黃 薇， 季宏麗,， 裘進浩， 成 利

(1. 南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京 210016； 2.香港理工大學 機械工程系，香港 999077)

二維聲學黑洞對彎曲波的能量聚集效應(yīng)

黃 薇1， 季宏麗1,2， 裘進浩1， 成 利2

(1. 南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室，南京 210016； 2.香港理工大學 機械工程系，香港 999077)

聲學黑洞(Acoustic Black Holes,ABH)效應(yīng)是利用結(jié)構(gòu)厚度以一定冪函數(shù)形式減小，致使彎曲波的相速度逐漸減小而實現(xiàn)能量逐漸聚集，理想情況下彎曲波波速減小為0從而無法傳遞到結(jié)構(gòu)邊緣，也就不會發(fā)生反射。聲學黑洞效應(yīng)使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生高能量密度區(qū)域，因此能高效應(yīng)用于能量回收和振動噪聲控制。為了研究二維聲學黑洞結(jié)構(gòu)具有彎曲波能量聚集效應(yīng)，運用有限元分析軟件ABAQUS建立了二維聲學黑洞模型，從時域上研究彎曲波在聲學黑洞區(qū)域的傳播過程，結(jié)合有限元數(shù)值結(jié)果與振動功率流的結(jié)果分析彎曲波能量聚集過程。最后通過激光超聲實驗系統(tǒng)對二維聲學黑洞中彎曲波傳播過程進行成像與分析，實驗結(jié)果驗證了二維聲學黑洞結(jié)構(gòu)對彎曲波能量的聚集效應(yīng)。

聲學黑洞；彎曲波；有限元分析；能量聚集；功率流

聲學黑洞(Acoustic Black Holes,ABH)將物理學中的黑洞概念引入到波動和聲振領(lǐng)域中，并將其作為一種全新的概念提出。聲學黑洞效應(yīng)通過結(jié)構(gòu)阻抗的變化，致使結(jié)構(gòu)中波的相速度和群速度發(fā)生變化，在結(jié)構(gòu)局部區(qū)域?qū)崿F(xiàn)波的聚集。薄板結(jié)構(gòu)中，如果阻抗的變化通過板的厚度以一定指數(shù)形式變化來實現(xiàn)，彎曲波速會隨著厚度的減小逐漸減小，在理想的情況下波速減小為0，這樣就不會在尖端產(chǎn)生反射[1-2]。Georgiev等[3]運用Runge-Kutta-Fehlberg數(shù)值方法計算了頻域內(nèi)的阻抗矩陣，并得到了反射系數(shù)矩陣。Conlon等[4]運用有限元和邊界元的數(shù)值方法，從頻域上研究了排布多個聲學黑洞的板結(jié)構(gòu)的聲輻射特性。Bayod等[5-8]針對含有ABH的梁和板結(jié)構(gòu)進行實驗觀察和分析，實驗結(jié)果表明聲學黑洞效應(yīng)的有效頻率作用主要集中于中高頻。盡管現(xiàn)有研究從頻域上表明了聲學黑洞效應(yīng)的存在，但是波在聲學黑洞結(jié)構(gòu)中的傳播過程無法通過頻域方法得到很好的解釋，無法從時域上認識聲學黑洞結(jié)構(gòu)中的波傳播過程和黑洞效應(yīng)形成的機制。

此外，聲學黑洞結(jié)構(gòu)由于實際加工工藝問題往往產(chǎn)生截斷，研究發(fā)現(xiàn)很小的截斷厚度就會對黑洞效應(yīng)產(chǎn)生嚴重的影響，聲學黑洞結(jié)構(gòu)邊緣的反射系數(shù)可達到50%～70%[9]。Bayod等研究了聲學黑洞邊緣的制造方法，通過直接在等厚度均勻板上拉延出一段尖銳的邊緣從而在一定程度上克服聲學黑洞邊緣制造的困難。將薄板結(jié)構(gòu)的厚度按照一定的形式裁剪即可得到二維聲學黑洞結(jié)構(gòu)。理想二維聲學黑洞使得入射到黑洞的彎曲波被吸入聲學黑洞的中心[10]。實際二維聲學黑洞也會由于中心厚度極薄而產(chǎn)生截斷等缺陷，因此容易在中心處形成圓形穿孔。Conlon等通過數(shù)值表明了縮小聲學黑洞中心孔徑，在一定頻率范圍內(nèi)能夠大大提高聲學黑洞效應(yīng)。Bowyer等[11-12]將圓形壓痕置于矩形板中并進行了相關(guān)的實驗研究，表明中心圓孔的存在會對聲學黑洞效應(yīng)產(chǎn)生影響?，F(xiàn)有的對聲學黑洞的研究著重于在頻域特性上研究非理想黑洞效應(yīng)的存在，而缺乏有效的手段揭示波在聲學黑洞中的傳播過程以及截斷大小等參數(shù)對聲學黑洞效應(yīng)的影響關(guān)系。

本文針對這些問題，以中心處為圓形平臺的二維聲學黑洞結(jié)構(gòu)為研究對象，從時域上研究聲學黑洞結(jié)構(gòu)中彎曲波的傳播。對含有二維聲學黑洞的板結(jié)構(gòu)建立有限元數(shù)值模型，并采用有限元數(shù)值計算結(jié)果進行振動功率流分析，解釋了彎曲波能量在聲學黑洞中的傳播過程與彎曲波的能量聚集效應(yīng)，并探究了聲學黑洞中心圓形平臺大小對彎曲波傳播的影響。最后通過基于激光超聲技術(shù)的實驗方法驗證了聲學黑洞結(jié)構(gòu)對彎曲波能量的聚集效應(yīng)。

1 聲學黑洞結(jié)構(gòu)中的彎曲波

在一維厚度變化的均勻介質(zhì)中，彎曲波動方程為

(1)

U(x)=A(x)eiΦ(x)

(2)

其中，

(3)

(4)

式中:Φ為累積相位;kp=ω/cp，kp為均勻板的波數(shù)。對于一個厚度呈指數(shù)形式變化的結(jié)構(gòu)

h(x)=εxm

(5)

當指數(shù)m≥2，累積相位Φ將趨于無限大，也就是說波無法到達邊界也無法反射回來，因此彎曲波在邊緣處被捕獲而能量聚集。

對于變厚度的薄板結(jié)構(gòu)，其彎曲波動方程為

(6)

假設(shè)不考慮結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動慣量與剪切效應(yīng)，波數(shù)k為

k=(ρhω2/D)1/4

(7)

式中,ω為角頻率，根據(jù)c=ω/k可得到彎曲波相速度

(8)

2 模型的建立

2.1 二維聲學黑洞

(9)

(a)二維聲學黑洞板與橫截面(b)橫截面厚度變化示意圖

圖1 二維聲學黑洞示意圖

Fig.1 Schematic of two-dimensional ABH

2.2 有限元模型

為了研究彎曲波在聲學黑洞結(jié)構(gòu)中的傳播特性，在有限元軟件ABAQUS中建立了含有二維聲學黑洞的板結(jié)構(gòu)模型(350 mm×240 mm×5 mm)，如圖2所示。為研究中心平臺大小即截斷大小對二維聲學黑洞結(jié)構(gòu)中彎曲波聚集的影響，分別對r1=20 mm和r1=30 mm的ABH建立有限元模型進行計算。在計算中所使用的其他參數(shù)如表1所示。二維聲學黑洞局部區(qū)域網(wǎng)格的劃分如圖3所示，采用平面應(yīng)力下的C3D8R單元求解，每個波長內(nèi)至少包含10個單元以保證計算精度。

圖2 含有二維聲學黑洞的板結(jié)構(gòu)有限元模型

表1 結(jié)構(gòu)材料與幾何參數(shù)表

Tab.1 Geometrical and material properties of the plate

參數(shù)數(shù)值彈性模量/GPa270板材料密度/(kg·m-3)7800泊松比0.3m2h2/mm5r2/mm100

圖3 含有二維聲學黑洞板結(jié)構(gòu)局部區(qū)域網(wǎng)格的劃分

結(jié)構(gòu)受到五周期猝發(fā)音的集中力激勵，激勵點距離聲學黑洞中心點150 mm。如圖4所示，激勵中心頻率為f=20 kHz。結(jié)構(gòu)左端邊界固支，有限元求解得到結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)，運用Python語言后處理獲取二維聲學黑洞板結(jié)構(gòu)平面板一側(cè)結(jié)點響應(yīng)，以Matlab平臺編程分析振動功率流以及能量分布。

(a)五周期猝發(fā)音激勵幅值

(b)激勵施加位置示意

3 振動功率流分析

板上任一點的振動功率流為x方向和y方向的振動功率流分量的矢量和

(10)

時間平均的功率流為

(11)

式中:F為力;v為速度。功率流在某一方向的分量由剪力、彎矩和扭矩三部分組成。例如沿x軸分量經(jīng)過簡化可寫成

(12)

現(xiàn)由兩點之間的速度信號求得某方向上的功率流，對于簡諧波

(13)

代入式(12)，于是有

(14)

假設(shè)結(jié)構(gòu)上沿x方向臨近兩點間距為d′如圖5,速度分別為v1和v2，則中點速度近似為

(15)

于是有

(16)

根據(jù)維納-辛欽公式,信號的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜函數(shù)互為傅里葉變換對

(17)

(18)

式中,V1和V2分別為v1和v2的傅里葉變換形式，按照帕斯瓦爾定理,信號按時域計算的平均功率等于按頻域計算的平均功率,可以得到功率流在頻域的表達式(取實部表示有功功率)

(19)

(20)

代入式(19)，就可得到功率流在x方向分量的互譜表達式(y方向可用同樣方法求得)

(21)

圖5 兩點排布坐標示意圖

4 有限元數(shù)值計算結(jié)果

圖6為有限元數(shù)值計算所得位移響應(yīng)，選取板中含有二維聲學黑洞的正方形區(qū)域(240 mm×240 mm)部分進行討論，聲學黑洞位于此正方形區(qū)域的中央位置，圖6(a)與圖6(b)為r1=20 mm的聲學黑洞，圖6(c)與圖6(d)為r1=30 mm的聲學黑洞，圖6(a)與圖6(c)為t=0.1 ms時的位移場，圖6(c)與圖6(d)為t=0.3 ms時的位移場?？梢姡邳c激勵下彎曲波傳播以散射狀入射于聲學黑洞，而后在聲學黑洞中發(fā)生彎曲而能量聚集，并且波長在黑洞中心區(qū)域被壓縮，波動幅值顯著增大，在聲學黑洞中形成高能量密度區(qū)域。增大中心圓板的半徑，截斷厚度也相應(yīng)增大，使得聚集在中心的彎曲波幅值降低，聚集區(qū)域明顯隨著平臺半徑的增大而擴散。

(22)

式中,∑表示對0到T時刻內(nèi)的數(shù)值求和，圖7為t=0.3ms內(nèi)的能量分布，圖7(a)為r1=20mm的聲學黑洞，圖7(b)為r1=30mm的聲學黑洞。明顯可以看出能量聚集于聲學黑洞中，聲學黑洞對結(jié)構(gòu)中的彎曲波產(chǎn)生了類似陷波器的效果。同樣可以看出當聲學黑洞中心的圓形平臺擴大，能量聚集的范圍擴大，但是依然聚集在聲學黑洞的中央?yún)^(qū)域。因此，減小中心平臺的大小即減小截斷厚度，聲學黑洞的能量聚集效果增強。

振動功率流分析可以更加直觀地體現(xiàn)彎曲波能量在聲學黑洞中的傳遞。采用第3節(jié)中的方法計算二維聲學黑洞板中的振動功率流如圖8所示，圖8(a)與圖8(b)為r1=20mm的聲學黑洞，圖8(c)與圖8(d)為r1=30mm的聲學黑洞，圖8(b)與圖8(d)為圖8(a)與圖8(c)的局部放大。顯而易見，功率流以散射狀入射于聲學黑洞區(qū)域并在黑洞非均勻區(qū)域發(fā)生偏轉(zhuǎn)而聚集于聲學黑洞中心。對比圖8(b)與圖8(d)，當中心平臺減小，在平臺附近的功率流矢量偏轉(zhuǎn)增大，因此，能量能夠更加高效地聚集于聲學黑洞中心。

5 實驗驗證

聲學黑洞試件在實驗中的掃描區(qū)域與AE傳感器的位置如圖10所示，掃描區(qū)域大小為220mm×220mm，在寬度方向上距離邊界10 mm，聲學黑洞中心距離板長度方向邊界130 mm。ABH位于掃描區(qū)域中央。AE傳感器位于結(jié)構(gòu)對稱軸上與聲學黑洞中心的距離為d=150 mm。

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) 為r1=20 mm的聲學黑洞

(b) 為r1=30 mm的聲學黑洞

實驗采樣頻率為1 MHz，采樣時間為0.4 ms，x方向與y方向的空間采樣間隔為1 mm。對采集得到的信號經(jīng)過15～25 kHz的濾波處理后，得到不同時刻波場圖像，圖11為0.3 ms時刻波場圖像。結(jié)果顯示了彎曲波在聲學黑洞板中聚集于聲學黑洞中心區(qū)域。

將AE所采集到的信號運用式(22)的方法計算能量在聲學黑洞板上的分布，如圖12，可見在聲學黑洞的中央?yún)^(qū)域，能量明顯聚集。將實驗所得的結(jié)果(圖11和圖12)與仿真所得結(jié)果(圖6和圖7)進行對比，實驗與仿真基本吻合。圖13為通過實驗所采集的信號計算能量功率流分布，同樣可以看出能量傳遞到聲學黑洞，在中心圓板附近功率流矢量偏轉(zhuǎn)而能量聚集于黑洞中。

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) 實驗系統(tǒng)示意圖

(b) 實驗系統(tǒng)實物圖

圖10 掃描區(qū)域與AE傳感器的位置

6 結(jié) 論

本文利用有限元數(shù)值計算以及基于激光超聲技術(shù)的實驗方法對含有中心圓形平臺的二維聲學黑洞結(jié)構(gòu)的彎曲波能量聚集效應(yīng)進行研究，結(jié)合數(shù)值計算結(jié)果與振動功率流分析，從時域上研究了彎曲波在聲學黑洞結(jié)構(gòu)中聚集的現(xiàn)象與能量聚集過程，從功率流傳遞路徑圖中可以直觀地看出彎曲波射線的偏轉(zhuǎn)，彎曲波能量聚集在聲學黑洞的中心區(qū)域。并研究了不同圓形平臺的大小對彎曲波能量聚集效應(yīng)的影響，減小中心平臺可提高聲學黑洞的能量聚集效應(yīng)。此外，通過激光超聲技術(shù)實驗驗證了彎曲波在聲學黑洞板中的聚集。本文的研究對后續(xù)振動噪聲控制及能量回收的應(yīng)用具有指導意義。

圖11 二維聲學黑洞板0.3 ms時刻波場圖像

Fig.11 Experimental results of wavefields for plate with two-dimensional ABH at 0.3 ms

圖12 實驗中二維聲學黑洞板0.3 ms內(nèi)的能量分布

Fig.12 Experimental results of energy distribution for plate with two-dimensional ABH within 0.3 ms

(a)二維聲學黑洞板中功率流分布

(b)四分之一板的放大圖

[1] KRYLOV V V, SHUVALOV A L. Propagation of localised flexural vibrations along plate edges described by a power law[J]. Institute of Acoustics, 2000, 22:263-270.

[2] KRYLOV V V, TILMAN F J B S. Acoustic ‘black holes’ for flexural waves as effective vibration dampers[J]. Journal of Sound & Vibration, 2004, 274(3/4/5):605-619.

[3] GEORGIEV V B, CUENCA J, GAUTIER F, et al. Damping of structural vibrations in beams and elliptical plates using the acoustic black hole effect[J]. Journal of Sound & Vibration, 2011, 330(11):2497-2508.

[4] CONLON S C, FAHNLINE J B, FABIO S. Numerical analysis of the vibroacoustic properties of plates with embedded grids of acoustic black holes[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2015, 137(1):447-447.

[5] BAYOD J J. Experimental study of vibration damping in a modified elastic wedge of power-law profile[J]. Journal of Vibration & Acoustics, 2011, 133(6):1754-1754.

[6] BOWYER E P, O′BOY D J, KRYLOV V V, et al. Experimental investigation of damping flexural vibrations using two-dimensional acoustic ‘black holes’[D]. Belgium: Katholieke Universiteit Leuven, 2010.

[7] O’BOY D J, KRYLOV V V, KRALOVIC V. Damping of flexural vibrations in rectangular plates using the acoustic black hole effect[J]. Journal of Sound & Vibration, 2010, 329(22):4672-4688.

[8] BOWYER E P, O’BOY D J, KRYLOV V V, et al. Effect of geometrical and material imperfections on damping flexural vibrations in plates with attached wedges of power law profile[J]. Applied Acoustics, 2012, 73(5):514-523.

[9] KRYLOV V V, SHUVALOV A L. Propagation of localised flexural vibrations along plate edges described by a power law[J]. Institute of Acoustics, 2000, 22:263-270.

[10] KRYLOV V V. Propagation of plate bending waves in the vicinity of one- and two-dimensional acoustic black holes[C]//Proceedings of the First International ECCOMAS Thematic Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering. Grete: [s.n.], 2007.

[11] BOWYER E P, LISTER J M, KRYLOV V V, et al. Experimental study of damping flexural vibrations in tapered turbofan blades[C]//Proceedings of the Acoustics 2012 Nantes Conference. Nantes: [s.n.], 2012:395-396.

[12] BOWYER E P, O’BOY D J, KRYLOV V V, et al. Experimental investigation of damping flexural vibrations in plates containing tapered indentations of power-law profile[J]. Applied Acoustics, 2013, 74(4):553-560.

[13] ZHANG C, QIU J, JI H. Laser ultrasonic imaging for impact damage visualization in composite structure[C]//EWSHM-7th European Workshop on Structural Health Monitoring. Nantes:[s.n.], 2014:2199-2205.

[14] ZHANG C, JI H, QIU J, et al. Research on interference energy calculation method in laser ultrasonic technique[J]. Acta Optica Sinica, 2014, 34(7):714001.

[15] WU Y, QIU J, ZHANG C, et al. A method to improve the visibility of the damage-reflected wave[J]. Chinese Journal of Lasers, 2014, 41(3):0308001.

Energy focusing effect of Two-dimensional acoustic black hole on flexural waves

HUANG Wei1, JI Hongli1,2, QIU Jinhao1, CHENG Li2

(1. State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing 210016， China； 2. Department of Mechanical Engineering, Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong 999077, China)

The acoustic black hole (ABH) phenomenon in thin-walled structures with a power function form reducing leads to a smooth reduction of the phase velocity of flexural waves and energy focalization. In an ideal case, flexural wave velocity decreases to zero so that it never reaches a structure’s edge, much less reflects back. This causes structural areas with high energy density, the high energy effects can be used for various engineering applications, such as, energy harvesting, vibration and noise control and so on. In order to investigate the energy focusing effect of two-dimensional acoustic black hole on flexural waves, the model of two-dimensional acoustic black hole was built using the finite element software ABAQUS, and numerical simulations were conducted for the transmission of flexural wave in the acoustic black hole areas. Vibration power flow and finite element simulation were combined to analyze the energy focalization of flexural waves. Finally, the transmission process of flexural wave in two-dimensional acoustic black hole was imaged and analyzed by using the laser ultrasonic scanning technique. The test results verified the energy focalization effect of two-dimensional acoustic black hole on flexural waves.

acoustic black hole; flexural wave; finite element analysis; energy focalization; power flow

國家自然科學基金重點項目(11532006);機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室(南京航空航天大學)自主研究課題資助(0515Y02);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助(NE2015101);六大人才高峰C類(JXQC-002)；江蘇高校優(yōu)勢學科建設(shè)工程資助項目;江蘇省重點基金項目(BK20150061)

2015-12-17 修改稿收到日期：2016-03-15

黃薇 女，博士生，1991年生

季宏麗 女，副教授，1983年生

O421+．5

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.008