江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校 沈 奕

應(yīng)用反例，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校 沈 奕

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生們因?yàn)閷?duì)知識(shí)理解有偏差，或者因?yàn)槠渌蚨霈F(xiàn)多種多樣的問(wèn)題。因此，老師可以將學(xué)生們的這種“錯(cuò)誤”巧妙地融合到反例中，加強(qiáng)學(xué)生們對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)度，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力。文章從多個(gè)角度，縝密思維；辯證真假，靈活思維；透析概念，抽象思維；學(xué)以致用，創(chuàng)新思維四個(gè)方面，闡述了如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；反例；思維能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重多方面培養(yǎng)學(xué)生們的思維能力。初中數(shù)學(xué)是鍛煉學(xué)生們正確理解數(shù)學(xué)思維并靈活加以應(yīng)用的重要階段。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生們因?yàn)閷?duì)知識(shí)理解有偏差，或者因?yàn)槠渌蚨霈F(xiàn)多種多樣的問(wèn)題。因此，我在教學(xué)過(guò)程中，將學(xué)生們的這種“錯(cuò)誤”巧妙地融合到反例中，加強(qiáng)學(xué)生們對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力。

一、多個(gè)角度，縝密思維

在眾多人的認(rèn)識(shí)當(dāng)中，都認(rèn)為研究數(shù)學(xué)的人們思維都十分縝密，的確如此，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握確實(shí)需要我們有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和縝密的思維，但是在日常的練習(xí)或考試中，學(xué)生們就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些錯(cuò)誤的出現(xiàn)往往并不是因?yàn)樽约翰粫?huì)做，而是因?yàn)樽约涸诮忸}的過(guò)程中太馬虎大意，這就對(duì)我們?cè)谒伎紗?wèn)題時(shí)的邏輯思維提出了更高的要求。反例應(yīng)用，使學(xué)生們可以從多個(gè)角度看問(wèn)題，很好地提升了學(xué)生們思維的嚴(yán)密性。

反例的應(yīng)用需要學(xué)生們掌握好知識(shí)的脈絡(luò)，有足夠好的知識(shí)梳理能力。它不僅給予了學(xué)生們從另外的角度理解知識(shí)的一種方法，還對(duì)學(xué)生們的思維能力提出了更高的要求，巧妙應(yīng)用反例，有利于縝密數(shù)學(xué)思維。

二、辯證真假，靈活思維

在數(shù)學(xué)的證明題中，我們習(xí)慣的思維是從題目的正面入手，根據(jù)題目的已知條件從正面解決問(wèn)題，但是有時(shí)候我們會(huì)發(fā)現(xiàn)從正面解決問(wèn)題會(huì)很難，在這個(gè)時(shí)候不妨試試應(yīng)用反例進(jìn)行證明。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有許多時(shí)候應(yīng)用反例解決問(wèn)題反倒使我們的思維更加靈活。

如在數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)真假命題的判斷，利用反例，就可以很好地解決此類問(wèn)題。例如：已知兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b不等于0，如果a＜b，那么1/a＞1/b。學(xué)生們代入了幾組數(shù)據(jù)，結(jié)果驗(yàn)證這個(gè)命題是正確的。我就為學(xué)生們列舉了其中的一個(gè)反例：假如a=-2，b=1，代入其中時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)1/a＞1/b這個(gè)命題是假的，一個(gè)反例就可以把這個(gè)問(wèn)題解決了。學(xué)生們紛紛詢問(wèn)反例應(yīng)當(dāng)如何給出，我就帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步的分析：由于1/a-1/b=（b-a）/ab，從題中我們已知a＜b，所以可以知道只有在ab＞0時(shí)，1/a-1/b才大于0，命題才成立，所以反例就應(yīng)該在ab＜0的范圍內(nèi)去尋找，我們又已知a＜b，所以在這個(gè)范圍中找反例就好了。這樣靈活地進(jìn)行分析總結(jié)，很大程度地降低了做題的盲目性，提高了做題的效率。

運(yùn)用反例其實(shí)是一種很好的逆向思維能力，當(dāng)按照常規(guī)的思維進(jìn)行求解比較復(fù)雜時(shí)，需要學(xué)生們學(xué)會(huì)換位思考，應(yīng)用逆向思維進(jìn)行求解，往往會(huì)“柳暗花明又一村”。

三、透析概念，抽象思維

大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都比較抽象，如一元二次方程、無(wú)理數(shù)、椎體等，如果單單拿出來(lái)為學(xué)生們講解其概念，學(xué)生們聽起來(lái)就會(huì)感覺迷茫，再加上有的概念不僅抽象，還十分相似，這就會(huì)使學(xué)生們對(duì)知識(shí)的應(yīng)用產(chǎn)生混淆，更加打擊學(xué)生們學(xué)習(xí)的積極性。因此，在教學(xué)中應(yīng)用反例，幫助學(xué)生們對(duì)一些易混概念進(jìn)行比較學(xué)習(xí)，使學(xué)生們更好地抓住知識(shí)的本質(zhì)，提高學(xué)習(xí)興趣。

有時(shí)候?qū)W生們對(duì)概念的理解常常步入誤區(qū)，例如：無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)為無(wú)理數(shù)，學(xué)生們就會(huì)經(jīng)常將其誤解為：無(wú)限小數(shù)或者是帶有根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。為了使學(xué)生們對(duì)概念加以區(qū)分，我為學(xué)生們舉了以下反例，如：2.13131313……，這樣的無(wú)限循環(huán)小數(shù)便不是無(wú)理數(shù)。還有當(dāng)根號(hào)內(nèi)為一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，也不是無(wú)理數(shù)。學(xué)生們?cè)谝院蠼忸}時(shí)，就能將其與反例進(jìn)行對(duì)比，減少了失誤。又如：分式方程的概念為：分母里含有未知數(shù)的方程叫作分式方程。有時(shí)候?qū)W生們對(duì)一些分母里含有參數(shù)的方程也會(huì)誤以為是分式方程，我就為學(xué)生們列舉了一個(gè)關(guān)于x的方程：（3x+6）/b=3，雖然分母里含有b，但是其不是未知數(shù)，因此不是分式方程。還有命題：如果一個(gè)多邊形的每條邊都相等，那么它是正多邊形。如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)角都相等，那么他也是正多邊形。當(dāng)我們?cè)谧鲱}時(shí)想到菱形和矩形這兩個(gè)反例，就能很容易判斷出該命題為假命題了。

應(yīng)用反例有助于學(xué)生們對(duì)易混知識(shí)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，區(qū)別其中的差異，更加理解知識(shí)之間的本質(zhì)和聯(lián)系，在教學(xué)的過(guò)程中達(dá)到使學(xué)生們不僅“知其然”，還要“知其所以然”的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生們簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地區(qū)分概念，輕輕松松地掌握知識(shí)。

四、學(xué)以致用，創(chuàng)新思維

荀子曰：“不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也?！逼鋵?shí)學(xué)習(xí)知識(shí)也是如此，學(xué)習(xí)知識(shí)的目的就是應(yīng)用于實(shí)際的生活當(dāng)中，解決實(shí)際的生活問(wèn)題。在教學(xué)的過(guò)程中恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例來(lái)激發(fā)學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，有助于提高學(xué)生們的創(chuàng)新思維能力。

在正面的教學(xué)過(guò)程中選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)融入一些反例，有助于學(xué)生們打破常規(guī)的思維，更加深入地探究知識(shí)的應(yīng)用，從而學(xué)生們不僅理解了特殊的知識(shí)點(diǎn)，還懂得應(yīng)當(dāng)如何應(yīng)用知識(shí)，使學(xué)生們體會(huì)到知識(shí)的價(jià)值。

數(shù)學(xué)是一門十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，也是一門對(duì)思維能力有很高要求的學(xué)科。在我的教學(xué)中，通過(guò)多個(gè)角度、辯證真假、透析概念、學(xué)以致用的方法，巧妙引入反例，使學(xué)生們?cè)谡J(rèn)識(shí)上發(fā)生由量變到質(zhì)變的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生們的思維更加具有縝密性、靈活性、抽象性和創(chuàng)新性。

[1]盛保和．淺議初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J]．教育教學(xué)論壇，2013（06）：96-97．

[2]李濤．初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提升學(xué)生的思維能力[J]．中國(guó)教育技術(shù)裝備，2016（05）：126-127．

[3]仲崇猛．在反例中求正解——談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)反例的應(yīng)用[J]．黑龍江教育，2015（02）：53-54．