■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 郭家慧(指導(dǎo)老師:孟召臣)

淺談復(fù)數(shù)模的應(yīng)用

■河南師范大學(xué)附屬中學(xué) 郭家慧(指導(dǎo)老師:孟召臣)

復(fù)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中涉及面比較廣,知識(shí)跨度比較大,能與代數(shù)、三角、解析幾何等知識(shí)融為一體。特別是復(fù)數(shù)的模,因其兼具絕對(duì)值、向量的模以及非負(fù)實(shí)數(shù)等多重身份,是代數(shù)求值、研究圖形變換、探求軌跡方程的有力武器。下面結(jié)合一些具體的實(shí)例淺談一下復(fù)數(shù)模的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

一、利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)速算

點(diǎn)評(píng):如果本例先化簡(jiǎn),再求模,那么運(yùn)算量很大,而充分利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)則可使運(yùn)算過程大大簡(jiǎn)化。

二、利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求軌跡

復(fù)數(shù)模的幾何意義:若z=a+bi,則z 的幾何意義為復(fù)平面上的點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離。

z-z0表示復(fù)平面內(nèi)z和z0所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離。已知z0=1+i,z-z0=1,z'

=1-iz,若復(fù)數(shù)z'在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為1+iz

P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。

所以z'+1+2i=z'+1,點(diǎn)P的軌跡為連接定點(diǎn)Z1(-1,-2),Z2(-1,0)的線段的中垂線。

點(diǎn)評(píng):本題先通過復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,充分利用z-z0=1這一條件快速簡(jiǎn)化點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所滿足的條件,再結(jié)合復(fù)數(shù)模的幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。

三、利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求最值

已知z =1,求|z-(1+i)|的最大值和最小值。

圖1

解析：|z|=1表示以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓,|z-(1+i)|表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)A (1,1)的距離(如圖1)。由于點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是2,因此圓上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離是2+1,最小距離是2-1,因此|z-(1+i)|min= 2-1,|z-(1+i)|max= 1+2。

點(diǎn)評(píng):如果用代數(shù)法,設(shè)z=x+yi,再用二次函數(shù)去求解就會(huì)非常麻煩,而利用復(fù)數(shù)模的幾何意義可使得本題的結(jié)論變得顯然。

練一練：

(責(zé)任編輯 徐利杰)