陸春桃 覃州

【摘 要】利用Excel工具、回歸軟件對(duì)電池剩余放電時(shí)間進(jìn)行討論，從經(jīng)濟(jì)、有效等方面出發(fā)，通過(guò)函數(shù)擬合、數(shù)據(jù)篩選、作圖等，構(gòu)建出擬合精度高、可決系數(shù)高的放電曲線的初等模型，進(jìn)而對(duì)電池剩余放電時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。先應(yīng)用Excel工具對(duì)給定的9組數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合，得出了9條放電曲線，接著根據(jù)MRE定義算出9條放電曲線的平均相對(duì)誤差，并以此求出當(dāng)電壓為9.8 V時(shí)，30 A、40 A、50 A、60 A、70 A的剩余放電時(shí)間。接著應(yīng)用同樣方法建立了20～100 A任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的數(shù)學(xué)模型，并用MRE評(píng)估模型的精度、表格和圖形給出電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電曲線。最后根據(jù)模型算出在衰減狀態(tài)3下的放電曲線及其在最低保護(hù)電壓9 V時(shí)的剩余的放電時(shí)間。

【關(guān)鍵詞】放電曲線；平均相對(duì)誤差；擬合函數(shù)；Excel工具；回歸軟件

【中圖分類號(hào)】TM912 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-0688（2017）06-0042-05

1 問(wèn)題提出

2016年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題給出了電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)問(wèn)題。在鉛酸電池以恒定電流強(qiáng)度放電過(guò)程中，電壓隨放電時(shí)間單調(diào)下降，直到額定的最低保護(hù)電壓（Um，2016年高教社全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題中為9 V）。從充滿電開(kāi)始放電，電壓隨時(shí)間變化的關(guān)系稱為放電曲線。電池在當(dāng)前負(fù)荷下還能供電多長(zhǎng)時(shí)間（即以當(dāng)前電流強(qiáng)度放電到Um的剩余放電時(shí)間）是必須回答的問(wèn)題。電池通過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會(huì)發(fā)生衰減。

根據(jù)高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1（同一生產(chǎn)批次電池出廠時(shí)以不同電流強(qiáng)度放電測(cè)試的完整放電曲線的采樣數(shù)據(jù)）用初等函數(shù)表示各放電曲線，并分別給出各放電曲線的平均相對(duì)誤差（MRE）。并在新電池使用中，分別以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強(qiáng)度放電，測(cè)得電壓都為9.8 V時(shí)，根據(jù)模型，算出電池的剩余放電時(shí)間。同步建立以20～100 A任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線的數(shù)學(xué)模型，并用MRE評(píng)估模型的精度、用表格和圖形給出電流強(qiáng)度為55 A時(shí)的放電曲線。

再由高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件2（同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開(kāi)始放電的記錄數(shù)據(jù)），預(yù)測(cè)出高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件2中電池衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

2 問(wèn)題的假設(shè)

（1）電池與金屬容器不直接接觸，不會(huì)引起冒煙或燃燒。

（2）使用指定的充電器在指定的條件下充電。

（3）電池沒(méi)有安裝在密封的設(shè)備里。

（4）不在充滿灰塵的地方使用電池，不將電池放在可能被水淹或有產(chǎn)生火花設(shè)備的地方。

（5）確保在電池和設(shè)備之間和周圍布置有充分的絕緣措施。

（6）電池在指定的范圍內(nèi)使用。

3 符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)說(shuō)明見(jiàn)表1。

4 問(wèn)題分析

本文是要解決如何預(yù)測(cè)電池剩余放電時(shí)間的問(wèn)題。

針對(duì)問(wèn)題一，首先應(yīng)用Excel數(shù)據(jù)工具中的線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及多項(xiàng)式分別對(duì)9組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，比較它們的可決系數(shù)后發(fā)現(xiàn)：用多項(xiàng)式中的二次函數(shù)擬合其可決系數(shù)較高，因此選擇多項(xiàng)式中的二次函數(shù)進(jìn)行擬合，最終擬合出9條放電曲線的函數(shù)圖像，并獲得各放電函數(shù)方程。然后對(duì)高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1的每組數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，讓每組數(shù)據(jù)的差值控制在±0.005之內(nèi)，然后再根據(jù)“最大間隔”條件，分別從9個(gè)電流對(duì)應(yīng)的電壓值中篩選出231個(gè)樣本點(diǎn)，之后計(jì)算平均相對(duì)誤差MRE后，根據(jù)所得模型計(jì)算出9.8 V時(shí)電池的放電時(shí)間，再用高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1各電流對(duì)應(yīng)的最低保護(hù)電壓對(duì)應(yīng)的放電時(shí)間減去9.8 V的放電時(shí)間后，分別得到30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強(qiáng)度電池的剩余放電時(shí)間。

針對(duì)問(wèn)題二，與問(wèn)題一的解法類似，由問(wèn)題一得出的結(jié)論對(duì)每個(gè)電流數(shù)篩選出來(lái)的231個(gè)點(diǎn)重新用Excel工具進(jìn)行擬合，得出新的各放電函數(shù)方程，再利用電流數(shù)與ai（I），bi（I），ci（I）的數(shù)據(jù)組成3組數(shù)據(jù)，應(yīng)用回歸軟件進(jìn)行擬合，確定3個(gè)待定系數(shù)方程，得出任一恒定電流的放電曲線數(shù)學(xué)模型，并用MRE對(duì)模型進(jìn)行精度評(píng)估，并以此繪制出55 A對(duì)應(yīng)的表格、圖形和放電曲線。

針對(duì)問(wèn)題三，先根據(jù)高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件2的電壓、衰減狀態(tài)3的數(shù)據(jù)，應(yīng)用Excel工具進(jìn)行擬合，得出其對(duì)應(yīng)的衰減曲線方程，將最低保護(hù)電壓9 V帶入，得出放電時(shí)間，減去已經(jīng)放電的時(shí)間596.2 min，求得預(yù)測(cè)出衰減狀態(tài)3的剩余放電時(shí)間。

5 模型的建立和求解

5.1 問(wèn)題一

第一步，選擇高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題附件1給定的9個(gè)電流所對(duì)應(yīng)的電壓、放電時(shí)間為數(shù)據(jù)源，應(yīng)用Excel工具作出9組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，再選擇相應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行二次項(xiàng)系數(shù)擬合，得出9條對(duì)應(yīng)的圖形（如圖1所示）。

然后我們對(duì)圖1進(jìn)行列表（見(jiàn)表2）。

應(yīng)用多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)擬合曲線時(shí)，其可決系數(shù)R2>0.95，接近1，可見(jiàn)擬合度很好，因此選擇運(yùn)用二次項(xiàng)系數(shù)函數(shù)方程表示各放電曲線。9條放電曲線方程（見(jiàn)表2）。

第二步，利用MATLAB軟件求出9個(gè)放電曲線對(duì)應(yīng)的反函數(shù)，再利用Excel工具算出9條放電曲線的已放電時(shí)間tij，計(jì)算|Tij-tij|后進(jìn)行數(shù)據(jù)篩選，然后根據(jù)題目給的附件1中MRE定義，先篩選出2個(gè)時(shí)間點(diǎn)的差值，基本步驟如下：首先計(jì)算tij-ti（j-i）；將不符合-0.005≤tij-ti（j-i）≤0.005條件的點(diǎn)刪去；再給最大定義中“最大間隔”將累計(jì)在±0.005之間的刪去；從最低保護(hù)電壓9 V開(kāi)始向上找231個(gè)點(diǎn)（見(jiàn)表3）。

通過(guò)以上步驟，篩選出20 A、30 A、40 A、50 A、60 A和80 A 6個(gè)電流對(duì)應(yīng)的231個(gè)點(diǎn)，70 A和100 A不到231個(gè)點(diǎn)，再次篩選得出70 A符合條件的點(diǎn)為218個(gè)、100 A為194個(gè)點(diǎn)，根據(jù)定義可得平均相對(duì)誤差公式：

■（1）

再用Excel工具算出9條放電曲線的平均相對(duì)誤差，結(jié)果見(jiàn)表4。

第三步，分別把9.8 V帶入30 A、40 A、50 A、60 A、70 A各個(gè)電流強(qiáng)度的反函數(shù)中進(jìn)行計(jì)算，算出5個(gè)放電時(shí)間 ti（i=1，2，…，5），列出附件1給定的5個(gè)放電曲線在9 V的時(shí)間Ti（i=1，2，…，5），得出5個(gè)放電曲線的剩余放電時(shí)間計(jì)算公式如下：

di=Ti-ti（i=1，2，…，5）（2）

將具體數(shù)據(jù)帶入公式（2），得出5個(gè)放電曲線的剩余放電時(shí)間（見(jiàn)表5）。

5.2 問(wèn)題二

第一步，根據(jù)問(wèn)題一的結(jié)論，以9個(gè)電流經(jīng)過(guò)篩選出來(lái)的231個(gè)樣本點(diǎn)為數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件重新進(jìn)行擬合，得出9個(gè)新的放電方程（見(jiàn)表6）。

第二步，以9個(gè)電流值與它們所對(duì)應(yīng)的3組系數(shù)為數(shù)據(jù)，應(yīng)用回歸軟件進(jìn)行擬合，得出以下公式：

Y=（-2.75×10-7+6.8×10-9I-2.21×10-10I2）t2

+（0.001 23-3.52×10-5I-1.43×10-7I2）t

+（8.91+0.047 8I-0.000 35I2）t

（20 A≤I≤100 A，I∈Z）

第三步：同理問(wèn)題一中的平均相對(duì)誤差計(jì)算公式：■，得MRE（見(jiàn)表7）。

由表7可以看出，數(shù)學(xué)模型的MRE非常小，說(shuō)明經(jīng)此模型計(jì)算出的數(shù)值與題目所給的數(shù)據(jù)相差較小，精度很高?？梢砸源四Ｐ蜑榛A(chǔ)，建立20～100 A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時(shí)的放電曲線。

第四步，將55 A帶入公式（2），得出其放電曲線如下：

Z=-0.516 147 133 881 57×10-6t2

-0.821 629 192 877 413×10-3t

+10.454 389 391 9107

結(jié)合時(shí)間增加2 min的條件，利用Excel的計(jì)算工具，算出其對(duì)應(yīng)的電壓值（見(jiàn)表8），再對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出圖形（如圖2所示）。

5.3 問(wèn)題三

第一步，根據(jù)附件二所給數(shù)據(jù)，可以利用Excel工作表繪制出該規(guī)格電池在衰減狀態(tài)3下電壓與放電時(shí)間的放電函數(shù)曲線（如圖3所示）。

第二步，再利用Excel工作表，擬合出電池在衰減狀態(tài)3下的放電擬合曲線，并得到函數(shù)表達(dá)式：

g=-5.161 471 338 815 7×10-7t2

-82 162 919 287 741 300×10-4t

+10.454 389 391 910 700 000 00

該擬合曲線的可決系數(shù)R2=0.996 529 794 84>0.995，接近1，可見(jiàn)擬合度很好。擬合曲線如圖4所示。

第三步，利用MATLAB軟件，求出擬合曲線函數(shù)表達(dá)式的反函數(shù)（如圖5所示）。

第四步，計(jì)算出當(dāng)電池電壓為9 V時(shí)，衰減狀態(tài)3的放電時(shí)間（如圖6所示）。

第五步，用在衰減狀態(tài)3下，計(jì)算出的9 V的放電時(shí)間減去數(shù)據(jù)給出的最大放電時(shí)間得到剩余放電時(shí)間為Q=1 061.836-596.2=465.6（min）。

6 結(jié)果分析

由模型重新合算的9條放電曲線可決系數(shù)已原來(lái)的可決系數(shù)進(jìn)行比較（見(jiàn)表9）。

從表9中可以看出，根據(jù)新的可決系數(shù)比原可決系數(shù)要高。

7 模型的評(píng)價(jià)

本文應(yīng)用了Excel表格工具、MATLAB軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合、數(shù)據(jù)篩選、作圖等，構(gòu)建出放電曲線的初等模型，準(zhǔn)確性較好，擬合程度高，通用性強(qiáng)，簡(jiǎn)單易懂，能較好地解決題目的問(wèn)題。當(dāng)然，篩選時(shí)數(shù)據(jù)較多，得到的值存在一定的誤差，因此本模型的分析方法仍有待提高和改進(jìn)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]謝金星，薛毅.LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社2005.

[3]胡劍涼，孫曉君.MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[責(zé)任編輯：鐘聲賢]