文/寧啟平

需要 興趣 時間 對話
——以《找規(guī)律》教學(xué)例談“四招”助學(xué)生建模

文/寧啟平

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們該怎樣發(fā)揮教師的主導(dǎo)地位，幫助學(xué)生積極主動地體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系呢？第一，需要，體驗建模的必要；第二，興趣，維系建模的欲望；第三，時間，保障建模的形成；第四，對話，支持有效建模。

數(shù)學(xué)建模是對實際問題本質(zhì)屬性進行抽象而又簡潔刻畫的數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序或圖形，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。它的靈魂是數(shù)學(xué)的運用，它就像陣陣微風(fēng)，不斷地將數(shù)學(xué)的種子吹撒在時間和空間的每一個角落，從而讓數(shù)學(xué)之花處處綻放。那么課堂教學(xué)中，我們該怎樣發(fā)揮教師的主導(dǎo)地位，幫助學(xué)生積極主動地“體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”呢？

1 需要，體驗建模的必要

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“課程內(nèi)容要反映社會的需要”。是的，如果問題的情境是學(xué)生們生活中所熟知的，那么學(xué)生就會產(chǎn)生一種強烈的我需要了解這個知識的欲望。當(dāng)學(xué)生的頭腦激活了已有的生活經(jīng)驗，并使用積累的經(jīng)驗來解決數(shù)學(xué)問題時，發(fā)現(xiàn)不是件容易的事情，數(shù)學(xué)模型的建立變成了問題解決的必要條件。所以在《找規(guī)律》一課，我呈現(xiàn)了如下主題圖進行教學(xué)。

（圖1）

老師提出：“記得吧，國慶節(jié)時，學(xué)校像上圖一樣，在大門口擺放了很多盆花？”同學(xué)們“記得！”的聲音悅耳動聽，老師接著問：“那按照從左到右的順序排列，第10盆花是什么顏色？”一個學(xué)生答道：“藍花，紅花；藍花，紅花；藍花，紅花；藍花，紅花；藍花，紅花。第十盆是紅花?！崩蠋熢賳枺骸暗?00盆呢？”下面有了議論：“再這樣數(shù)，太麻煩了吧？”學(xué)生們自我否定了較為低級的思維品質(zhì)，（當(dāng)然，這也是一種思維，尤其是在數(shù)量較少的情況下，反能體現(xiàn)這種思維的優(yōu)越性。）一會兒，又一個學(xué)生舉起了手：“我發(fā)現(xiàn)藍花是單數(shù)盆，紅花是雙數(shù)盆，100是雙數(shù)，所以第100盆是紅花?！睂W(xué)生的建模有了雛形，套用單數(shù)、雙數(shù)的解題策略，無論是第幾盆花，都可判斷盆花的顏色。

緊接著，老師出示圖2：

（圖2）

“這個情形大家也熟悉吧？那請同學(xué)們應(yīng)答：從左往右數(shù)，第100只燈籠是什么顏色？”顯然，剛剛塑造的模型已經(jīng)無法適用，現(xiàn)實的情境“引誘”著學(xué)生不得不思考更為普遍性的模型。

2 興趣，維系建模的欲望

三十多年的從教經(jīng)驗告訴自己：數(shù)學(xué)教育教學(xué)的第一哲學(xué)命題是趣味，即對于小學(xué)生而言，趣味性是第一位的，所以，數(shù)學(xué)建?；顒右部梢约畬W(xué)生感興趣的事物去維系學(xué)生建模的欲望。怎樣的知識學(xué)生感興趣呢？按心理學(xué)家的研究發(fā)現(xiàn)，有兩種：一種是好玩的知識，一種是有一定挑戰(zhàn)性的知識。

以此為出發(fā)點，在《找規(guī)律》的教學(xué)中，學(xué)生作答下題時，如下圖：

當(dāng)學(xué)生說自己11歲，屬龍，23歲、35歲……的人與自己屬相相同后，我提出問題：“假如2012年出生的人屬鼠，那么2100年出生的人屬什么？”通過前文主題圖的學(xué)習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)找出了周期問題的模型：“規(guī)律總數(shù)÷一個周期的量數(shù)=幾個周期余幾”，且“余數(shù)‘幾’，就和這個周期中的‘幾’相同”。依據(jù)解題模型，學(xué)生列出（2100-2012+1）÷12=7……5，可觀察出周期的第5個生肖屬龍后，我又出示一個問題：“事實上2012年出生的人屬龍，那么2100年出生的人屬什么？”針對前一個比較好玩的問題，后一個問題帶有了一定的挑戰(zhàn)性。

因為雖然解題的模型是一樣的，但是對照模型，盡管除數(shù)的量都是12，即12生肖周期循環(huán)，可周期的順序發(fā)生了變化，第一個問題中的周期順序是“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬?！钡诙€問題中的周期順序是“龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬、鼠、牛、虎、兔?！痹趯W(xué)生還用同樣的模型結(jié)構(gòu)解題后，顯然出現(xiàn)了矛盾，有了矛盾就有了爭論，也正是知識挑戰(zhàn)，帶來了學(xué)生繼續(xù)去構(gòu)建完整模型的動力。經(jīng)過一番常識錯誤到再出發(fā)，學(xué)生們興奮地交流著發(fā)現(xiàn)：“雖然算式還是原來的算式，答案也是原來的答案，余數(shù)5對應(yīng)的卻不再是龍，而是猴?！敝芷趩栴}的解題模型至此才算臻于完美。

3 時間，保障建模的形成

“教育應(yīng)當(dāng)使所提供的東西讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來領(lǐng)受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負擔(dān)。”這是愛因斯坦的告誡?？墒?，為了一味追求所謂的教學(xué)有效性，現(xiàn)在的課堂流行快節(jié)奏，老師一張PPT接著一張PPT地展示，同時輔以大題量的練習(xí)，美名曰高密度。這樣的課堂，學(xué)生只有緊張，只有惶恐，可謂苦不堪言。教育不是流水線，不能以單位時間里做題量的多寡來定性有效；教育必須是慢的藝術(shù)，如古人云：“慢工出細活?！?/p>

例如上文《找規(guī)律》的習(xí)題教學(xué)，正是因為我給了學(xué)生足夠的時間去辨別“假如2012年出生的人屬鼠，那么2100年出生的人屬什么？”和“事實上2012年出生的人屬龍，那么2100年出生的人屬什么？”的同與不同，學(xué)生才能水到渠成地發(fā)現(xiàn)周期數(shù)量相同但是周期順序不同，而順序決定了余數(shù)的用處。也正是充裕時間的保障，學(xué)生才能又機會辨析自己模型是否健全，是否符合普遍性原理；當(dāng)模型需要修正的時候，也只有充裕的時間，才能保障學(xué)生自己去再度探索，否則，只能走回老師強行灌輸?shù)睦下贰?/p>

4 對話，支持有效建模

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》闡述了這樣的觀點——“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。”但是，學(xué)生求索模型的過程必定是曲折的，模型的構(gòu)建也必定是從殘缺到完善，所以老師需要不斷地與學(xué)生以對話支持。

回到《找規(guī)律》主題圖2的教學(xué)：

老師提問：“從左往右數(shù)，第100只燈籠是什么顏色？”

一學(xué)生：“單數(shù)可以是紅燈籠，也可以是紫燈籠，這種方法不適合，但我可以知道紅、紫、黃三種顏色的燈籠可以圈出成一組，并且一組一組地依次出現(xiàn)?！?/p>

這贏得了不少學(xué)生的贊成，我依勢佯問：“如果第100只燈籠出現(xiàn)在第10組的第2，那是什么顏色？”

學(xué)生們欣喜若狂：“明白了，只要看第100燈籠出現(xiàn)在哪一組，排第幾就好了。”學(xué)生們列出算式：100÷3=33……1，我追問：“借你們的話，第100燈籠出現(xiàn)在哪一組，排第幾？”

學(xué)生自信滿滿地答道：“第34組，第1只，也就是紅燈籠?！?/p>

我不依不饒：“從左往右數(shù)，第200只燈籠是什么顏色？”

學(xué)生們愈發(fā)得意了：“200÷3=66……2，第200只燈籠是第67組的第2只，也就是紫燈籠?！?/p>

“都是老師在提問，難道你們就沒有什么問題？”我裝出一臉的無奈。學(xué)生們笑了，一個搶著問：“從左往右數(shù)，第90只燈籠是什么顏色？”另一個搶著答：“90÷3=30，從左往右數(shù)，第90只燈籠出現(xiàn)在第30組的……”停頓了一下，“第30組的最后一個?！?/p>

又一個學(xué)生提出：“那我來問吧，你們根據(jù)余數(shù)發(fā)現(xiàn)了什么？”模型結(jié)構(gòu)的重點就這樣由學(xué)生提了出來。

……

恩格斯曾說過：“由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式不是無聊的游戲，而是數(shù)學(xué)的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠?！边@句話道出了數(shù)學(xué)模型思想的核心，啟迪著我們數(shù)學(xué)教師，幫助學(xué)生找尋到建模的支點，用數(shù)學(xué)模型的杠桿，享受數(shù)學(xué)知識帶來的無窮魅力。

（作者單位：懷寧縣獨秀小學(xué)）