■江西省贛州中學(xué)高二(3)班 楊昊川

細(xì)品復(fù)數(shù)的“交匯性”

■江西省贛州中學(xué)高二(3)班 楊昊川

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的選修內(nèi)容,它能與其他數(shù)學(xué)知識自然交匯,使數(shù)學(xué)問題的情境新穎別致,自然流暢,令人賞心悅目,下面舉例說明。

一、復(fù)數(shù)與簡易邏輯的交匯

已知i為虛數(shù)單位,a∈R,復(fù)數(shù)z =(a-2i)(1+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為M,則“a=1”是“點(diǎn)M在第四象限”的( )。

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由題知z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,其對應(yīng)的點(diǎn)M(a+2,a-2)位于第四象限的充要條件為a＜2。故a=1是點(diǎn)M位于第四象限的充分不必要條件。

點(diǎn)評:本題將復(fù)數(shù)運(yùn)算與簡易邏輯中的充要條件的判斷綜合在一起,自然貼切,給人耳目一新之感。

二、復(fù)數(shù)與函數(shù)的交匯

則f(f(1-i))等于____。

點(diǎn)評:本題將分段函數(shù)的求值問題與復(fù)數(shù)運(yùn)算綜合在一起,具有一定的難度。

三、復(fù)數(shù)與數(shù)列的交匯

點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算與虛數(shù)單位的冪的周期性。

四、復(fù)數(shù)與三角的交匯

實(shí)數(shù)x,y,θ有以下關(guān)系:x+yi=3+5co sθ+i(-4+5s i nθ),則x2+y2的最大值為____。

解析：由復(fù)數(shù)相等得,x=3+5co sθ,y =-4+5s i nθ,則x2+y2=(3+5co sθ)2+(-4+5s i nθ)2=50-40s i nθ+30co sθ= 50-50s i n(θ-φ)≤100。故x2+y2的最大值為100。

點(diǎn)評:本題將復(fù)數(shù)與三角函數(shù)知識結(jié)合在一起,主要考查復(fù)數(shù)相等的概念和三角函數(shù)求最值的方法,其中復(fù)數(shù)相等僅起“媒介”和“傳接”的作用。

五、復(fù)數(shù)與解析幾何的交匯

已知關(guān)于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2x y+(x-y)i=0(x,y∈R)。當(dāng)方程有實(shí)根時(shí),點(diǎn)(x,y)的軌跡方程是____。

解析：設(shè)實(shí)根為t,則t2+(2+i)t+2x y +(x-y)i=0(x,y∈R)。

即(t2+2t+2x y)+(t+x-y)i=0。

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得:

由②得t=y-x,代入①得(y-x)2+2(y-x)+2x y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2為所求的點(diǎn)的軌跡方程。

點(diǎn)評:這是一道復(fù)數(shù)與解析幾何相結(jié)合的問題,當(dāng)我們“化虛為實(shí)”以后,把一元方程轉(zhuǎn)化為二元方程組,消去參數(shù)t即得到曲線的軌跡方程。

(責(zé)任編輯 徐利杰)