劉高輝 張娟娟

(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

α穩(wěn)定分布噪聲下數(shù)字頻移鍵控信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜分析

劉高輝 張娟娟

(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

針對(duì)α穩(wěn)定分布噪聲環(huán)境下數(shù)字通信信號(hào)的二階與高階循環(huán)統(tǒng)計(jì)特征顯著退化問題,結(jié)合分?jǐn)?shù)低階矩和共變理論對(duì)二進(jìn)制頻移鍵控(Frequency Shift Keying, FSK)信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜公式進(jìn)行了理論推導(dǎo),并對(duì)2FSK信號(hào)在不同混合信噪比、分?jǐn)?shù)階因子和特征指數(shù)條件下的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜進(jìn)行了詳細(xì)的仿真分析. 理論和仿真結(jié)果表明:2FSK信號(hào)分?jǐn)?shù)低階與二階的循環(huán)譜結(jié)構(gòu)相同,其譜峰對(duì)應(yīng)的循環(huán)頻率相同,譜峰的幅度值不同,取決于循環(huán)譜的階因子. 相對(duì)于在低混合信噪比下失效的二階循環(huán)譜,分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜對(duì)α穩(wěn)定分布噪聲具有更強(qiáng)的抗干擾性和適用性.

α穩(wěn)定分布噪聲;2FSK信號(hào);分?jǐn)?shù)低階矩;共變理論;混合信噪比

DOI 10.13443/j.cjors.2017011001

引 言

在傳統(tǒng)的通信信號(hào)處理和雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域,信號(hào)的背景噪聲都被假定服從高斯分布,這種假設(shè)在大多數(shù)情況下是合理的. 近年來,隨著無線電技術(shù)的飛速發(fā)展,各種各樣的無線通信系統(tǒng)、雷達(dá)系統(tǒng)等信息化電子設(shè)備的數(shù)量與日俱增,導(dǎo)致無線系統(tǒng)接收信號(hào)的背景噪聲和干擾的強(qiáng)度日益增強(qiáng),其統(tǒng)計(jì)特性在一些極端條件下具有非高斯性和非平穩(wěn)性,如無線系統(tǒng)接收信號(hào)中出現(xiàn)的多用戶干擾、大氣低頻噪聲、自然界或人為產(chǎn)生的電磁脈沖噪聲通常表現(xiàn)出非高斯性,其時(shí)域波形具有顯著的尖峰特性,其幅度分布的概率密度函數(shù)具有較厚的拖尾特性. 因此,如果在無線通信系統(tǒng)中全部采用高斯分布模型來描述背景噪聲和干擾,將會(huì)由于模型與實(shí)際噪聲和干擾不匹配而導(dǎo)致所設(shè)計(jì)的信號(hào)處理算法性能嚴(yán)重退化. 利維(Levy)在1925年研究廣義中心極限定理時(shí),首次提出α穩(wěn)定分布的概念,它能夠很好地描述在時(shí)域具有顯著尖銳脈沖特性的非高斯噪聲. 因此α=0穩(wěn)定分布的概念在數(shù)學(xué)界得到了廣泛應(yīng)用,但是在信號(hào)處理領(lǐng)域并沒有得到發(fā)展和應(yīng)用. 直到1993年經(jīng)由C.L.Nikias等的系列論文[1-3],α穩(wěn)定分布的概念和理論才開始在信號(hào)處理領(lǐng)域得到了重視,并且在近十年中得到了迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用.

在無線通信中的各種通信信號(hào)由于載波調(diào)制、編碼、分?jǐn)?shù)采樣等因素,通常為循環(huán)平穩(wěn)信號(hào),其二階和高階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量是目前進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)和調(diào)制識(shí)別的有力工具[4-9]. 1987年,W.A.Gardner等人詳細(xì)介紹了調(diào)幅(Amplitude Modulation, AM)、頻率調(diào)制(Frequency Modulation, FM)、相位調(diào)制(Phase Modulation, PM)、二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)、四進(jìn)制相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying, QPSK)以及頻移鍵控(Frequency Shift Keying, FSK)等不同類型通信調(diào)制信號(hào)的頻譜相關(guān)函數(shù)[4-6]. 但是,在α=0穩(wěn)定分布噪聲背景下,其二階和高階矩不存在. 因此,基于二階統(tǒng)計(jì)量有限假設(shè)的信號(hào)處理方法(如最小二乘估計(jì),最大似然估計(jì),循環(huán)譜相關(guān)方法等)將會(huì)顯著退化,甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果. 1993年,C.L.Nikias等在文獻(xiàn)[1-3]詳細(xì)分析了α穩(wěn)定分布的基本特征以及α穩(wěn)定噪聲下的分?jǐn)?shù)低階矩理論．文獻(xiàn)[10-11]對(duì)高斯噪聲和脈沖噪聲環(huán)境下的QPSK信號(hào)的頻譜相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了分析,結(jié)果表明脈沖噪聲對(duì)信號(hào)的二階循環(huán)譜有很大影響. 文獻(xiàn)[12]對(duì)非高斯噪聲下的BPSK信號(hào)的循環(huán)譜進(jìn)行了分析,得到了BPSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜結(jié)構(gòu).

頻移鍵控技術(shù)由于在抗干擾能力和對(duì)信道適應(yīng)性等方面的突出優(yōu)點(diǎn),成為衰落信道下無線通信系統(tǒng)的一種主要調(diào)制技術(shù). 迄今為止,對(duì)FSK信號(hào)分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜的理論研究及仿真尚未見報(bào)道. 本文在前人的研究基礎(chǔ)上,結(jié)合分?jǐn)?shù)低階矩理論以及循環(huán)平穩(wěn)理論推導(dǎo)了二進(jìn)制FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜,并在α穩(wěn)定分布噪聲下,對(duì)不同混合信噪比、不同特征指數(shù)α和不同階因子p的條件下對(duì)2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜進(jìn)行了仿真分析.

1 基于共變的α穩(wěn)定分布分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜定義

1.1α穩(wěn)定分布特征函數(shù)

由于α穩(wěn)定分布的概率密度函數(shù)不存在統(tǒng)一、閉式的解析表示式,因此通常用特征函數(shù)對(duì)其進(jìn)行描述. 標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)定義式為[8]

(1)

1.2 基于共變的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜定義

分?jǐn)?shù)低階矩是一種分析處理非高斯信號(hào)的有力工具,若隨機(jī)信號(hào)的特征指數(shù)為α,則只有階數(shù)小于α的統(tǒng)計(jì)矩是有限的.對(duì)于α穩(wěn)定分布噪聲下的信號(hào)x(t),分?jǐn)?shù)低階矩定義式為

E[|X|p].

(2)

式中，p為分?jǐn)?shù)階因子,其取值范圍為0

(3)

式中:τ為時(shí)間延遲;p為階因子,其取值范圍為[1,α),α為背景噪聲特征指數(shù),取值范圍為[1,2]. 若COVx,p(t,τ)是關(guān)于t的周期函數(shù),將其展開成傅里葉級(jí)數(shù),傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)就是信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)自相關(guān)函數(shù),其表示式為

(4)

(5)

式中:f為常規(guī)頻率. 顯然,當(dāng)階因子p=2時(shí),分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜密度函數(shù)即為二階循環(huán)譜密度函數(shù).

2 2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜理論推導(dǎo)

假定2FSK信號(hào)x(t)表示為

(6)

(7)

由復(fù)數(shù)過程的〈p〉符號(hào)運(yùn)算定義式x〈p〉=|x|(p-1)·x*可知:

(8)

(9)

將式(8)和式(9)帶入式(7)中,則2FSK信號(hào)x(t)的p階共變可表示為

(10)

同理,由實(shí)數(shù)過程的〈p〉符號(hào)運(yùn)算定義式

x〈p〉=|x|p·sgnx可知

(11)

(12)

同理可得

(13)

將式(11)、式(12)和式(13)帶入式(10)中,則式(10)可化簡(jiǎn)為

(14)

式(14)第一項(xiàng)中求期望部分可以表示為

(15)

因?yàn)殡S機(jī)序列an為廣義平穩(wěn)序列,其自相關(guān)函數(shù)可以表示為Ra(m)=E[anan+m],故式(15)可表示為:

(16)

式(16)中,m=q-n. 同理,式(14)中第二項(xiàng)求期望部分可以表示為

(17)

同理,可得到式(14)中第三項(xiàng)和第四項(xiàng)期望的結(jié)果.

COVx,p(t,τ)=kp1·

(18)

(19)

(20)

式(20)中：β=m/Ts,m為整數(shù). 則式(18)可表示為

Rxx(τ)·[ej2πf2τ+e-j2πf2τ+ej4πf2t+e-j4πf2t].

(21)

對(duì)式(21)求傅里葉系數(shù)得

(22)

由于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)即為循環(huán)自相關(guān)函數(shù),因此,結(jié)合式(20)整理式(22)即可得2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為

(23)

對(duì)式(23)再求一次傅里葉變換,即可得到2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜密度函數(shù).

通過上述2FSK信號(hào)分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜的理論推導(dǎo)可知,當(dāng)循環(huán)頻率ε=β+k時(shí),2FSK信號(hào)存在循環(huán)譜線,其中β=m/Ts(m為整數(shù)),k=0、±2f1和±2f2. 顯然循環(huán)譜譜峰對(duì)應(yīng)的循環(huán)頻率與2FSK信號(hào)的碼元速率和載波頻率有關(guān).

3 2FSK信號(hào)分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜仿真分析

本文采用離散頻域平滑估計(jì)算法,對(duì)在不同混合信噪比(Mixed Signal-to-Noise Ratio, MSNR)、不同特征指數(shù)α以及不同分?jǐn)?shù)階因子p條件下2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜進(jìn)行了計(jì)算仿真與分析.

3.1 不同MSNR下分?jǐn)?shù)階循環(huán)譜曲線

噪聲和信號(hào)參數(shù)分別為:特征指數(shù)α=1.8，對(duì)稱參數(shù)β=0，分散系數(shù)γ=1和位置參數(shù)δ=0;2FSK信號(hào)的載頻f1=154 Hz,載頻f2=205 Hz,符號(hào)間隔Ts=0.5 s.

仿真條件為:分?jǐn)?shù)低階因子p=1.5,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=2 560,頻域平滑點(diǎn)數(shù)為20. 對(duì)2FSK信號(hào)在 MSNR為[8, 4,-2] dB時(shí)分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜截面如圖1、圖2和圖3所示. 為了對(duì)比分析,本文還給出了在相同信號(hào)參數(shù)和仿真條件下,MSNR分別為8 dB和4 dB時(shí)2FSK信號(hào)的二階循環(huán)譜曲線,如圖4和圖5所示.

圖1 MSNR為8 dB時(shí)2FSK信號(hào)的p=1.5階循環(huán)譜截面

圖2 MSNR為4 dB時(shí)2FSK信號(hào)的p=1.5階循環(huán)譜截面

圖3 MSNR為-2 dB時(shí)2FSK信號(hào)的p=1.5階循環(huán)譜截面

圖4 MSNR為8 dB時(shí)2FSK信號(hào)的二階循環(huán)譜

圖5 MSNR為4 dB時(shí)2FSK信號(hào)的二階循環(huán)譜

從圖1、圖2和圖3的仿真結(jié)果可以明顯地看出,在α穩(wěn)定分布噪聲下,采用分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜的算法,當(dāng)混合信噪比大于-2 dB時(shí)2FSK信號(hào)的循環(huán)譜中譜峰的位置都能夠比較清楚地觀察到. 而從圖4和圖5的仿真結(jié)果可以明顯地看出,在相同的條件下,2FSK信號(hào)的二階循環(huán)譜線的譜峰在混合信噪比為8 dB時(shí)就已完全看不清．這說明傳統(tǒng)二階循環(huán)譜算法在較高信噪比時(shí)已經(jīng)失效,檢測(cè)不出來信號(hào)所對(duì)應(yīng)的譜線．而基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的方法在較低信噪比時(shí)仍然能夠明顯地檢測(cè)出2FSK信號(hào)的譜線. 基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜的算法在α穩(wěn)定分布噪聲背景下比二階循環(huán)譜算法更有效.

3.2 不同特征指數(shù)α下分?jǐn)?shù)階循環(huán)譜曲線

噪聲和信號(hào)參數(shù)分別為:特征指數(shù)α=1.8，對(duì)稱參數(shù)β=0，分散系數(shù)γ=1和位置參數(shù)δ=0;2FSK信號(hào)的載頻f1=154 Hz,載頻f2=205 Hz,符號(hào)間隔Ts=0.5 s.

圖6 α=1.6時(shí)2FSK信號(hào)p=1.5階循環(huán)譜

圖7 α=1.4時(shí)2FSK信號(hào)p=1.5階循環(huán)譜

圖8 α=1.2時(shí)2FSK信號(hào)p=1.5階循環(huán)譜

圖9 α=0.8時(shí)2FSK信號(hào)p=1.5階循環(huán)譜

仿真條件為:分?jǐn)?shù)低階因子p=1.5,數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=2 560,頻域平滑點(diǎn)數(shù)為20. 在特征指數(shù)α分別為[1.6,1.4,1.2,0.8]時(shí),2FSK信號(hào)分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜曲線如圖6、圖7、圖8和圖9所示.

從圖6、圖7、圖8和圖9的仿真結(jié)果可以看出:隨著特征指數(shù)α減小,其循環(huán)譜線變得越來越不明顯,當(dāng)α<1時(shí),信號(hào)的譜線完全淹沒在噪聲當(dāng)中.這是因?yàn)棣练€(wěn)定分布噪聲的特征指數(shù)α越小,脈沖特性越強(qiáng),對(duì)譜線的影響就越大,而且本文基于共變的算法也只適用于α>1的情況．仿真結(jié)果與理論分析相一致.

3.3 不同分?jǐn)?shù)低階因子p下循環(huán)譜曲線

噪聲和信號(hào)參數(shù)分別為:特征指數(shù)α=1.8，對(duì)稱參數(shù)β=0，分散系數(shù)γ=1和位置參數(shù)δ=0;MSNR為4 dB,信號(hào)載頻f1=154 Hz和f2=205 Hz,符號(hào)間隔Ts=0.5 s.

仿真條件為:數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=2 560,頻域平滑點(diǎn)數(shù)為20. 在分?jǐn)?shù)階因子p為1.8和1.5時(shí),2FSK信號(hào)分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜曲線如圖10和圖11所示.

從圖10和圖11的仿真結(jié)果可以看出:分?jǐn)?shù)階因子p只對(duì)循環(huán)譜的峰值有所影響,并不會(huì)影響循環(huán)譜峰的位置,而且p值越大,循環(huán)譜峰值也越大.

圖10 α=1.8時(shí)2FSK信號(hào)p=1.8階循環(huán)譜

圖11 α=1.8時(shí)2FSK信號(hào)p=1.5階循環(huán)譜

4 結(jié) 論

本文結(jié)合分?jǐn)?shù)低階矩和共變理論對(duì)α穩(wěn)定分布噪聲下2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜進(jìn)行了理論推導(dǎo),并對(duì)2FSK信號(hào)在不同混合信噪比、分?jǐn)?shù)階因子和特征指數(shù)條件下的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜進(jìn)行了詳細(xì)的仿真分析. 從仿真結(jié)果中可以得到以下結(jié)論:1)2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜和二階循環(huán)譜具有相同的譜結(jié)構(gòu),二者的循環(huán)頻率相同,只是譜線峰值有所不同,其值取決于分?jǐn)?shù)階因子p;2)在α穩(wěn)定分布噪聲下,MSNR為8 dB時(shí)2FSK信號(hào)的二階循環(huán)譜線已經(jīng)完全淹沒在噪聲里面,而在相同條件下基于分?jǐn)?shù)低階循環(huán)統(tǒng)計(jì)量的方法在MSNR為-2 dB時(shí)仍然能夠明顯地檢測(cè)出2FSK信號(hào)的循環(huán)譜線;3)隨著特征指數(shù)α的減小,信號(hào)的分?jǐn)?shù)階循環(huán)譜線變得越來越不明顯,當(dāng)α<1時(shí),循環(huán)譜線完全被淹沒;4)分?jǐn)?shù)階因子p對(duì)循環(huán)譜峰位置沒有影響,只是對(duì)譜峰的數(shù)值有所影響. 這些仿真結(jié)果表明α穩(wěn)定分布噪聲下2FSK信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜的結(jié)構(gòu)、循環(huán)頻率、循環(huán)譜峰值等可以作為MFSK信號(hào)的識(shí)別、參數(shù)估計(jì)和檢測(cè)的特征量,相對(duì)于二階循環(huán)譜,分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜特征對(duì)α穩(wěn)定分布噪聲具有更強(qiáng)的抗干擾性和適用性.

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張娟娟 (1992-),女,甘肅人,西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院碩士研究生,研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理.

Fractional lower order cyclic spectrum analysis of digital frequency shift keying signals under the alpha stable distribution noise

LIU Gaohui ZHANG Juanjuan

(SchoolofAutomationandInformationEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)

Aiming at the significant degradation of the statistical characteristics of the second and higher order cycle of the digital communication signal in the alpha stable distributed noise environment, the fractional lower-order cyclic spectrum formula of the frequency shift keying(FSK) signal is deduced with the fractional lower-order moments and the covariant theory. Then, the low-order cyclic spectrum characteristics of 2FSK signal under different mixed signal-to-noise ratios, fractional factors and characteristic exponents were analyzed in detail. The theory and simulation results show that the low-order and second-order cyclic spectrum structures of the 2FSK signal are the same, and the peak frequencies of the 2FSK signal are the same, but the amplitude of the spectrum is different that depending on the order factor of the cyclic spectrum. Fractional lower-order cyclic spectrum has stronger anti-interference and applicability to alpha stable distributed noise.

alpha stable distribution noise; 2FSK signal; fractional lower order moment; covariant theory; mixed signal-to-noise ratio

2017-01-10

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61671375)

10.13443/j.cjors.2017011001

TN911.7

A

1005-0388(2017)01-0065-08

劉高輝 (1968-),男,陜西人,西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院副教授,博士,研究方向?yàn)橥ㄐ判盘?hào)處理和雷達(dá)信號(hào)處理.

聯(lián)系人： 劉高輝 E-mail: liugh68@xaut.edu.cn

劉高輝, 張娟娟.α穩(wěn)定分布噪聲下數(shù)字頻移鍵控信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階循環(huán)譜分析[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2017,32(1):65-72.

LIU G H, ZHANG J J. Fractional lower order cyclic spectrum analysis of digital frequency shift keying signals under the Alpha stable distribution noise[J]. Chinese journal of radio science,2017,32(1):65-72. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2017011001