張蔡莉

【摘要】直線參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)“平面解析幾何”中的重要內(nèi)容，可用來解決解析幾何題型中常見的相交弦問題、最值問題和“定點(diǎn)”“定值”問題.因?yàn)槠渲衪的特殊幾何意義，可以直接解決相交弦問題；而因其參數(shù)方程的特點(diǎn)，使用它解題時(shí)，可以將相關(guān)量放在同一參數(shù)下，減少了問題中的變量，達(dá)到簡化結(jié)構(gòu)、優(yōu)化運(yùn)算的效果.

【關(guān)鍵詞】直線參數(shù)方程 解析幾何 最值 定點(diǎn)定值

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）12-0210-01

解析幾何問題是高考考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力的主要題型，其得分率一直位于所有題型后幾位，主要原因有二：一是考生找不到解題思路；而是有思路但運(yùn)算過于復(fù)雜，不能得到正確的結(jié)果.在一些高考題中，筆者發(fā)現(xiàn)，直線參數(shù)方程的使用，可以較好的解決上述困難.

一、相交弦長及其中點(diǎn)問題

例1.（2016年江蘇）平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為，橢圓C的參數(shù)方程為，設(shè)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

解法一：把直線，橢圓參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解.

解法二：因?yàn)橹本€參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，且過點(diǎn)P（1，0），設(shè)點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)為

因?yàn)椋簷E圓的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程

一般地，經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)程為，若A，B為直線上兩點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)為，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，以下結(jié)論經(jīng)常用到：

相交弦有關(guān)的絕大多數(shù)問題，直線參數(shù)方程的使用，可以比普通方程的解法，少更多的運(yùn)算步驟，可以較好地提高解題效率.

二、最值問題

例2.直線過點(diǎn)P（1，1）與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的最大值

解：設(shè)直線的傾斜角為 ，參數(shù)方程為代入橢圓方程：

可以借助直線參數(shù)方程將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件表達(dá)，最后把它變成求函數(shù)的最值問題.這樣的解題思路，是使用參數(shù)方程后，自然就得到的.

三、定點(diǎn)和定值問題

例3.（2008年安徽）設(shè)橢圓C：過點(diǎn)M，且左焦點(diǎn)為

（1）求橢圓的方程

（2）當(dāng)過點(diǎn)P（4，1）的動直線與橢圓相交與不同的A，B點(diǎn)時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，證明：點(diǎn)Q總在某條定直線上。

解：（1）略

（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為，點(diǎn)A，B，Q對應(yīng)的參數(shù)為

把直線方程代入橢圓方程：得：

把t0代回直線的參數(shù)方程得：

消去，得到直線

同樣的解法可以應(yīng)用到以下高考題中（解答過程略）：（2015四川）橢圓E：的離心率為，點(diǎn)P（0，1）在短軸CD上，且

（1）求橢圓方程

（2）設(shè)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使為定值，若存在，求的值；若不存在，說明理由.

可見，直線的參數(shù)方程，可以為解決一些題型提供了更為簡單的思路和簡便的方法.教師在教學(xué)中一方面應(yīng)對直線方程的應(yīng)用進(jìn)行更深入的研究；一方面在解決解析幾何問題時(shí)，也應(yīng)多個(gè)角度分析問題和解決問題，讓學(xué)生用其合適的方法解決問題，提高解題信心，提升解決問題的能力.