丁勤衛(wèi)，李 春，張俊偉，任 杰，施之皓，郝文星

乒乓球作為一項(xiàng)極具觀賞性和競(jìng)技難度的運(yùn)動(dòng)，具有質(zhì)量輕、速度快、旋轉(zhuǎn)高以及戰(zhàn)術(shù)多變性等特點(diǎn)[1-3]。乒乓球運(yùn)動(dòng)已成為我國(guó)普遍性運(yùn)動(dòng)且具有極為廣泛的群眾基礎(chǔ)，并作為我國(guó)國(guó)球，繼1996年奧特蘭大奧運(yùn)會(huì)以來已多次包攬奧運(yùn)會(huì)冠軍[2]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于乒乓球做了大量研究[4]，其中多數(shù)研究為戰(zhàn)術(shù)理論研究[5]、球員打法研究[6-7]以及心理分析、乒乓球管理和教學(xué)管理研究[8]。

計(jì)算機(jī)技術(shù)及數(shù)值計(jì)算發(fā)展，為乒乓球運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真提供了技術(shù)保證。例如:計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)在乒乓球拍的強(qiáng)度研究、乒乓球碰撞研究以及乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)研究的應(yīng)用等[9-13]。文獻(xiàn)[9]基于ODE的交互式可視化仿真環(huán)境，著重于旋轉(zhuǎn)球，考慮旋轉(zhuǎn)過程中受到重力、Magnus升力以及空氣阻力，借鑒網(wǎng)球升阻力系數(shù)，不考慮旋轉(zhuǎn)速度的變化，求解運(yùn)動(dòng)方程得到乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)模型的準(zhǔn)確性，為揭示乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡、乒乓球機(jī)器人的發(fā)展提供了科學(xué)依據(jù)。文獻(xiàn)[10]基于模型參數(shù)學(xué)習(xí)和自適應(yīng)模型的調(diào)整的乒乓球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)和軌跡預(yù)測(cè)算法，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的實(shí)時(shí)性和高效性。文獻(xiàn)[11]采用改進(jìn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的算法，考慮空氣阻力對(duì)乒乓球速度的影響，將其速度作為動(dòng)態(tài)反饋參數(shù)，結(jié)果表明效果準(zhǔn)確性，并采用OPENGL的3D仿真平臺(tái)直觀分析預(yù)測(cè)軌跡。A NAKASHIMA等[12]實(shí)驗(yàn)研究了旋轉(zhuǎn)乒乓球與球拍的碰撞模型，通過水平和垂直方向恢復(fù)力系數(shù)確定碰撞后乒乓球速度變化，并通過了其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證碰撞模型和各方向的恢復(fù)力系數(shù)的可行性。

然而，乒乓球在空氣中運(yùn)動(dòng)，實(shí)質(zhì)上是一種流體的繞流過程，空氣的粘性會(huì)影響著球體的升力和阻力，進(jìn)而影響乒乓球的速度、旋轉(zhuǎn)、軌跡及落點(diǎn)。在上述乒乓球軌跡預(yù)測(cè)仿真研究中為便于求解或因計(jì)算資源限制，多將乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中的升、阻力系數(shù)作為常數(shù)以及乒乓球旋轉(zhuǎn)速度作為定值。顯然這與實(shí)際情況存在較大差距。為更加真實(shí)地研究乒乓球復(fù)雜的氣動(dòng)流場(chǎng)，OU KUI等[14]采用計(jì)算流體力學(xué)方法（CFD）對(duì)乒乓球軌跡進(jìn)行數(shù)值模擬，得到乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡并分析其流場(chǎng)，僅求解了旋轉(zhuǎn)速度大小及方向?qū)ζ古仪蜍壽E影響。

根據(jù)專業(yè)教練帶隊(duì)經(jīng)驗(yàn)以及自身體驗(yàn)，乒乓球作為球員之間的快速回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，不僅需要考慮乒乓球運(yùn)動(dòng)速度及旋轉(zhuǎn)大小方向?qū)ζ古仪蜻\(yùn)動(dòng)軌跡的影響，更需要研究環(huán)境因素對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡影響。為此必須對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的三維非定常流場(chǎng)開展數(shù)值模擬，以便從流動(dòng)機(jī)理角度研究球體不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的內(nèi)在機(jī)理。1985年，R D MEHTA[15]提出環(huán)境溫度對(duì)棒球、足球及網(wǎng)球的運(yùn)動(dòng)存在影響，但未涉及乒乓球。顯然，輕而小的乒乓球比棒、足、網(wǎng)球輕得多的乒乓球受溫度影響更大。因此，本文采用無(wú)網(wǎng)格格子Boltzmann方法（LBM）數(shù)值求解乒乓球三維非定常流場(chǎng)，研究不同溫度對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，分析乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡及運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化曲線，并且通過乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中的瞬態(tài)流場(chǎng)細(xì)微結(jié)構(gòu)得到影響球體運(yùn)動(dòng)諸參數(shù)的流動(dòng)機(jī)理。

1 乒乓球分析基礎(chǔ)

1.1 乒乓球理論基礎(chǔ)

國(guó)際乒聯(lián)規(guī)定比賽使用乒乓球質(zhì)量m=2.7 g，半徑為0.02 m，乒乓球桌尺寸分別為:長(zhǎng)2.74 m、寬1.525 m、高0.76 m以及網(wǎng)高0.152 5 m[16-17]（見圖1）。

根據(jù)乒乓球旋轉(zhuǎn)所繞旋轉(zhuǎn)軸不同可分為6大旋轉(zhuǎn)[18]:上旋、下旋、左旋、右旋、順旋以及逆旋（見圖2）。圖中，ω為乒乓球旋轉(zhuǎn)角速度，單位是rad/s；v為乒乓球運(yùn)動(dòng)速度，單位是m/s。

圖1 乒乓球球桌尺寸Figure1 Geometry Parameters of Table

圖2 6大旋轉(zhuǎn)Figure2 Six Spin

1.2 受力分析

Magnus效應(yīng)是普遍存在的，在工程各方面都具有重要的作用[19-23]。在粘性流體中，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的球體會(huì)帶動(dòng)周圍流體做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)存在繞流時(shí)，球體表面將出現(xiàn)壓力差，從而產(chǎn)生作用力即Magnus力。飛行中的乒乓球，自身旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的Magnus效應(yīng)可使其偏離原有軌跡。

在乒乓球比賽過程中，對(duì)于上旋球在Magnus效應(yīng)下，乒乓球產(chǎn)生向下的Magnus作用力，對(duì)于下旋球則呈現(xiàn)相反的作用，同樣側(cè)向球旋轉(zhuǎn)會(huì)導(dǎo)致球體產(chǎn)生側(cè)向偏離[1，24]（見圖3）。對(duì)于運(yùn)動(dòng)過程中的乒乓球，不同旋轉(zhuǎn)方向因Magnus效應(yīng)導(dǎo)致不同的軌跡偏離（見圖4），圖中，vx及vy分別為x及y軸方向速度，單位是m/s。

圖3 下旋球Magnus效應(yīng)Figure3 Magnus Effect of Back Spin

圖4 不同旋轉(zhuǎn)方向乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡Figure4 Trajectory of Table Tennis in Different Spin Direction

乒乓球在運(yùn)動(dòng)過程中受到自身重力、空氣阻力以及Magnus力等綜合作用。對(duì)不同旋轉(zhuǎn)方向下乒乓球運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行受力分析（見圖5）。圖中，F(xiàn)g、FL以及FD分別為自身重力、Magnus力以及空氣阻力。

圖5 不同旋轉(zhuǎn)方向乒乓球受力分析Figure5 Force of Table Tennis in Different Spin Direction

2 計(jì)算方法[25]

本文采用基于粒子和具有完整拉格朗日函數(shù)的方法對(duì)格子Boltzmann-BGK方程和不可壓縮的Navier-Stokes方程進(jìn)行求解。此方法無(wú)需對(duì)流體區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，可較好地體現(xiàn)乒乓球外形特性。對(duì)于運(yùn)動(dòng)中的乒乓球模擬免去了網(wǎng)格變形的問題，極大地提高了計(jì)算的可靠性。計(jì)算采用大渦模擬（LES）的方法對(duì)乒乓球流場(chǎng)中不同尺度的渦進(jìn)行處理，對(duì)流速梯度較大的區(qū)域自動(dòng)增加粒子數(shù)，提高了對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)尾渦的捕捉精度。

2.1 格子Boltzmann-BGK方程

格子Boltzmann方法是以介觀動(dòng)理學(xué)模型為基礎(chǔ)的無(wú)網(wǎng)格方法，通過求解描述粒子運(yùn)動(dòng)方程從而獲得宏觀信息，包括:速度、壓力以及溫度等，方程1為Boltzmann方程:

式中，r為自封閉系統(tǒng)內(nèi)格子的一個(gè)格點(diǎn)；ei為流體第i個(gè)粒子的離散速度集合；δt為離散時(shí)間步長(zhǎng)；t為當(dāng)前時(shí)間步；fi是以速度ei運(yùn)動(dòng)的速度分布函數(shù)；Si(r,t)為碰撞算子項(xiàng)，表示分子碰撞對(duì)速度分布函數(shù)的影響。

碰撞算子反映了微觀流體粒子的相互作用，對(duì)模型能否準(zhǔn)確表示處流體系統(tǒng)的物理規(guī)律有著關(guān)鍵作用。由于碰撞算子涉及高度非線性積分以及分子間具有耦合作用，因此GROSS等[26]引入方程（2）所示的BGK簡(jiǎn)化線性化碰撞算子:

式中，τ稱為松弛時(shí)間是平衡態(tài)分布函數(shù)。

格子Boltzmann-BGK方程是采用BGK線性碰撞算子簡(jiǎn)化的Boltzmann方程的一種離散形式，包括空間、速度以及時(shí)間的離散[25]。

2.2 基本格子Boltzmann模型

完整的格子Boltzmann模型包含:平衡態(tài)分布函數(shù)、離散速度模型以及分布函數(shù)的演化方程[27]。1992年，QIAN等[28]提出的DdQb系列模型作為格子Boltzmann方法的基本模型，如二維D2Q9[29]及三維D3Q27[30]。本文采用D3Q27模型（見圖6）。

圖6 D3Q27模型Figure6 D3Q27 Model

方程（3）為D3Q27系列模型的平衡態(tài)分布函數(shù)，方程（4）為其對(duì)應(yīng)的三維離散速度矢量[30]:

式中，cs為離散系統(tǒng)的聲速；u為宏觀運(yùn)動(dòng)速度；wα為權(quán)系數(shù)，定義為:

eα為三維離散速度矢量，定義為:

式中:c為離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的格子速度。

3 參數(shù)與建模

圖7為球桌及乒乓球的計(jì)算域，其大小為:3.5m×1.5m×2.5m。乒乓球在x軸方向（長(zhǎng)度方向）的速度vx=6.0 m/s，在y軸方向（高度方向）的速度vy=1.6 m/s，在z軸方向（寬度方向）vz=0；乒乓球旋轉(zhuǎn)速度:ωx=ωy=ωz=0 rad/s，乒乓球初始位置（0，0.2，0.7）m。

圖7 計(jì)算域Figure7 Computational Domain

本文綜合考慮環(huán)境溫度變化導(dǎo)致空氣粘性及密度的改變對(duì)乒乓球空氣啟動(dòng)作用的影響，采用格子Boltzmann方法，研究不同環(huán)境溫度對(duì)乒乓球軌跡影響。圖8為環(huán)境溫度對(duì)空氣粘性及密度的影響曲線，表1為3種不同溫度時(shí)相對(duì)應(yīng)的空氣密度粘度[31]。

圖8 空氣密度、粘性隨溫度變化Figure8 The Air Density and Viscosity Changes with Temperature

表1 不同環(huán)境溫度對(duì)應(yīng)的密度及粘度Table1 The Air Density and Viscosity in Different Temperature

4 結(jié)果與分析

圖9為0、15和30℃3種不同情況下的乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡圖。圖9（a）和（b）分為xoy和xoz平面軌跡圖，圖9（c）和（d）分別為xoy和xoz平面軌跡局部放大圖。

圖9 乒乓球軌跡圖Figure9 Trajectory of Table Tennis

圖9 （a）及圖9（c）可見在軌跡上升段，3種溫度下乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡差別很??；在軌跡下降段，3種不同溫度下軌跡出現(xiàn)微小差別；在乒乓球與桌面發(fā)生碰撞后，乒乓球軌跡產(chǎn)生較大偏差。乒乓球軌跡隨溫度升高，其最終點(diǎn)越低，分別為:（2.814 17，0.159 83）、（2.805 82，0.151 67）及（2.820 25，0.147 55），以乒乓球半徑為基準(zhǔn)，0℃與15℃軌跡x軸方向偏差為41.75%，在y軸方向偏差為40.8%；15℃與30℃軌跡x軸方向偏差為72.15%，在y軸方向偏差為20.6%。

圖9（b）及圖9（d）中可知在軌跡上升段，0、15以及30 ℃在z軸方向沒有明顯的偏轉(zhuǎn)；但在軌跡下降段，三者相比產(chǎn)生微小的偏差；在與桌面碰撞后，乒乓球軌跡在3種不同溫度情況下產(chǎn)生明顯的偏差，并且隨著乒乓球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)距離越來越大。乒乓球在z軸方向的偏轉(zhuǎn)隨著溫度升高而降低，軌跡最終點(diǎn)分別為:（0.159 83，0.695 08）、（0.151 67，0.698 93）及（0.147 55，0.699 9），相對(duì)于乒乓球半徑，0℃與15℃軌跡z軸方向偏差為19.53%；15℃與30℃軌跡z軸方向偏差為4.85%。

圖10及圖11表明乒乓球運(yùn)動(dòng)速度及旋轉(zhuǎn)速度在運(yùn)動(dòng)過程中隨時(shí)間變化，各方向運(yùn)動(dòng)速度及旋轉(zhuǎn)速度變化趨勢(shì)相同，但數(shù)值有較大的差別。沿x軸方向，即球體前進(jìn)方向速度因受到空氣阻力作用在運(yùn)動(dòng)過程中逐漸減小，與桌面碰撞后速度發(fā)生突降；y軸運(yùn)動(dòng)速度因重力及Magnus作用力等多重作用力綜合作用在運(yùn)動(dòng)過程中先減小后增大，在與桌面碰撞后乒乓球速度方向瞬時(shí)發(fā)生變化，并產(chǎn)生一定的速度損失；z軸運(yùn)動(dòng)速度有較小的變化，與桌面碰撞過程三者速度都發(fā)生突變。乒乓球旋轉(zhuǎn)速度在x及y軸方向有一定變化，并與桌面碰撞后都發(fā)生突變。

雖然環(huán)境溫度不同乒乓球的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間和空間尺度變化的趨勢(shì)基本相同，但隨著時(shí)間或飛行距離的變化，尤其是與桌面碰撞反彈后其參數(shù)變化有著很大的差異。x軸方向運(yùn)動(dòng)速度在軌跡運(yùn)動(dòng)過程中3種不同溫度條件下無(wú)明顯差別，碰撞后，速度變化產(chǎn)生明顯差別，15℃條件下乒乓球運(yùn)動(dòng)速度最小，其他兩者無(wú)明顯區(qū)別；在y軸方向運(yùn)動(dòng)速度碰撞前無(wú)明顯差別，碰撞后乒乓球速度隨溫度升高而增大；在z軸方向運(yùn)動(dòng)速度因三者空氣粘性阻力不同從而有著巨大的差別，運(yùn)動(dòng)速度大小隨著溫度增大而增大，但在碰撞后因碰撞復(fù)雜性，三者速度就很大的差別；旋轉(zhuǎn)速度在時(shí)間t=0.15 s之前，在3個(gè)方向上不同溫度情況下旋轉(zhuǎn)速度無(wú)明顯差別；旋轉(zhuǎn)速度在時(shí)間t=0.15～0.41 s，3個(gè)方向有著巨大的差別，并隨溫度升高而減??；在時(shí)間t=0.41 s之后即碰撞后，乒乓球旋轉(zhuǎn)速度發(fā)生突變，x、y軸方向隨溫度增大旋轉(zhuǎn)速度突變量越小，在z軸方向0℃時(shí)其旋轉(zhuǎn)速度相對(duì)于15℃和30℃條件下突變后的旋轉(zhuǎn)速度較小以及15℃和30℃條件下突變后的旋轉(zhuǎn)速度無(wú)明顯差別。

乒乓球在空氣中運(yùn)動(dòng)及與桌面碰撞，其運(yùn)動(dòng)軌跡和落點(diǎn)主要受速度和旋轉(zhuǎn)速度的影響，如較之于15℃和30℃，0℃條件下乒乓球運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化較大，因此其軌跡相比于其他兩種情況有很大差別；乒乓球碰撞后的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的突變的差別使得乒乓球在不同溫度條件下其軌跡在碰撞之后出現(xiàn)明顯的差別。TANAKAK等[32]實(shí)驗(yàn)研究球體在不同速比SP（SP=ωr/v）下的升力系數(shù)CL（CL=2FL/πρr2v2）及阻力系數(shù)CD（CD=2FD/πρr2v2），研究結(jié)果表明具有不同的速比SP的乒乓球具有不同的升阻力系數(shù)；如圖12所示為不同溫度下運(yùn)動(dòng)過程中的乒乓球速比隨時(shí)間變化曲線。

由圖12可知在同一溫度條件下，不同時(shí)刻下，乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中其速比隨時(shí)間發(fā)生變化。對(duì)于同一時(shí)刻下，乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中速比隨著溫度減小而增大；時(shí)間t=0.2 s之前，速比差別小，時(shí)間t=0.2 s之后，速比差別大。

乒乓球運(yùn)動(dòng)中速度和旋轉(zhuǎn)速度的變化，與其在不同時(shí)刻的瞬態(tài)流場(chǎng)密切相關(guān)。宏觀上，空氣分子的運(yùn)動(dòng)因溫度升高速度加快，使得密度隨溫度升高而減小，粘性隨溫度升高而增大，空氣中運(yùn)動(dòng)著的乒乓球的升力和阻力與密度和粘性系數(shù)成一定關(guān)系。因此，必須得到乒乓球運(yùn)動(dòng)中周圍瞬態(tài)流場(chǎng)到微觀結(jié)構(gòu)，才能找到流體（空氣）影響其各參數(shù)變化的流動(dòng)機(jī)理。圖13、圖14以及圖15分別為15℃條件下不同時(shí)刻乒乓球流場(chǎng)渦量、速度云圖以及乒乓球表面壓力圖。

圖10 乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中速度隨時(shí)間變化圖Figure10 Velocity in Movement of Table Tennis

圖11 乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間變化圖Figure11 Spin in Movement of Table Tennis

圖12 不同溫度下乒乓球速比SP隨時(shí)間變化Figure12 SPChanges with Time in Different Temperature

圖13 乒乓球xoy平面渦量場(chǎng)Figure13 Vorticity Field inxoyFace of Table Tennis

圖13 為xoy平面內(nèi)z軸方向渦量云圖，時(shí)間t=0.1～0.4 s為碰撞前，t=0.5 s為碰撞后，圖中給出的速度v表示該時(shí)刻乒乓球瞬時(shí)速度方向。由圖可見，渦量分布的對(duì)稱性取決于球體速度的方向，渦量大小決定運(yùn)動(dòng)速度。渦量為速度梯度，直接反應(yīng)球體周圍的壓力變化。由各時(shí)間點(diǎn)的渦量圖可看出，原不具有旋轉(zhuǎn)作用的乒乓球由于其周圍壓力變化從而受到流場(chǎng)粘性阻力的作用產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)作用，同時(shí)乒乓球運(yùn)動(dòng)速度因周圍壓力變化受到流場(chǎng)的作用其產(chǎn)生變化，不同溫度下具有不同的密度和粘性作用使得乒乓球在運(yùn)動(dòng)過程中受到流場(chǎng)作用不同，與圖10及圖11所表現(xiàn)出球體在運(yùn)動(dòng)過程中不同溫度下運(yùn)動(dòng)速度及旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間變化相吻合。

圖13表明原不具有旋轉(zhuǎn)的乒乓球由于球體在運(yùn)動(dòng)過程中受到流場(chǎng)作粘性阻力作用產(chǎn)生一定的旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致其上下部分周向速度與球體運(yùn)動(dòng)速度方向不同，造成乒乓球速度流場(chǎng)的不對(duì)稱性，因此，如圖14時(shí)間t=0.1～0.4 s為碰撞前，t=0.5 s為碰撞后，乒乓球因流場(chǎng)不對(duì)稱性（關(guān)于瞬時(shí)速度方向）從而受到流場(chǎng)作用力，不同溫度具有不同的粘性作用，造成這與圖9所表現(xiàn)出不同溫度下球體宏觀軌跡發(fā)生變化相吻合。

圖15為不同時(shí)刻下乒乓球表面靜態(tài)壓力分布，對(duì)于初始沒有旋轉(zhuǎn)的乒乓球在運(yùn)動(dòng)過程中其上、下側(cè)存在壓力差，且在乒乓球上、下側(cè)表面分布不均；乒乓球前、后、上以及下側(cè)的表面壓力分布隨著時(shí)間的變化產(chǎn)生巨大的變化，表明乒乓球在運(yùn)動(dòng)過程中其受到的空氣阻力及升力發(fā)生變化的，并與圖12及相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究相吻合。

不同溫度具有不同的密度以及粘性對(duì)乒乓球的作用能在軌跡特別是碰撞后的軌跡中明顯表現(xiàn)出來，20℃和30℃兩者在碰撞后z軸方向旋轉(zhuǎn)速度突變量相當(dāng)，但因密度便顯出很大差別進(jìn)而影響其碰撞后軌跡。在空氣動(dòng)力粘度方面粘性隨溫度升高而增大，并能在旋轉(zhuǎn)速度中表現(xiàn)出來:在x軸方向溫度小的即動(dòng)力粘度小的總是先出現(xiàn)變化的，這也就是0℃運(yùn)動(dòng)參數(shù)特別其旋轉(zhuǎn)速度變化相對(duì)于15℃和30℃較為提前，而后兩者空氣粘度相對(duì)差別不大也就是后兩者變化具有相似性。

圖14 乒乓球xoy平面速度場(chǎng)Figure14 Velocity Field inxoyFace of Table Tennis

圖15 不同時(shí)刻下乒乓球表面壓力圖（xoy平面）Figure15 Pressure in Face of Table Tennis at Different Time（xoy Face）

5 結(jié)論與建議

5.1 結(jié)論

采用格子Boltzmann方法的數(shù)值算法，不同環(huán)境溫度對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，獲取乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡、速度及旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，并分析乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中速度場(chǎng)、渦量場(chǎng)以及乒乓球表面壓力分布，得到如下結(jié)論。

（1）環(huán)境溫度影響空氣粘性及密度；乒乓球在運(yùn)動(dòng)過程中因空氣粘性作用其旋轉(zhuǎn)速度及運(yùn)動(dòng)速度產(chǎn)生巨大的變化，進(jìn)而影響運(yùn)動(dòng)過程中乒乓球氣動(dòng)力系數(shù)的變化，由乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中受力分析可知?dú)鈩?dòng)力系數(shù)的變化會(huì)導(dǎo)致乒乓球在運(yùn)動(dòng)過程中受力是發(fā)生變化的。因此，運(yùn)動(dòng)學(xué)方法不能過于簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)過程的受力作用，需考慮空氣粘性作用。

（2）不同溫度對(duì)乒乓球軌跡存在很大的影響。以乒乓球半徑作為參考，在長(zhǎng)度方向上，0℃與15℃偏差為41.75%，15℃與30℃偏差為72.15%；在高度方向，0℃與15℃偏差為40.8%，15℃與30℃偏差為20.6%；在寬度方向，0℃與15℃偏差為19.53%，15℃與30℃偏差為4.85%.

（3）不同溫度對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)參數(shù)具有很大的影響。0℃條件下其三個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)速度與15℃和30℃有著很大的差別，而15℃與30℃在個(gè)別的方向上或與桌面發(fā)生碰撞才產(chǎn)生較大差別。

（4）乒乓球的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)及其表面壓力分布隨時(shí)間變化，對(duì)乒乓球的作用效果與乒乓球運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化及軌跡偏轉(zhuǎn)相吻合。研究乒乓球運(yùn)動(dòng)過程中流場(chǎng)細(xì)微結(jié)構(gòu)的變化探究乒乓球流動(dòng)機(jī)理，為乒乓球運(yùn)動(dòng)提供一定的理論指導(dǎo)。

5.2 建議

基于以上研究，提出以下建議:（1）乒乓球與桌面碰撞時(shí)間短，但碰撞后運(yùn)動(dòng)參數(shù)運(yùn)動(dòng)軌跡都有很大的變化，故球員要具有很敏捷的判斷及擊球反應(yīng)；（2）就本文乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡而言，當(dāng)環(huán)境溫度較高，球員應(yīng)當(dāng)對(duì)于擊球點(diǎn)做出稍向下移動(dòng)且稍向右移動(dòng)的微小動(dòng)作；當(dāng)環(huán)境溫度較低時(shí)，球員應(yīng)當(dāng)對(duì)擊球點(diǎn)做出稍向上移動(dòng)且一定的右移動(dòng)的較小動(dòng)作。

[1]余萬(wàn)，李春，朱玲，等.不同比賽氣候條件對(duì)乒乓球飛行軌跡影響研究[J].運(yùn)動(dòng)，2016，138（10）:23-24.

[2]竇遠(yuǎn)行.中國(guó)乒乓球隊(duì)歷屆奧運(yùn)戰(zhàn)績(jī):里約第5次包攬金牌[EB/OL].（2016-08-18）[2016-12-17]http://news.sohu.com/20160818/n464841 590.shtml.

[3]曹犇，雷正方.中國(guó)乒乓球賽事產(chǎn)業(yè)化發(fā)展前景規(guī)劃[J].西安體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，34（3）:295-299.

[4]余萬(wàn)，李春，任杰，等.基于計(jì)算流體力學(xué)方法的乒乓球軌跡仿真[J].上海體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，41（3）:89-94.

[5]唐建軍.乒乓球技術(shù)學(xué)習(xí):理論解釋與實(shí)際運(yùn)用[J].北京體育大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29（2）:259-261.

[6]虞麗娟，張輝，凌培亮.乒乓球比賽技戰(zhàn)術(shù)分析的系統(tǒng)研究與應(yīng)用[J].上海體育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，32（6）:39-43.

[7]魏利婕，史桂蘭.乒乓球削球打法的現(xiàn)狀與持續(xù)發(fā)展的可行性研究[J].北京體育大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29（12）:1709-1711.

[8]宋亞炳，王偉強(qiáng)，劉建進(jìn)，等.競(jìng)賽教學(xué)模式在乒乓球選項(xiàng)教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)研究[J].體育學(xué)刊，2014，21（2）:90-94.

[9]楊華，關(guān)志明.基于ODE的乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡仿真研究[J].計(jì)算機(jī)仿真，2011，28（9）:230-233.

[10]章逸豐，熊蓉.乒乓球機(jī)器人的視覺伺服系統(tǒng)[J].中國(guó)科學(xué):信息科學(xué)，2012，42（9）:1115-1129.

[11]王奇志，楊曉曉.乒乓球軌跡預(yù)測(cè)的研究與仿真[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2013，35（2）:164-169.

[12]NAKASHIMA A，KOBAYASHI Y，OGAMA Y，et al.Modeling of Re?bound Phenomenon between Ball and Racket Rubber with Spinning Ef?fect in ICCAS-SICE 2009-ICROS-SICE International Joint Confer?ence[C].Japan:Fukuoka，2009:2295-2300

[13]MANIN L，POGGI M，HAVARD N.Vibrations of table tennis racket composite wood blades:modeling and experiments[J].Procedia Engi?neering，2012，34（2）:694-699.

[14]KUI OU，Patrice Castonguay，Antony Jameson.Computational Sports Aerodynamics of a Moving Sphere:Simulating a Ping Pong Ball in Free Flight in AIAA Applied Aerodynamics Conference[C].Hawaii:HEHTAulu，2011:1-16.

[15]MEHTA R D.Aerodynamics of sports balls[J].Annual Review of Fluid Mechanics，1985，17（1）:151-189.

[16]THE INTERNATIONAL TABLE TENNIS FEDERATION.ITTF Hand?book 2011/2012[EB/OL].（2011-12-25）[2016-12-17]http://www.ittf.com/ittf_handbook/ittf_hb.html.

[17]THE INTERNATIONAL TABLE TENNIS FEDERATION.ITTF Tech?nical Leaflet T1:The Table[EB/OL].（2013-05-12）[2016-12-17]http://ittf.com/stories/pictures/T1_The_Table_BoD2013.pdf.

[18]王正倫.教你打乒乓球[M].南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[19]MEININGER R C.ICAR 101[J].Rock Products，2004，（10）:16-16.

[20]BUTLER AMES.Whirling Spools Lift This Plane[N/OL].https://books.google.com/books?id=xSgDAAAAMBAJ&pg=PA26&dq=Popular+Sci?ence+1931+plane#v=onepage&q&f=false，2016-12-17/1930-09-17

[21]G0TTSCJALK M J.Self-steering axle suspension system having a rota?ry stabilizer:US，US7360773[P]:2008-05-13.http://www.google.com/patents/US7360773

[22]龔志斌，李杰，張輝.旋轉(zhuǎn)圓柱對(duì)翼型氣動(dòng)性能特性影響的數(shù)值模擬研究[J].空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，33（2）:254-258.

[23]陳東陽(yáng)，LAITH K.ABBS，芮筱亭，等.結(jié)構(gòu)誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸氣動(dòng)特性影響的數(shù)值模擬[J].空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2014，32（5）:705-710.

[24]SARAFIAN H.Impact of the Drag Force and the Magnus Effect on the Trajectory of a Baseball[J].World Journal of Mechanics，2015，05（4）:49-58.

[25]郭照立.格子Boltzmann方法的原理及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2009.

[26]BHATNAGAR P L，GROSS E P，KROOK M.A Model for Collision Processes in Gases.I.Small Amplitude Processes in Charged and Neu?tral One-Component Systems[J].Physical Review，1954，94（3）:511-525.

[27]何雅玲，李慶，王勇，等.格子Boltzmann方法的工程熱物理應(yīng)用[J].科學(xué)通報(bào)，2009，（18）:2638-2656.

[28]QIAN Y H，D'HUMIERES D，LALLEMAND P.Lattice BGK Models for Navier-Stokes Equation[J].Epl，1992，17（6BIS）:479.

[29]冉政，陳建.關(guān)于格子Boltzmann方法的幾個(gè)問題（I）[J].空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，2016，34（3）:334-339.

[30]張良奇.格子Boltzmann方法基礎(chǔ)理論研究及其在不可壓縮流動(dòng)中的應(yīng)用[D].重慶:重慶大學(xué)，2014:15-84.

[31]楊世銘，陶文銓.傳熱學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2006.

[32]TANAKA K，F(xiàn)UKUIU T，Miyazaki T，et al.Aerodynamic Properties of a Table Tennis Ball[J].Journal of Japan Society of Fluid Mechanics，2014，33（1）:37-45.