員征文，任忠凱，肖宏，余超

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二十輥軋機軋制極薄帶的板形控制

員征文1, 2，任忠凱1，肖宏1，余超1

(1. 燕山大學國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術研究中心，河北秦皇島，066004；2. 徐工集團江蘇徐州工程機械研究院，江蘇徐州，221004)

針對二十輥軋機輥間壓扁計算誤差較大的問題，將軋輥視為有限長度的半無限體，基于邊界積分方程法建立1個精確的輥間壓扁模型；基于該輥間壓扁模型、耦合軋輥彎曲模型，軋件塑性變形模型、建立更精確的二十輥軋機板形控制耦合模型。基于該二十輥軋機板形控制耦合模型，針對極薄帶軋制工況，分析二十輥軋機第一中間輥錐度、軸向移動、不同壓下量等因素對帶鋼出口厚度、軋制力分布、輥間壓力分布等的影響規(guī)律，并通過實驗方法驗證該理論模型的正確性。研究結果表明：第一中間輥的錐度和軸向移動對板形控制具有較大的影響，而且輥縫形狀的微小改變會引起板形產(chǎn)生較大變化。

二十輥軋機；輥間壓扁；有限長半無限體；邊界積分方程；極薄帶軋制

目前，計算輥間壓扁的解析模型主要有費普爾公式[1]和半無限體模型[2]。國內(nèi)外學者利用這2種模型進行了大量的軋機板形控制方面的分析研究工作。YU等[3?4]利用費普爾公式作為輥間壓扁模型，建立了二十輥軋機的輥系變形矩陣，并耦合軋件變形，分析了第一中間輥竄輥量、輥形、工作輥和第二中間被動輥凸度、張力、壓下量等因素對帶鋼邊部減薄的影響，并用有限元模型與該解析模型進行了對比分析。CHO 等[5]和SHIN等[6]分別基于有限元模擬結果和接觸元法推導了森吉米爾二十輥軋機板形控制模型。HARA等[7]利用費普爾公式計算輥間壓扁，建立了二十輥軋機輥系變形模型，分析了第一中間輥竄輥以及軋輥凸度對板形的影響。閆冬[8]基于費普爾公式計算輥間壓扁，利用條元變分法分析軋制變形區(qū)金屬的橫向流動，最終利用建立的模型對第一中間輥橫移和錐度、工作輥凸度等調控效果進行了仿真。然而，費普爾公式是假設軋輥的彈性壓扁為平面應變問題，忽略了軸向應變的影響，所以，在計算輥間壓扁時會存在一定的誤差，尤其是在軋輥端部誤差會更大。半無限體模型是基于彈性力學中半無限體邊界受到法向集中力作用問題的布希涅斯克解，該模型假設軋輥為無限長度的半無限體，所以，也會在所計算軋輥的邊部區(qū)域造成很大誤差。針對以上問題，有學者試圖通過修正半無限體模型，提高輥間壓扁變形的計算精度[9?11]。王崇濤等[12?13]結合現(xiàn)場實際數(shù)據(jù),運用有限元軟件分析了20輥森吉米爾軋機的板形變化規(guī)律。這些工作大部分基于有限元的模擬結果修正半無限體理論模型，得到了更符合實際的輥間壓扁模型，具有一定的實際意義，但缺乏理論依據(jù)，計算精度不高，適用范圍受到限制。為了克服費普爾公式和半無限體模型的誤差，本文作者基于邊界積分方程法，提出了有限長半無限體壓扁理論模型。然后建立二十輥軋機輥系變形影響函數(shù)模型，最后耦合帶鋼塑性變形模型，預測帶鋼出口板形。

1 有限長半無限體輥間壓扁模型的建立

求解輥間壓扁，首先要建立1個有限長的半無限體模型，然后求其在分布力作用下的位移場。受分布載荷作用下的有限長半導體模型如圖1所示，欲求的是1個長度為的半無限體在分布力3()作用下的表面位移場。該半無限體沿3軸正向和2軸無限大，沿1軸長度為。

圖1 受分布載荷作用下的有限長半無限體模型

針對該有限長半無限體模型，XIAO等[14?16]進行了推導，在輥系變形計算中，由于兩圓柱體接觸的特性，分布力3()沿2方向假設為二次分布，但沿1方向分布較為復雜，不易求解，所以，一般將其離散化。將分布力沿1軸分成個相等的單元，用T(2) (=1，2，…，)表示。在每個單元上T(2)沿1軸均勻分布，沿2軸二次分布[17]。離散后所求的是P點處的位移矢量3(P)(=1，2，…)。

(1)

式中：和分別取1，2和3(1，2和3分別代表1，2和3方向)；和分別為場點和源點；()和()分別為表面上的位移和面力矢量；和分別為在無限大空間或者半無限空間作用單位載荷的位移和面力基本解，它們表示在點方向作用單位載荷在點方向產(chǎn)生的位移和面力；表示在和上的點沿3方向的位移衰減函數(shù)，表示在和上的點沿1方向的位移衰減函數(shù)。位移衰減函數(shù)和表征軋輥邊部位移點與軋輥側面位移場之間的關系，可以基于有限元法模擬得到[14?15]。

(2)

聯(lián)立式(1)和(2)即可求解輥間壓扁。通過式(1)可以發(fā)現(xiàn)，如果方程右側只保留第一項，那么轉化為半無限體模型。新壓扁模型的實質是對原半無限體模型的一種修正模型，后面4個積分項其實質是對半無限體有限長度狀態(tài)的修正。

將本文建立的壓扁模型應用到軋輥壓扁計算中，并分別與原半無限體模型、費普爾公式、有限元計算結果對比，從而驗證了該壓扁模型的正確性[14?16]。

2 二十輥軋機板形控制模型的建立

為了將上述輥間壓扁模型應用到二十輥軋機輥系變形計算中，首先要建立二十輥軋機輥系變形解析模型。軋機輥系變形包括軋輥的撓曲變形，輥間壓扁變形以及工作輥與帶鋼壓扁變形。工作輥與帶鋼之間、工作輥與第一中間輥之間、第一中間輥與第二中間輥之間以及第二中間輥與支承輥之間的彈性壓扁均采用有限長半無限體壓扁模型。由于輥系受力的復雜性，求解軋機的輥系變形時需要將輥系沿軋輥軸線方向離散成若干個小單元，然后對每個單元單獨分析。軋機輥系變形的離散化模型如圖2所示。

圖2 二十輥軋機輥系離散化模型

圖2中：P為離散后單元上的軋制力；q，和分別為離散后單元上第一、二層和第三層輥間壓力。計算支承輥、中間輥和工作輥撓度采用邵特提出的基于懸臂梁模型的影響函數(shù)法[17]。為了研究輥系變形，必須對其空間結構進行受力分析，并分別沿輥心連線方向建立力平衡、撓度、力矩平衡、位移協(xié)調方程。圖3中：1~7分別為軋輥輥心連線與水平方向的夾角；為偏心距。

圖3 二十輥軋機輥系布置示意圖

下面以B輥?方向為例，分別列出力平衡方程、力矩平衡方程、撓度方程。B輥其他方向及其余軋輥的分析過程與B輥?方向分析過程類似。根據(jù)上述輥系布置幾何關系，B輥?方向受力平衡關系式 如下：

式中：為輥間壓力；下角標表示輥號。

B輥與其相鄰的A輥輥心連線方向?的力矩平衡關系式如下：

根據(jù)輥系受力平衡關系，可以得到B輥任意點處沿?方向的撓度方程為

(5)

根據(jù)輥系的空間幾何布置，沿各輥心連線方向，建立相鄰軋輥的變形協(xié)調關系。相鄰兩軋輥的協(xié)調方程如下：

式中：m()和n()分別為相鄰軋輥m和n上點的撓度；mn(mid)和mn()分別為兩軋輥在中點和點的壓扁，在此模型中輥間壓扁應用本文的有限長半無限體壓扁模型；mn為相鄰軋輥m和n軋制中心線截面在發(fā)生變形后相對偏轉的角度；()為點的軋輥坐標；Δmn為相鄰兩軋輥的凸度差。

二十輥軋機計算工作輥出口輥縫時，需要考慮上下工作輥軸線的彎曲變形和和輥面相對于板帶壓扁變形，上下軋輥凸度，等幾何量的協(xié)調關系。工作輥單元出口輥縫協(xié)調方 程為

3 計算和實驗結果分析

為了分析帶鋼軋后的板形狀況，需要同時考慮軋機的輥系變形和軋件的塑性變形。軋件的塑性變形采用LIAN[18]提出的變分法求解金屬橫向流動模型計算軋件的前后張力橫向分布。根據(jù)最小能量原理，在軋制過程中，總變形功應該最小。這就轉換成了1個以出口橫向位移函數(shù)()為未知量的最簡變分問題，總變形功率表達式以(，，′)為基本函數(shù)，()則需要使下述歐拉方程成立，即

橫向位移函數(shù)確定后，根據(jù)軋后帶材相對長度差方程，得到考慮金屬橫向流動的前后張力公式[15]。得到前后張力分布值后，采用Hill公式計算軋制力橫向分布。采用本文給出的模型，以實驗室二十輥軋機為例分析實際軋制過程中的力能參數(shù)變化規(guī)律，計算條件如表1所示。通過實驗結果驗證該模型的準確性。由于二十輥軋機軋制極薄帶的過程中張力橫向分布及總的軋制力不易準確測量，所以，通過實驗直接來驗證該模型所計算的張力、軋制力的準確性比較困難。但是，張力的橫向分布可以通過軋后帶材的板形來宏觀體現(xiàn)，所以，本文通過觀察軋后帶材宏觀表現(xiàn)出的板形來驗證該計算模型的準確性。

表1 二十輥軋機主要計算參數(shù)

為了進行板形控制，通常第一中間輥一端加工成一定的錐度和錐長，并可軸向移動以適合不同寬度帶鋼軋制板形控制的需要，且上下輥系和第一中間輥軸向移動為反對稱。圖4所示是錐長為55 mm，錐度為0.005，前后張力分別為80 MPa和100 MPa時，得到出口厚度分別為0.037 mm和0.035 mm的計算結果。

由上述計算結果可知：當錐長為55 mm時，帶鋼邊緣只有2.5 mm進入第一中間輥錐度段與工作輥的接觸區(qū)，第一中間輥錐度段開始位置與工作輥的接觸點出現(xiàn)較大的接觸壓力突變，說明此錐度較大，在軋制力的作用下錐度段大部分沒有參與接觸。同時，由于在帶鋼寬度范圍的邊緣附近工作輥與第一中間輥接觸壓力相對較大，這導致工作輥正向撓度增大，致使帶鋼邊部壓下量大于中部，容易出現(xiàn)邊浪。如圖4所示，板帶板凸度、軋制力和前張力橫向分布均表現(xiàn)出邊浪特征，且出口厚度為0.035 mm時更加明顯。因此，采用上述軋制條件軋制厚度小于0.035 mm的帶材是非常困難的。

取與上述相同工況進行軋制實驗，所得結果如圖5所示。從圖5可見：當出口厚度為0.037 mm時，帶材表現(xiàn)出輕微的雙邊浪；當出口厚度進一步減小到0.035 mm時，帶材表現(xiàn)出較為嚴重的雙邊浪。通過實驗結果發(fā)現(xiàn)：軋后所表現(xiàn)出的板形情況與該模型張力計算結果基本吻合，從而證明了該模型可以較為準確地預測極薄帶軋制過程中的板形。

為了進一步分析錐度和第一中間輥移動對板形控制的影響，將第一中間輥的錐度改為0.002 3，并將錐度向帶鋼中心移動20 mm，其他計算條件同上，采用上述模型分別計算出口厚度為0.035，0.033和0.030 mm時軋制過程板形相關參數(shù)的變化，計算結果如圖6所示。

(a) 前張力分布；(b) 單位寬度軋制力分布；(c) 帶鋼出口板凸度分布；(d) 第一層輥間壓力分布

出口厚度/mm：(a) 0.037；(b) 0.035

與第一中間輥錐度0.005無軸向移動相比，帶鋼邊緣已有較大的區(qū)域進入第一中間輥錐度段與工作輥的接觸區(qū)，當出口厚度為0.035 mm時，第一中間輥錐度段大部分區(qū)域沒有進入接觸狀態(tài)，意味著帶鋼邊部部分區(qū)域的工作輥未與第一中間輥接觸，處于懸空狀態(tài)，這將導致工作輥正向撓度減小，出現(xiàn)明顯的中浪特征，如圖6所示。從圖6可見：隨著出口厚度的減小，軋制力不斷增大，錐度段與工作輥的接觸長度逐漸增加，導致帶鋼邊緣附近工作輥與第一中間輥接觸壓力逐漸增大，工作輥正向撓度逐漸增大；隨著壓下量的增加，板形由中浪特征轉變?yōu)檫吚颂卣鳌?/p>

取與上述相同工況進行軋制實驗，所得結果如圖7所示。從圖7可見：當出口厚度為0.035 mm時，帶材表現(xiàn)出較嚴重的中浪；當出口厚度減小到0.033 mm時，帶材中浪在逐漸減??；當出口厚度進一步減小到0.030 mm時，帶材表現(xiàn)為輕微的中邊浪。通過實驗結果發(fā)現(xiàn)：軋后所表現(xiàn)出的板形情況與該模型張力計算結果基本吻合，進一步證明了該模型可以較準確地預測極薄帶軋制過程中的板形。

(a) 前張力分布；(b) 單位寬度軋制力分布；(c) 帶鋼板凸度分布；(d) 第一層輥間壓力分布

出口厚度/mm：(a) 0.035；(b) 0.033；(c) 0.030

4 結論

1) 基于有限長度半無限體模型，建立二十輥軋機的板形分析模型，該分析模型具有較高的計算精度和計算效率，相比半無限體模型和費普爾公式更適宜計算多輥軋機輥間壓扁變形。

2) 通常二十輥軋機AS-U-Roll(支承輥凸度分段調整)輥形調整要通過二中間輥、一中間輥傳到工作輥上，導致有限的AS-U-Roll凸度調整量對工作輥形狀影響較小，因此，不同錐度的第一中間輥及其橫移作為20輥軋機板形控制的主要手段。

3) 軋制極薄帶材時輥縫形狀的微小改變會引起板形的較大變化，如壓下量的微小改變引起板形由中浪變成邊浪。因此，對于極薄帶的板形控制，提高輥系變形模型的計算精度尤為重要。

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(編輯 楊幼平)

Plate shape control of ultra thin strip rolling for 20-high mill

YUAN Zhengwen1, 2, REN Zhongkai1, XIAO Hong1, YU Chao1

(1. National Engineering Research Center of Cold Strip Rolling Equipment and Technology,Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;2. Jiangsu Xuzhou Construction Machinery Research Institute, XCMG, Xuzhou 221004, China)

To improve the accuracy of roll flattening calculation for 20-high mill, a new and more accurate roll flattening model was proposed. In this model, the roll barrel was considered as a finite length semi-infinite body. Based on the boundary integral equation method, an accurate roll flattening model was established. Based on the new roll flattening model, coupled with roll bending model, strip plastic deformation model, a new and more accurate plate control model for 20-high mill was established. Based on the new model, for the particularly thin strip rolling process, the effects of taper angle and axial shift of the first intermediate roll were analyzed, and the accuracy of the new model was certified by rolling test. The results show that the taper angle and axial shift of the first intermediate roll have greater influence on the shape control, and small changes in the shape of the roll gap will cause great changes of flatness.

20-high mill; roll flattening; finite length semi-infinite body; boundary integral equation method; ultra thin strip rolling

TG335.5

A

1672?7207(2017)04?0860?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.04.002

2016?04?30；

2016?06?28

國家自然科學基金資助項目(51474190);河北省自然科學基金資助項目(E2015203311)(Project (51474190) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (E2015203311) supported by the Natural Science Foundation of Hebei Province)

肖宏，博士，教授，從事金屬塑性成形過程計算機模擬及軋制理論研究；E-mail：xhh@ysu.edu.cn