秦瑞兵,劉洋

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

基于subsampling重尾序列持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)

秦瑞兵,劉洋

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

研究新息為方差無窮重尾序列的持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問題,為得到較好的經(jīng)驗(yàn)水平值,構(gòu)造了DF型比率統(tǒng)計(jì)量,得到其漸近分布。為避免估計(jì)重尾指數(shù)κ,應(yīng)用subsampling方法確定漸近分布的臨界值并論證了該方法的合理性。最后,Monte Carlo模擬說明統(tǒng)計(jì)量及subsampling方法的有效性。

subsampling;持久性變點(diǎn);重尾;DF型比率統(tǒng)計(jì)量

0 引言

Engle和Granger提出線性協(xié)整模型后,協(xié)整分析方法被廣泛應(yīng)用于金融時(shí)間序列分析中。例如Liu和Yao[1]應(yīng)用協(xié)整理論,對(duì)比了中國(guó)城鎮(zhèn)化水平和三大產(chǎn)業(yè)就業(yè)比重的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)二者之間存在長(zhǎng)期均衡的關(guān)系。但是,由于系統(tǒng)內(nèi)外因素的變化,經(jīng)濟(jì)或金融變量系統(tǒng)的長(zhǎng)期均衡性可能從某個(gè)時(shí)刻之后被打破,此類變點(diǎn)即持久性變點(diǎn),表現(xiàn)為序列的平穩(wěn)性發(fā)生變化,導(dǎo)致原有協(xié)整檢驗(yàn)方法過分拒絕原假設(shè),持久性變點(diǎn)問題引起了較深入的研究。Leybourne等[2]和Kim[3]分別應(yīng)用DF型比率統(tǒng)計(jì)量及方差比率統(tǒng)計(jì)量對(duì)持久性變點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)。Leybourne和Taylor[4]則應(yīng)用修正的方差比率統(tǒng)計(jì)量提高持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)的功效,并改善檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)水平。Yang和Jin[5]運(yùn)用方差比率統(tǒng)計(jì)量討論了新息為重尾情形的持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問題。Chen和Tian[6]應(yīng)用修正的核加權(quán)方差比率方法去監(jiān)測(cè)線性序列的持久性變點(diǎn)問題并將該方法應(yīng)用于分析人民幣與美元匯率數(shù)據(jù)。

Guillaume[7]以及Mittnik和Rachev[8]發(fā)現(xiàn)許多經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)具有尖峰重尾的特征,重尾序列成為統(tǒng)計(jì)學(xué)界的熱點(diǎn)研究問題之一。Anderson[9]應(yīng)用獨(dú)立成分分析法研究了滿足重尾分布的數(shù)據(jù)。Mittnik和Rachev[10]分析了重尾分布的特征并解釋了如何將重尾分布應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)模型中。Han和Tian[11]應(yīng)用方差比率統(tǒng)計(jì)量并結(jié)合bootstrap方法探究了重尾序列的持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問題,但是從數(shù)據(jù)模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn),當(dāng)重尾指數(shù)較小時(shí),經(jīng)驗(yàn)水平值存在扭曲現(xiàn)象,本文利用DF型比率統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)重尾序列的持久性變點(diǎn)問題,得到該統(tǒng)計(jì)量的漸近分布,但該分布含有重尾指數(shù),因此本文應(yīng)用subsampling方法計(jì)算上述統(tǒng)計(jì)量的臨界值,并證明該方法的合理性。最后,數(shù)值模擬表明當(dāng)子樣本量較大時(shí),其經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)接近1,表明subsampling 方法在持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)時(shí)的合理性。

1 模型及統(tǒng)計(jì)量

1.1 考慮模型

yt=r+ut,

ut=ρtut-1+εt,

其中

且|ρ|<1,新息過程{εt}是重尾序列,滿足以下的假設(shè)條件和引理。

引理1 若假設(shè)條件成立,當(dāng)T→∞時(shí),下式成立,即

1.2 持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

基于數(shù)據(jù)生成過程,考慮以下兩種情形:第一種情形是隨機(jī)過程{yt}在整個(gè)時(shí)間序列上是單位根過程,即τ=1,記為H0;第二種情形是隨機(jī)過程{yt}在時(shí)刻[τT]由單位根過程轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒€(wěn)過程,即0<τ<1,記為H1,其中,τ∈Λ,Λ為(0,1)上任意一個(gè)緊子集。

定義下面的DF型比率統(tǒng)計(jì)量

.

其中

這里N(τ)=U(1)-U(1-τ),Vr(τ)=V(1)-V(1-τ)。

對(duì)于分母部分,假設(shè)0

DFr的極限分布N(τ)能夠利用DFf的極限分布U(τ)得到,接下來證明N(.)的存在。對(duì)于0

2 抽樣過程

由于上述統(tǒng)計(jì)量的漸近分布G(x)中含有未知參數(shù)κ,計(jì)算是復(fù)雜的,因此本文利用subsampling方法來逼近漸近分布的臨界值。

具體方法如下:

為方便定理2的證明,先證明如下的引理2至引理5。

引理2的證明參見文獻(xiàn)[12]。

證明 由rk(T)的定義可知

證明 對(duì)于統(tǒng)計(jì)量ΞT的分子部分,令

定義

則由上、下極限的性質(zhì)及引理3,引理成立。下僅證

得

統(tǒng)計(jì)量的分母部分可作類似處理。

證明

由引理4的證明可知,S1→0,將S2作如下分解

由引理4可得

因此

從而

故

3 數(shù)據(jù)模擬

考慮如下數(shù)據(jù)生成過程:yt=r+ut,t=1,2,…,T,其中{ut}滿足假設(shè)1,r=0.1。原假設(shè)條件下,ut=ut-1+εt,備擇假設(shè)下,隨機(jī)過程{ut}在時(shí)刻[τT]從I(1)到I(0)變化,即

ut=ρ1ut-1+εt,t=1,2,…,[τT] ,

ut=ρ2ut-1+εt,t=[τT]+1,…,T.

其中ρ1=1,ρ2=0.25,0.75,變點(diǎn)時(shí)刻τ=0.3,0.5,0.85。隨機(jī)變量序列{εt}是對(duì)稱獨(dú)立同分布的重尾序列,重尾指數(shù)κ=1.14,1.46,1.97,且Eεt=0。不失一般性,設(shè)定初始值y0=0,顯著性水平α=0.05,以及樣本容量T=300,500。

κ=1.14n=300n=500κ=1.46n=300n=500κ=1.97n=300n=500(a)經(jīng)驗(yàn)水平值α=0.050.06320.06340.06400.06480.06680.0682(b)經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值τρ20.30.250.63440.74060.64640.79120.71900.85200.750.46880.62060.46920.63660.50580.65420.50.250.79800.86500.82940.91060.89000.96400.750.64760.76600.64960.78860.67940.82060.850.250.92800.96420.95400.95540.98900.99880.750.81240.90600.81800.91940.85180.9248

表2 b=[T1/2]時(shí)subsampling方法所得的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)值

表1和表2分別給出了不同子樣本量下,用subsampling方法進(jìn)行5000次模擬試驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)水平值和經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值。比較表1和表2的結(jié)果可以得到以下幾個(gè)結(jié)論:1.隨著樣本容量T的增加,經(jīng)驗(yàn)水平值和經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值都有較明顯的改善。2.重尾指數(shù)κ越接近1,勢(shì)函數(shù)越低,而指數(shù)越接近2,勢(shì)函數(shù)越高。 3.當(dāng)ρ2越接近1時(shí),經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值較小。4.當(dāng)τ較大時(shí),subsampling檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值較大,這是由于備擇假設(shè)下,隨機(jī)過程{yt}從I(1)到I(0)變化,{yt}含有I(1)的比例較大,因此經(jīng)驗(yàn)勢(shì)函數(shù)值較大。5.subsampling方法計(jì)算臨界值時(shí)子樣本量b的選取會(huì)對(duì)其產(chǎn)生一定的影響。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用DF型比率統(tǒng)計(jì)量研究新息為方差無窮重尾序列的持久性變點(diǎn)檢驗(yàn)問題,得到統(tǒng)計(jì)量的漸近分布,但分布中含有未知參數(shù),難以計(jì)算,因此應(yīng)用subsampling方法來確定漸近分布的臨界值并證明了該方法的一致性。最后,Monte Carlo模擬說明subsampling方法的合理性。

[1] 劉愛英,姚麗芬.中國(guó)城鎮(zhèn)化水平和就業(yè)結(jié)構(gòu)關(guān)系的協(xié)整分析[J].特區(qū)經(jīng)濟(jì),2011,(2):264-266.

[2] Leybourne,Kim,Taylor.Regression-based Test for a Change in Persistence[J].OxfordBulletinofEconomicsandStatistics,2006,68(5):595-621.DOI:10.1111/j.1468-0084.2006.00179.X

[3] Kim J Y.Detection of Change in Persistence of Linear Times Series[J].JournalofEconometrics,2000,95:97-116.DOI:10.1016/S0304-4076(99)00031-7.

[4] Leybourne S J,Taylor A M R.On Tests for Changes in Persistence[J].EconomicsLetters,2004,84:107-115.DOI:10.1016/j.econlet.2003.12.015.

[5] YANG Yunfeng,JIN Hao.Ratio Tests for Persistence Change with Heavy Tailed Observations[J].JournalofNetworks,2014,9(6):1409-1415.DOI:10.4304/jnw.9.6.1409-1415.

[6] 陳占?jí)?田錚.含趨勢(shì)項(xiàng)時(shí)間序列持久性變點(diǎn)監(jiān)測(cè)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2014,(4):936-943.DOI:10.12011/1000-6788(2014)4-936.

[7] Guillaume D M,etal.From the Bird’s Eye to the Microscope:A Survey of New Stylized Facts of the Intra-daily Foreign Exchange Markets[J].FinanceandStochastics,1997,1:95-129.DOI：10.1007/s007800050018.

[8] Mittnik S,Rachev S.Stable Paretian Models in Finance[M].New York:Wiley,2000.

[9] Anderson J,Goyal N,Nandi A,etal.Heavy-tailed Independent Component Analysis[J].ComputerScience,2015,9:290-309.DOI:10.1109/FOCS.2015.26.

[10] Rachev S,Mittnik S.Heavy-tailed and Stable Distributions in Financial Econometrics[J].JohnWiley&sons,Inc.,2015,8:465-494.DOI:10.1002/978 111 920 1847.ch14.

[11] Han Sier,Tian Zheng.Bootstrap Testing for Changes in Persistence with Heavy-Tailed Innovation[J].CommunicationsinStatics-TheoryandMethods,2007,36:2289-2299.DOI:10.1080/0361092070 1215415.

[12] Agnieszka J,Kokoszka P.Subsampling unit Root Tests for Heavy Tailed Observations[J].MethodologyandComputinginAppliedProbability,2004,6(1):73-97.DOI:10.1023/b:mcap.0000012416.28 866.c5.

Subsampling Testing for Persistence Change in Heavy-Tailed Series

QIN Ruibing,LIU Yang

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

This paper deals with the detection of persistence change in the heavy-tailed series with the infinite-variance innovations. In order to get better empirical sizes, the DF ratio statistic is extended and the asymptotic distribution is obtained. Subsampling method is applied to calculate the critical value of the statistic without estimating the tail indexκand the validity of subsampling method is established.Moreover,Monte Carlo simulations demonstrate the validity of the statistic and subsampling method.

subsampling;persistence change;heavy-tailed;DF ratio statistic

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.005

2016-07-11；

2016-11-29

國(guó)家自然科學(xué)基金(71501115)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2013T60266)

秦瑞兵(1979-)，男，博士，主要研究方向：時(shí)間序列分析。E-mail:rbqin@sxu.edu.cn

O29

A

0253-2395(2017)02-0209-07