賀紅林， 袁維東， 夏自強(qiáng)， 劉堯弟

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

約束阻尼結(jié)構(gòu)的改進(jìn)準(zhǔn)則法拓?fù)錅p振動(dòng)力學(xué)優(yōu)化

賀紅林， 袁維東， 夏自強(qiáng)， 劉堯弟

(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院，南昌 330063)

旨在為減振設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)，研究約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化。以阻尼材料用量、振動(dòng)特征方程、模態(tài)頻率為約束，以多模態(tài)損耗因子倒數(shù)的加權(quán)和最小為目標(biāo)，建立了約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，引入MAC因子控制結(jié)構(gòu)的振型躍階。在引入質(zhì)量陣懲罰因子基礎(chǔ)上推導(dǎo)出優(yōu)化目標(biāo)靈敏度?？紤]到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的非凸性，采用常規(guī)準(zhǔn)則法(OC)尋優(yōu)可能會(huì)使拓?fù)渥兞砍霈F(xiàn)負(fù)值或陷入局部?jī)?yōu)化，故引入數(shù)學(xué)規(guī)劃移動(dòng)漸近技術(shù)對(duì)OC法進(jìn)行改進(jìn)，從而將全體拓?fù)渥兞考{入改進(jìn)算法的優(yōu)化迭代全過程。編程實(shí)現(xiàn)了約束阻尼板改進(jìn)OC法拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化并對(duì)改進(jìn)法性能進(jìn)行了仿真。結(jié)果顯示,改進(jìn)算法可得到更合理的約束阻尼層構(gòu)形，可使結(jié)構(gòu)取得更佳減振效果。研究表明,改進(jìn)算法迭代穩(wěn)定性更好、尋優(yōu)效率更高、更具全域最優(yōu)性。

約束阻尼板；多模態(tài)損耗因子；改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法；減振特性；動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化

隨著航空航天和先進(jìn)制造等現(xiàn)代科技發(fā)展，機(jī)械日趨高速和大動(dòng)力化，使結(jié)構(gòu)所受激擾越來越多、運(yùn)行環(huán)境愈發(fā)復(fù)雜且不斷惡化，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題日趨突出。振動(dòng)不僅帶來噪聲、結(jié)構(gòu)失效、機(jī)械工作精度下降等問題，嚴(yán)重時(shí)還可能導(dǎo)致振動(dòng)疲勞而引發(fā)事故，因此如何有效地控制振動(dòng)已成為機(jī)械設(shè)計(jì)的重要課題。采用隔振、吸振、減振等可有效控制機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)，其中，在結(jié)構(gòu)表面附加黏彈性阻尼材料作為一種被動(dòng)減振技術(shù)，已被驗(yàn)證為一種實(shí)用、有效振動(dòng)控制措施，近年來得到了廣泛應(yīng)用[1]。實(shí)踐表明，黏彈阻尼材料能在相當(dāng)寬的頻帶內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)起到較大抑制作用。在結(jié)構(gòu)上附加黏彈阻尼的方式主要有兩種,即自由阻尼結(jié)構(gòu)和約束阻尼結(jié)構(gòu)[2]。后者因可產(chǎn)生強(qiáng)烈的振動(dòng)能耗散效應(yīng)，且能有效地控制多峰諧振，故工程應(yīng)用更為廣泛。然而，若在結(jié)構(gòu)全域均附加阻尼材料必導(dǎo)致結(jié)構(gòu)重量巨增，有悖于結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)思想。因此如何在嚴(yán)格控制阻尼材料用量條件下，使結(jié)構(gòu)獲得最佳減振效果，成為阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的共性問題。

要改善結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能并降低其動(dòng)響應(yīng)，可借助拓?fù)鋬?yōu)化手段[3]。為此，針對(duì)阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化，楊德慶[4]提出阻尼胞抑振單元和拓?fù)鋬?yōu)化敏度并據(jù)此建立了阻尼材料優(yōu)化配置準(zhǔn)則；韋勇等[5]提出了快速拓?fù)鋬?yōu)化法；李攀等[6]基于SIMP插值研究了約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化?？紤]到優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimal Criterion，OC)是作為靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的主要方法之一[7]，為此，郭中澤等[8]將其引入阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化并指出該方法同樣適于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化及輕量化設(shè)計(jì)；鄭玲等[9]分別研究了約束阻尼板和自由阻尼板變密度優(yōu)化并應(yīng)用一般優(yōu)化準(zhǔn)則法實(shí)現(xiàn)了阻尼板求解，并在準(zhǔn)則法的靈敏度項(xiàng)處理中僅采用大于0的靈敏值，作為對(duì)靜力優(yōu)化OC法的改進(jìn)。鑒于約束阻尼結(jié)構(gòu)耗能主要源于其黏彈阻尼層剪切變形，模態(tài)損耗因子則是衡量能耗大小的主指標(biāo)，為此Johnson等[10]在對(duì)阻尼結(jié)構(gòu)復(fù)特征解簡(jiǎn)化為實(shí)特征解的基礎(chǔ)上，提出基于模態(tài)應(yīng)變能(Modal Strain Energy，MSE)的損耗因子計(jì)算方法。

由于一般優(yōu)化準(zhǔn)則法數(shù)學(xué)意義明晰，用于結(jié)構(gòu)靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化迭代時(shí)能確保拓?fù)渥兞康恼敌?，故在靜力學(xué)設(shè)計(jì)中得到了很好的應(yīng)用。但在將其用于拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化時(shí)，因優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可能存在非凸特性，故優(yōu)化迭代中不一定能保證設(shè)計(jì)變量的非負(fù)性，從而可能導(dǎo)致迭代過程不收斂或局域收斂[11]。為滿足動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)要求并發(fā)揮OC法優(yōu)勢(shì)，本文對(duì)OC法進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)法保留了OC法的優(yōu)點(diǎn)并避免了設(shè)計(jì)變量迭代發(fā)散等問題，同時(shí)，為使阻尼結(jié)構(gòu)在較寬頻域具有良好減振特性，文中著重探索了多模態(tài)減振優(yōu)化問題。

1 有限元法動(dòng)力學(xué)求解

阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題求解通常采用有限元法，具體實(shí)施可采用復(fù)特征值法、模態(tài)應(yīng)變能法(MSE)、直接頻率響應(yīng)法，其中MSE法在計(jì)算中忽略振動(dòng)模態(tài)的虛部，可避免復(fù)雜的復(fù)特征值與特征向量計(jì)算，特別是當(dāng)結(jié)構(gòu)的特性以彈性為主導(dǎo)時(shí)，采用此法可獲得較高的動(dòng)力學(xué)計(jì)算精度。考慮到本文將基于模態(tài)損耗因子推進(jìn)阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化，優(yōu)化迭代中涉及大量的動(dòng)力學(xué)參數(shù)計(jì)算，故為提高優(yōu)化效率而采用MSE計(jì)算阻尼板模態(tài)損耗因子。對(duì)于彈性主導(dǎo)的約束阻尼板，若不考慮能量損失，則根據(jù)Hamilton原理可構(gòu)建立阻尼板振動(dòng)之廣義特征方程

(K-ω2M)φ=0

(1)

對(duì)式(1)求解，即可得到阻尼板模態(tài)頻率ωj及振型φj。

約束阻尼板主要通過黏彈材料實(shí)現(xiàn)耗散效應(yīng)，板內(nèi)金屬層的耗能能力與黏彈層相比要低幾個(gè)數(shù)量級(jí)，通?？珊雎浴ｐ椥詣?dòng)力學(xué)理論表明，可用以描述黏彈層力學(xué)本構(gòu)的數(shù)學(xué)模型有多種，但較為實(shí)用是常復(fù)數(shù)模量模型[12]。若從該模型出發(fā)，則不難推導(dǎo)出阻尼板的i階模態(tài)損耗因子的計(jì)算式,即

ηi=ηvEv,i/ET,i

ET,i=Ev,i+Ebc,i,Ebc,i=Eb,i+Ec,i

(2)

式中:ηv為黏彈層材料的損耗因子；Eb,i、Ev,i、Ec,i分別為基層、阻尼層、約束層的i階模態(tài)應(yīng)變能；ET,i為阻尼板的i階模態(tài)總應(yīng)變能。

對(duì)于以彈性為主導(dǎo)的約束阻尼結(jié)構(gòu)，其模態(tài)損耗因子與模態(tài)阻尼比間大致存在關(guān)系：ηi≈2ξi。據(jù)此，可推得阻尼板第i階模態(tài)的振動(dòng)平衡方程

(3)

2 拓?fù)錅p振動(dòng)力學(xué)優(yōu)化建模

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

如同結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化一樣，約束阻尼板拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化同樣需以一定的優(yōu)化目標(biāo)指明迭代方向，并評(píng)價(jià)優(yōu)化結(jié)果。針對(duì)阻尼結(jié)構(gòu)減振設(shè)計(jì)，該目標(biāo)既可設(shè)定為結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移響應(yīng)或若干特征點(diǎn)的振幅，也可以是模態(tài)阻尼比或模態(tài)損耗因子，還可以是結(jié)構(gòu)的動(dòng)撓度、模態(tài)頻率等?？紤]到模態(tài)損耗因子能綜合地反映結(jié)構(gòu)在一定頻段內(nèi)振動(dòng)時(shí)的總體耗能和減振效果，故選定模態(tài)損耗因子為優(yōu)化目標(biāo)。這樣，阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化便是通過合理配置約束阻尼層的材料布局，使結(jié)構(gòu)的特定階次模態(tài)損耗因子最大。然而，在規(guī)范的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中，目標(biāo)函數(shù)須以最小化形式出現(xiàn)，以便借助現(xiàn)存的一些成熟優(yōu)化迭代技術(shù)推進(jìn)優(yōu)化。在優(yōu)化建模時(shí)，有必要先求取模態(tài)損耗因子的倒數(shù)，再以該倒數(shù)作為模型中的目標(biāo)函數(shù)。在阻尼減振設(shè)計(jì)時(shí)，通常對(duì)阻尼材料用量提出嚴(yán)格限制以保證結(jié)構(gòu)輕量化，并且為保證結(jié)構(gòu)的預(yù)期功能，還要求黏彈層的鋪設(shè)不能造成結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性如頻率、模態(tài)、振型等發(fā)生太大改變?？紤]上述因素，為阻尼減振結(jié)構(gòu)建立拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(4)

結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究表明，彈性結(jié)構(gòu)中階次較低的模態(tài)通常是對(duì)振動(dòng)位移響應(yīng)貢獻(xiàn)較大的主導(dǎo)模態(tài)。在減振設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)鍵是要抑制或降低主導(dǎo)模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)，即對(duì)主導(dǎo)模態(tài)實(shí)施控振措施。事實(shí)上，即便是各主導(dǎo)模態(tài)，在結(jié)構(gòu)處于不同激擾條件時(shí)如當(dāng)結(jié)構(gòu)激振頻率不同時(shí)，其振動(dòng)貢獻(xiàn)也會(huì)發(fā)生一定改變。這意味著需在目標(biāo)函數(shù)中引入不同的權(quán)值?i以強(qiáng)化對(duì)主導(dǎo)模態(tài)的減振效應(yīng)，且最好依據(jù)模態(tài)參與因子取定?i。當(dāng)然，若結(jié)構(gòu)僅存在單頻激勵(lì)且激振頻率、激勵(lì)方向與某階模態(tài)相契合，則只需控制該模態(tài)振動(dòng)即可。事實(shí)上，單一模態(tài)優(yōu)化只作為多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化的特例。

2.2 優(yōu)化目標(biāo)靈敏度計(jì)算

優(yōu)化目標(biāo)對(duì)于優(yōu)化變量的靈敏度指設(shè)計(jì)變量發(fā)生單位變化時(shí)所引起優(yōu)化目標(biāo)值的改變量，其數(shù)學(xué)含義即是目標(biāo)函數(shù)對(duì)于拓?fù)渥兞康膶?dǎo)數(shù)和梯度。靈敏度計(jì)算為阻尼板減振優(yōu)化提供迭代方向。式(4)的目標(biāo)函數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)變量的靈敏度可寫成

?i[?(1/ηi)/?xnm]

(5)

?(1/ηi)/?xnm=[Ev,i(?Ebc,i/?xnm)-

可看出只要求得能量的相關(guān)參數(shù)便可求解目標(biāo)函數(shù)值。

采用OC法求解阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化問題時(shí)，須設(shè)定黏彈層單元物理參數(shù)、力學(xué)特性參數(shù)如密度和彈性模量等與拓?fù)渥兞块g的關(guān)系，考慮到阻尼結(jié)構(gòu)減振優(yōu)化不涉及基層單元改變，故可設(shè)基層單元特性恒定，而黏彈層和約束層單元均采用固體各向同性材料懲罰(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)，即令

(6)

式中:Eo、ρo為彈性材料在優(yōu)化迭代的基本彈性模量密度;p、q為適當(dāng)取定的正值懲罰因子式。將式(6)代入黏彈單元、約束層單元?jiǎng)偠汝嚰百|(zhì)量陣，且令剛度陣和質(zhì)量陣對(duì)拓?fù)渥兞壳髮?dǎo)，則可推導(dǎo)出

(7)

式中:SEi、KEi分別為單元的i階模態(tài)應(yīng)變能和模態(tài)動(dòng)能；cm、vm為約束單元、阻尼單元標(biāo)識(shí)符。

3 優(yōu)化模型改進(jìn)OC法求解

已有研究表明，當(dāng)采用優(yōu)化準(zhǔn)則法實(shí)現(xiàn)工程結(jié)構(gòu)靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化求解時(shí)，通常能較好地迭代出結(jié)構(gòu)的拓?fù)淙蜃顑?yōu)解。但在采用該方法推進(jìn)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，因所針對(duì)的目標(biāo)函數(shù)不一定具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)凸性，故在優(yōu)化迭代中計(jì)算出的目標(biāo)函數(shù)靈敏度不僅有正值出現(xiàn)也可能產(chǎn)生負(fù)值。拓?fù)潇o力學(xué)OC法優(yōu)化中，只會(huì)產(chǎn)生正值靈敏度，這是兩類優(yōu)化問題在迭代中的最大不同之處，它表明在進(jìn)行拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化時(shí)，若簡(jiǎn)單地采用常規(guī)OC法，則難免出現(xiàn)設(shè)計(jì)變量被迭代為負(fù)值的不合理情況。當(dāng)然，在動(dòng)力學(xué)優(yōu)化程序中通過人為設(shè)定拓?fù)渥兞咳≈捣秶?，或忽略?fù)值靈敏度，可避免變量負(fù)值設(shè)計(jì)變量并為后續(xù)迭代做好準(zhǔn)備，但這樣做勢(shì)必帶來拓?fù)渥兞恐堤S及其迭代不連續(xù)狀況，從而導(dǎo)致最終迭代出的解并非全域最優(yōu)。正因如此，本文在對(duì)常規(guī)的拓?fù)鋬?yōu)化OC法進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出了阻尼板拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)減振優(yōu)化OC法。

3.1 OC法的數(shù)學(xué)規(guī)劃意義改進(jìn)

在求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)以及使其具有凸性的算法中，數(shù)學(xué)規(guī)劃法的序列凸規(guī)劃方法，是以泰勒展開式思想對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)進(jìn)行處理，下面基于此思想，對(duì)常規(guī)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)OC法進(jìn)行改進(jìn)。根據(jù)優(yōu)化理論，基于式(4)構(gòu)造常規(guī)拉格朗日函數(shù)

(8)

式中，λ、α-nm、α+nm均為拉格朗日乘子。對(duì)于滿足Karush-Kuhn-Tucke條件的優(yōu)化問題，必存在如下關(guān)系

(9)

引入移動(dòng)參數(shù)μ，且令λ*=λ+μ，Γ*=Γ-μV，并將它們代入式(9)，則易得

(10)

(11)

式中，Γo為一常數(shù)。式(11)對(duì)拓?fù)渥兞壳髮?dǎo)，則有

?Γ*/?xnm=?(Γ-μV)/?xnm=?[anm(xnm)-ζ]/?xnm

?Γ*/?ynm=anm

(12)

將式(12)進(jìn)行化簡(jiǎn)并經(jīng)整理后，可得

anm=-[?Γ/?xnm-μ(?V/?xnm)](xnm)ζ+1/ζ

μ≥(?Γ/?xnm)/(?V/?xnm)

(13)

式(13)表明，anm≥0，且近似函數(shù)Γ*具有嚴(yán)格凸性。

3.2 改進(jìn)OC法的優(yōu)化迭代格式

為便于行文，在此先令bnm=?V/?xnm并將其代入式(8)，這樣便將拉格朗日優(yōu)化函數(shù)改寫成

(14)

式(14)中，

式中，A、B、C分別為拓?fù)渥兞恐虚g值、最小值和最大值之集合。式(14)的解可基于式(9)、式(10)并通過求解類似于下述問題而得到，即求解

min:lnm，xmin≤xnm≤xmax

(15)

為此，令?lnm/xnm=0，并使其滿足Karush-Kuhn-Tucker條件，這樣便得到

xnm=(ζanm/λbnm)1/1+ζ

(16)

當(dāng)采用不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)，可將設(shè)計(jì)變量迭代式寫成

(17)

(18)

式中，

式中，ζ為設(shè)計(jì)變量更新后的極限值。

阻尼板拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化從本質(zhì)上講就是在滿足各種約束的條件下，通過不斷推進(jìn)迭代尋求最優(yōu)拓?fù)浣?。如果在迭代中拓?fù)渥兞恐底兓?，使得單元的剛度和密度之比不合理，必引致結(jié)構(gòu)振型大幅改變。為避免振型的躍階，在優(yōu)化模型中引入振型控制因子約束，以控制振型變化，即令

(19)

式中，χ為<1的正值系數(shù)，可取0.9。尋優(yōu)迭代推進(jìn)時(shí)，程序?qū)AC值進(jìn)行跟蹤，并適當(dāng)調(diào)整迭代方向盡量使MAC接近于1，以保證振型的穩(wěn)定性。

3.3 改進(jìn)OC優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)

為了實(shí)現(xiàn)基于式(18)迭代格的改進(jìn)OC法拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化，本文發(fā)揮MATLAB的數(shù)值計(jì)算優(yōu)勢(shì)以及ANSYS有限元軟件的動(dòng)力學(xué)建模及求解優(yōu)勢(shì)，綜合利用MATLAB編程語言及ANSYS 提供的ADPL二次開發(fā)語言，編制出約束阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算程序。該程序?qū)ATLAB當(dāng)作優(yōu)化迭代外殼，以ANSYS作為阻尼板動(dòng)力學(xué)特性有限元建模與求解內(nèi)核，利用前者完成設(shè)計(jì)變量的靈敏度計(jì)算、尋優(yōu)迭代、MAC (Modal Assurance Criterion)值計(jì)算等優(yōu)化內(nèi)容，利用后者求解阻尼板的振動(dòng)模態(tài)、模態(tài)頻率、質(zhì)量陣、剛度陣、阻尼陣等。兩者之間通過共享內(nèi)存的方式實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)交換并基于MATLAB為ANSYS提供的軟件接口，實(shí)現(xiàn)二者銜接。圖1給出阻尼板改進(jìn)OC法尋優(yōu)迭代的實(shí)現(xiàn)流程。

圖1 約束阻尼結(jié)構(gòu)減振拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)流程

4 優(yōu)化算例分析

影響阻尼板拓?fù)鋬?yōu)化效果的因素主要有兩方面：一是阻尼板動(dòng)力學(xué)分析模型及其求解精度；二是拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化算法本身的性能之優(yōu)劣。這意味著在評(píng)析優(yōu)化算法前，須先保證阻尼板有限元?jiǎng)恿W(xué)模型及其求解的有效性。通過大型商用軟件ANSYS的二次開發(fā)語言編寫有限元模型，由于阻尼層在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中不僅有拉伸變形，而且還有剪切變形，可選擇固體單元soild185，其余層選擇殼單元shell181，并且設(shè)置這些單元的特性項(xiàng)，以避免剪切鎖死和體積鎖死，充分釋放振動(dòng)應(yīng)變能[13]。在保證動(dòng)力學(xué)建模及求解精度基礎(chǔ)上，本文分別采用傳統(tǒng)的變密度OC法和改進(jìn)OC法進(jìn)行阻尼板拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化計(jì)算。

在算例分析時(shí)選定矩形阻尼板作為優(yōu)化對(duì)象，該板長(zhǎng)為800 mm,寬為400 mm；基層厚4 mm，楊氏彈性模量43.2 GPa，泊松比0.33，密度1 810 kg/m3；阻尼層厚0.001 m，剪切模量25 GPa，泊松比0.495，密度1 150 kg/m3，材料損耗因子0.58；約束層厚1.5 mm，物理屬性與基層完全相同，取單位集中力作為諧響應(yīng)分析激勵(lì)力，其作用位置如圖2(b)所示。在板的寬邊基層處定義固支約束，圖2(a)給出了優(yōu)化計(jì)算所基于阻尼板有限元模型。為便于觀察，在圖3給出了約束阻尼板的前三階計(jì)算振型和結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)變能云圖。圖4是針對(duì)阻尼板單一振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行減振動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的結(jié)果。圖4(a)、圖4(c)、圖4(e)給出了針對(duì)阻尼板前三階彎曲振動(dòng)模態(tài)，采用普通變密度OC法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)黏單層元密度迭代結(jié)果。圖4(b)、圖4(d)、圖4(f)則是采用改進(jìn)算法得到的密度分布圖。對(duì)比兩種算法所得到的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)采用改進(jìn)OC法時(shí)單元的密度值的聚集度更高，即設(shè)計(jì)變量密度值要么趨近于1，要么趨近于0，密度值取中間值單元相對(duì)較少?？梢姡倪M(jìn)算法避免了中間密度的大量出現(xiàn)，基本避免了優(yōu)化迭代結(jié)果二義性問題，較好地體現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化針對(duì)材料進(jìn)行挖空或保留作合理取舍的算法本質(zhì)。

(a) 有限元網(wǎng)格劃分

(b) 振動(dòng)激勵(lì)點(diǎn)設(shè)定

圖2 約束阻尼板的動(dòng)力學(xué)分析ANSYS模型

Fig.2 An FEM dynamic model for the damping plate

(a) 一階振型

(b) 一階應(yīng)變能

(c) 二階振型

(d) 二階應(yīng)變能

(e) 三階振型

(f) 三階應(yīng)變能

圖3 約束阻尼板前三階彎曲模態(tài)振型和模態(tài)應(yīng)變能

Fig.3 Three bending modes of damped plate and their strain energy

由圖4可知，密度值較大的黏彈阻尼(需保留)單元，優(yōu)先分布于阻尼板模態(tài)應(yīng)變相對(duì)較大的位置上，而密度小的挖空單元?jiǎng)t多半處于模態(tài)應(yīng)變較小的位置。之所以呈現(xiàn)出此布局主要是因?yàn)樽枘岚迥B(tài)應(yīng)變能較小處的黏彈單元變形較小，故能量耗散能力相對(duì)較弱。從這個(gè)意義上講，為提高阻尼材料的減振效能并控制其材料用量，應(yīng)優(yōu)先刪除結(jié)構(gòu)中的小應(yīng)變單元。由此可見，改進(jìn)變密度法OC法優(yōu)化結(jié)果與上述定性分析結(jié)果是吻合的。

圖5給出了針對(duì)單階振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行減振優(yōu)化的阻尼板的拉格朗日體積約束系數(shù)迭代。從圖中看出，雖然采用一般OC法和改進(jìn)OC法均能保證體積約束系數(shù)迭代收斂，但后者的變化范圍相對(duì)更大。它表明改進(jìn)OC法可在更大范圍內(nèi)的搜索約束系數(shù)，能更好地保證優(yōu)化解的全域性。圖6和圖7給出優(yōu)化迭代中的固有頻率和模態(tài)損耗因子變化。可見兩算法在經(jīng)過一定次數(shù)迭代后使頻率和模態(tài)損耗因子均收斂到最佳值，但改進(jìn)OC法的收斂速度更快。

為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)單階模態(tài)拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化的減振效果，分別對(duì)優(yōu)化前的阻尼板(阻尼層與約束層全覆蓋)和優(yōu)化后的阻尼板進(jìn)行諧響應(yīng)特性分析。圖8給出了阻尼板的幅-頻特性曲線。從圖中看出，當(dāng)僅針對(duì)第一階彎曲振動(dòng)模態(tài)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，一階模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)幅值明顯下降，且在采用改進(jìn)算法優(yōu)化時(shí)，振幅下降量更大。還可看出，采用改進(jìn)優(yōu)化算法時(shí)，一階模態(tài)頻率變化很小且不會(huì)引起峰值振蕩。

(a) 一般法一階模態(tài)優(yōu)化

(b) 改進(jìn)法一階模態(tài)優(yōu)化

(c) 一般法二階模態(tài)優(yōu)化

(d) 改進(jìn)法二階模態(tài)優(yōu)化

(e) 一般法的三階模態(tài)優(yōu)化

(f) 改進(jìn)法的三階模態(tài)優(yōu)化

圖5 體積約束系數(shù)迭代過程

圖6 一階固有頻率迭代過程

圖7 一階模態(tài)損耗因子的迭代進(jìn)程

根據(jù)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移響應(yīng)通常為多模態(tài)振動(dòng)的線性組合。對(duì)于大多數(shù)機(jī)械結(jié)構(gòu)而言，若只針對(duì)單一模態(tài)實(shí)施減振設(shè)計(jì)，減振效果不一定理想。對(duì)于工作于高速、動(dòng)載的機(jī)器，因結(jié)構(gòu)受到較寬頻域振動(dòng)激勵(lì)，若只對(duì)結(jié)構(gòu)個(gè)別模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)優(yōu)化，則更難使結(jié)構(gòu)獲得綜合減振效果。事實(shí)上，即使是一般運(yùn)行狀態(tài)下的簡(jiǎn)單機(jī)械，多模態(tài)振動(dòng)也是其承力件的基本運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?？梢?，針對(duì)多模態(tài)做減振設(shè)計(jì)更有價(jià)值。為此，本文針對(duì)阻尼板前三階彎曲模態(tài)，進(jìn)行復(fù)合減振優(yōu)化。圖9給出了阻尼板多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化時(shí)阻尼材料密度迭代結(jié)果。從圖中看出，低密度阻尼材料主要分布于前三階模態(tài)的公共最小模態(tài)應(yīng)變區(qū)或稱綜最小合應(yīng)變區(qū)。相反，高密度阻尼材料則分布于公共的大模態(tài)應(yīng)變區(qū)。還可看到，雖然通過改進(jìn)OC法與一般OC法求得的阻尼材料密度分布情形比較相似，但改進(jìn)法求得的拓?fù)渥兞恐蹈奂谠O(shè)計(jì)變量值域的兩端，一般算法得到的中間密度值單元?jiǎng)t更多。

圖8 一階彎曲模態(tài)優(yōu)化前后諧響應(yīng)特性對(duì)比

(a) 一般法密度密度分布

(b) 改進(jìn)法密度分布

表1列出了阻尼板多模態(tài)復(fù)合振動(dòng)優(yōu)化結(jié)果?？梢?，盡管優(yōu)化后的黏彈阻尼材料只及優(yōu)化前的一半左右，但各階模態(tài)損耗因子均有較大幅度增長(zhǎng)。這令人疑惑，因在一般的理解中都認(rèn)為，更多地鋪設(shè)黏彈層材料對(duì)結(jié)構(gòu)減振效果更好。這對(duì)于自由阻尼結(jié)構(gòu)減振設(shè)計(jì)也許是正確的，但對(duì)于約束阻尼結(jié)構(gòu)，因在黏彈層外還需對(duì)應(yīng)地鋪設(shè)一層約束材料，黏彈層與約束層之間的質(zhì)量、剛度、損耗因子等多方面的匹配都對(duì)結(jié)構(gòu)減振效果產(chǎn)生影響，故全域的鋪設(shè)黏彈材料及約束材料并不一定獲得最佳減振效果。由表1可知，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)損耗因子增幅達(dá)一倍以上，這一點(diǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)減振特別有意義。因?yàn)槎鄶?shù)機(jī)器在啟動(dòng)時(shí)均需穿越一階頻率，并對(duì)結(jié)構(gòu)一階模態(tài)進(jìn)行激勵(lì)，而且一階模態(tài)往往是對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)，故有效抑制一階模態(tài)可大幅提高結(jié)構(gòu)總體減振效果。另外，改進(jìn)OC優(yōu)化法求得的一階、三階損耗因子均較一般法要大，表明按改進(jìn)法對(duì)彈性阻尼材料進(jìn)行優(yōu)化布局時(shí)，阻尼板減振效果將會(huì)更好。

表1 優(yōu)化前后多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化模態(tài)損耗因子對(duì)比

圖10給出了多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化迭代中體積約束系數(shù)變化?？梢?，復(fù)合模態(tài)優(yōu)化與單一模態(tài)優(yōu)化時(shí)的體積約束系數(shù)變化趨勢(shì)大致相同。圖11則給出了多模態(tài)優(yōu)化迭代過程中，結(jié)構(gòu)前三階頻率的變化?？梢姡瑑煞N迭代方法得到的各階頻率均滿足約束條件，并且迭代過程均趨于穩(wěn)定。圖12給出了多模態(tài)優(yōu)化中目標(biāo)函數(shù)的變化情況。同樣可見，兩種算法的結(jié)果均具收斂性，但改進(jìn)算法求得的目標(biāo)函數(shù)值在經(jīng)過5次起伏后，便趨于穩(wěn)定，而一般OC法則要經(jīng)10次以上跌宕才逐漸進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，這說明改進(jìn)算法尋優(yōu)效率更高。

圖10 多模態(tài)體積約束系數(shù)λ迭代過程

為了驗(yàn)證改進(jìn)法多模態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化的減振效果，對(duì)阻尼板進(jìn)行了諧響應(yīng)分析和計(jì)算。圖13給出了阻尼板優(yōu)化前后的幅頻特性曲線。由圖13可知，采用改進(jìn)法針對(duì)前三階模態(tài)的復(fù)合振動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化后，這三階模態(tài)振幅均不同程度地下降，這就表明了多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化的有效性。由圖13可知，優(yōu)化后一階模態(tài)振幅下降一倍多、二階振幅與優(yōu)化前基本持平、三階模態(tài)則大幅下降。這也正好印證表1計(jì)算結(jié)果的合理性，進(jìn)一步說明了改進(jìn)OC法的有效性、可行性。由圖13還可知，改進(jìn)算法的抑制峰值的能力總體上要優(yōu)于一般優(yōu)化算法。

圖11 多目標(biāo)固有頻率迭代過程

圖12 多模態(tài)目標(biāo)函數(shù)的迭代過程

圖13 多模態(tài)優(yōu)化前后諧響應(yīng)分析

5 結(jié) 論

本文探索了約束阻尼結(jié)構(gòu)的黏彈阻尼材料的OC法優(yōu)化布局問題，發(fā)現(xiàn)了一般OC法在動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中存在的問題，并嘗試地解決了這些問題，取得了一定進(jìn)展，得到以下結(jié)論：

(1) 針對(duì)一般優(yōu)化準(zhǔn)則法在求解動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問題時(shí)可能造成目標(biāo)函數(shù)靈敏度被迭代成非正值的情況，提出一種改進(jìn)OC法。該方法通過對(duì)靈敏度作∞-范數(shù)計(jì)算，確保了優(yōu)化迭代的全域?qū)?yōu)特性。

(2) 實(shí)現(xiàn)了基于改進(jìn)OC法約束阻尼板拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)優(yōu)化求解，得到了合理的黏彈阻尼材料和約束材料布局，并使約束阻尼結(jié)構(gòu)獲得了更佳減振效果。

(3) 改進(jìn)OC法的優(yōu)化迭代過程更穩(wěn)定、尋優(yōu)效率更高，優(yōu)化結(jié)果更具全域性、更合理。

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Topology optimization of plates with constrained damping based on improved optimal criteria

HE Honglin, YUAN Weidong, XIA Ziqiang, LIU Yaodi

(School of Aeronautical Manufacturing, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China)

A dynamic topology optimization for plates with constrained damping was conducted to provide a theoretical basis for vibration reduction design. Taking maximizing plate’s multi-modal loss factor as an objective, and taking amount of damping material, frequency equation and frequency region, and MAC factor as constraints, a topology optimization model was developed. The penalty factors for mass matrix were introduced, and the multi-modal loss factor sensitivity was deduced. Considering optimal objective function being non-convex, using a common optimal criterion might lead to the topological variables to be negative, or the optimization calculation to fall into a local optimization. So a moving asymptotic technique of mathematical programming was adopted to improve the common optimal criterion. With the improved criterion, all topological variables were brought into the optimization process so as to avoid the occurrence of local optimization. Dynamic optimization for the plates based on improved optimal criterion method were simulated. The results showed that a more reasonable constrained damping layer’s configuration is obtained with the improved method and algorithm, the plates with constrained damping achieve a better vibration reduction effect; the improved method has a better iteration stability and a faster optimization speed, and can more effectively provide a global optimal solution.

plate with constrained damping; multi-modal loss factor; improved optimal criteria method; vibration reduction characteristics; dynamic topology optimization

國(guó)家自然科學(xué)基金(51265040);國(guó)家自然科學(xué)基金(51565039)

2015-11-18 修改稿收到日期：2016-03-04

賀紅林 男,博士,教授,1967年生 E-mail:Hehonglin1967@163.com

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.004