劉洪志

摘 要：在課堂教學(xué)中，常常有很多“節(jié)外生枝”的狀況出現(xiàn)，教師對(duì)待這些狀況不能一味地打壓或放任自流，而是應(yīng)該合理地引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步去思考去探索，生成有價(jià)值的教學(xué)成果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂；意外生成；反思

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）23-119-2

《三角恒等變換》是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書必修4中的一章，是前面所學(xué)任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式的延伸和發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的重要素材?！皟山呛团c差的余弦”是本章的起始內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦、正切以及二倍角公式的知識(shí)基礎(chǔ)和方法源泉。由于向量還沒有學(xué)習(xí)，所以在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生采用單位圓利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式，由于教學(xué)的對(duì)象是三星級(jí)普通高中的學(xué)生，有一定的邏輯思維能力，對(duì)用一般到特殊、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程思想已經(jīng)有了一定基礎(chǔ)，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)未達(dá)到綜合運(yùn)用這些方法自主探究和證明兩角差余弦公式的水平，因此在課的設(shè)計(jì)上先利用幾何法得出公式，在利用單位圓進(jìn)行嚴(yán)格證明。

下面是筆者本節(jié)教學(xué)中的部分實(shí)錄，藉此闡明課堂教學(xué)中尊重學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性。

鏡頭一：新課引入部分

思考：魯賓斯基曾經(jīng)說過：“對(duì)于形成任何一種能力，都必須首先引起對(duì)某種類型活動(dòng)的十分強(qiáng)烈的需要”。需要是產(chǎn)生動(dòng)力的源泉，要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，教學(xué)中就應(yīng)該努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)積極的求知情境，把教師要教的變成學(xué)生要學(xué)的。教學(xué)中要多些采自身邊的問題，學(xué)生感興趣的問題，使他們倍感親切，尤其是解直角三角形問題，學(xué)生可以有很大的思考和活動(dòng)的空間，在小組活動(dòng)的氛圍當(dāng)中，學(xué)生很容易得出正確的關(guān)系式，嘗到了發(fā)現(xiàn)真理的快樂，自然而然地發(fā)現(xiàn)了特定條件下的兩角差的余弦公式，為一般化證明奠定了目標(biāo)基礎(chǔ)。

鏡頭二：公式證明部分

師：同學(xué)們已經(jīng)有了處理任意角三角函數(shù)問題的方法，誘導(dǎo)公式的證明，我們都利用了什么圖形解決的？

生（全體）：利用單位圓。

師：要證明這個(gè)等式對(duì)任意角都成立，如果找不到其他辦法，不妨我們就回到我們熟悉的單位圓中來解決問題。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)下面問題進(jìn)行小組交流。

問題1：如何在單位圓中做出角α，β，α-β的終邊呢？

問題2：角α，β，α-β的終邊與單位圓交點(diǎn)P1，P2，P3的坐標(biāo)是什么？

問題3：如何將角α，β，α-β的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)與cos（α-β）聯(lián)系起來，怎樣建立這種等量關(guān)系呢？

獨(dú)白：現(xiàn)行的教學(xué)理念很崇尚學(xué)生探究，實(shí)際教學(xué)當(dāng)中如果一味放手，很多時(shí)候會(huì)變成漫無目的的探索，常常是無疾而終。在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中要提升教學(xué)的有效性，應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)的“四化”，即數(shù)學(xué)化的原則、適度形式化的原則、問題驅(qū)動(dòng)化原則和滲透數(shù)學(xué)思想方法的原則。在此環(huán)節(jié)的處理上采用了“活動(dòng)單”的方式，布置學(xué)生進(jìn)行小組合作探究，逐步展開，降低公式推導(dǎo)理解難度，進(jìn)而解決問題，請(qǐng)同學(xué)展示自己的研究成果。先與學(xué)生共同確定要探究的內(nèi)容和目標(biāo)，明確探究的方法再讓學(xué)生進(jìn)行探究，排除更多的無關(guān)因素的干擾，力求學(xué)生更多精力放在等式的尋找和證明當(dāng)中。

獨(dú)白：在自己備課的時(shí)候，我真沒想過這種情況，學(xué)生2提出的問題是等量關(guān)系的選取不同出現(xiàn)的結(jié)果，實(shí)際上化簡的結(jié)果也是兩角差的余弦公式，只不過表示的形式不同而已，也正好體現(xiàn)出公式中角的任意性。我相信通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生2對(duì)本章所有的公式角的任意性都會(huì)有比別人更加深刻的認(rèn)識(shí)，因?yàn)槿诵灾凶钌钋械男睦韯?dòng)機(jī)是被人賞識(shí)的渴望，所以，后面是這樣處理的。

師：這位同學(xué)的想法非常好，我們應(yīng)該給勤于動(dòng)腦的同學(xué)2掌聲鼓勵(lì)。這個(gè)式子實(shí)際上就是我們要證明的兩角差的余弦公式（學(xué)生有些不安起來），同學(xué)們，我們?cè)谧鼋堑臅r(shí)候雖然在一圈之內(nèi)選取的α，β且滿足α>β，實(shí)際上任意α，β利用周期性都可以化到0～2π進(jìn)行解決，也就是說公式是對(duì)任意的兩個(gè)角都是成立的。既然這樣，如果我令α-β=θ，學(xué)生2得到的式子就可以寫成cos（α-θ）=cosαcosθ+sinαsinθ，這不就是兩角差的余弦公式么！我們要感謝學(xué)生2用事實(shí)給我展示了公式中角的“任性”。

……

然后，我和同學(xué)們繼續(xù)研究公式的特點(diǎn)以及公式的使用，整節(jié)課正是因?yàn)榧皶r(shí)肯定了學(xué)生2的想法，讓學(xué)生感受到了尊重，又用“任性”等流行詞對(duì)公式角的特點(diǎn)進(jìn)行形象的解釋，刺激了學(xué)生的興奮點(diǎn)，使得一節(jié)課在輕松活潑的氣氛中很快過去了。

教后反思：學(xué)生2提出的問題在意料之外，可以說是意外生生枝。教師在把課堂的主動(dòng)權(quán)給學(xué)生的時(shí)候要考慮這種節(jié)外生枝情況，探究之路偏離了原方向該怎么辦？如果我們僅僅是硬生生的拉回，就失去了以學(xué)生為主導(dǎo)的課堂設(shè)計(jì)本意；如果我們放任不管，那種“放羊式”的探究也很難達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。如何解決這種矛盾，是數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)要認(rèn)真考慮的問題。我個(gè)人認(rèn)為，教師在問題設(shè)計(jì)時(shí)要在關(guān)鍵的點(diǎn)處指明探求大概方向，而不是方位。若問題太細(xì)，指向性太強(qiáng)，像路標(biāo)一樣，那是“偽探究”，達(dá)不到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的。

回顧小組討論中，我提出的三個(gè)問題，應(yīng)該說梯度恰當(dāng)，但是指向性還是比較明顯，這個(gè)也是數(shù)學(xué)教師需要探討的地方，一方面要留給學(xué)生一些神秘感，有探究的欲望，又不能像我們現(xiàn)在的汽車導(dǎo)航一樣，只要按照提示走，你一定會(huì)到達(dá)終點(diǎn)。當(dāng)然教師在備課時(shí)要對(duì)課題有著充分的認(rèn)識(shí)，全面的考慮，不能以我為中心，因?yàn)槲覀兠鎸?duì)的是有著鮮活生命的四十幾個(gè)不同的個(gè)體，它們有著不同的思想，我們要懂得尊重他們的想法，給學(xué)生展示自己思維的機(jī)會(huì)，當(dāng)然在這整個(gè)過程中教師也得到一個(gè)極大的提升。