gè)引理。

引理 1[3]設(shè) k,α,t,u 是非負(fù)整數(shù)，0＜t≤u，q=pα,χ是模p的Dirichlet本原特征，則

引理1的證明根據(jù)文獻(xiàn)[3]引理1,取即得，略。

定理的證明由于定理中8個(gè)公式的證明過(guò)程是類似的，僅對(duì)定理中(5)(7)(9)(11)給出詳細(xì)證明，其余的讀者可類似的給出證明過(guò)程。

在引理 1中，當(dāng)p≡1(mod 4)時(shí)，注意到pα-1≡1(mod 4)，取，則 t=1,u=4 由(14)(15)式得：

將(13)式右端和式按下標(biāo)的奇偶性分成兩部分，注意到：

由(16)(17)式即有(5)式。類似的，可證明(6)式。

此時(shí)，（13）式右端和式僅有偶數(shù)下標(biāo)部分的和，注意到：

這就證明了(7)式，類似的可證明(8)式。

在引理1中，當(dāng)時(shí)p≡3(mod4)，注意到pα≡(-1)α(mod 4)，取 t=1,u=4，則由(14)(15)式得：

將(13)式右端和式按下標(biāo)的奇偶性分成兩部分，注意到：

偶數(shù)下標(biāo)部分的和為：

由(18)(19)式即得(9)式。類似的可證明(10)式。

要證明(11)式，取 t=1,u=2，則由(14)(15)式得：

此時(shí)，(13)式右端和式僅有奇數(shù)下標(biāo)部分的和，注意到：

這就證明了(11)式，類似的，可證明(12)式。

參考文獻(xiàn)：

[1]閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].2版.高等教育出版社,2001.

[2]李子臣,戴一奇.二次剩余密碼體制的安全性分析[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,41(7)：80-82.

[3]WANG N L，LIJZ， LIU D S.EulerNumber Congruences and Dirichlet L functions[J].J Number Theory,2009,129：1522-1531.

[4]WANG N L，LI H L,LIU G D.CosineE Highter-order Euler number congruences and Dirichlet L-function values[J].Kyushu Journal of Mathematics,2017,71(1)：197-209.

[5]王念良,趙銳.交錯(cuò)級(jí)數(shù)Euler變換式的一個(gè)應(yīng)用[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào),2013,27(2)：3-5.