石萬凱 徐浪 韓振華 常帥

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044)

復合擺線少齒差行星傳動的嚙合性能分析*

石萬凱 徐浪 韓振華 常帥

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044)

采用幾何特性可調性強的復合擺線作為內齒廓，根據(jù)微分幾何和齒輪嚙合原理,按照少齒差運動規(guī)律,建立嚙合方程以及共軛齒廓方程,并推導了齒輪副的嚙合線、重合度、嚙合界限、根切條件.分析了齒輪副誘導法曲率、壓力角以及齒形調節(jié)系數(shù)對齒輪壓力角的影響，設計并建立了齒輪副三維實體模型,進行了動力學仿真,模擬一定工況下齒輪副運動關系及傳遞效率.結果表明，復合擺線少齒差行星傳動具有多齒嚙合、傳動壓力角小、齒輪副誘導法曲率小、傳動效率高等優(yōu)良的嚙合性能.

復合擺線；少齒差；行星傳動；嚙合原理；嚙合性能

擺線行星傳動具有傳動比大、結構緊湊、承載能力強和傳動效率高等優(yōu)點,廣泛應用于各工業(yè)領域.用作少齒差精密傳動時具有扭轉剛度大、多齒嚙合誤差均化效應好、傳動精度高等優(yōu)良特性,越來越受到重視.國內外不少學者在擺線傳動的理論與應用方面進行了大量研究.Litvin等[1]和Vecchiato等[2]根據(jù)微分幾何和齒輪嚙合原理對擺線針輪嚙合理論、包絡存在條件以及共軛曲面避免奇點條件等進行了研究;Chen等[3]運用包絡法建立了擺線針輪行星傳動正/負一齒差、二齒差、三齒差等典型少齒差行星傳動的共軛嚙合理論體系;Nam等[4]研究了一種梯形齒廓用作少齒差精密傳動時的性能;Hsieh[5]根據(jù)嚙合原理對一種橢圓滾擺線應用于轉子泵進行了研究并和傳統(tǒng)圓擺線轉子泵進行了對比分析;Demenego等[6]對擺線齒輪泵的齒形設計、根切條件和接觸特性進行了研究;Liu等[7]對由擺線和圓弧組合的齒廓做少齒差傳動時的嚙合特性進行了分析;Li[8]對擺線針輪行星傳動齒輪副進行了設計并分析了其強度.陳兵奎等[9]設計了一種拋物線型二次包絡行星減速器.

雖然研究者們針對擺線行星傳動進行了大量研究,但是擺線少齒差行星傳動壓力角、誘導法曲率等嚙合特性改善有限.本研究利用幾何形狀可調性強的復合擺線作為齒廓,建立復合擺線齒輪少齒差行星傳動嚙合理論,分析其傳動特性，進行新型齒廓共軛傳動理論研究,為新型高性能齒輪的實際應用提供理論技術指導,加速其應用進程.

1 復合擺線

(1)

式中,R0為分布圓半徑,Z為齒數(shù),c1為齒高調節(jié)系數(shù),c2為齒形調節(jié)系數(shù),α為復合擺線上點位置參數(shù).R0、c1對復合擺線齒輪副外形尺寸的影響分別與擺線針輪傳動中針齒分布圓半徑、針齒半徑相同.

當取R0=45,Z=16,c1=8,c2=1.4，1.0，0.6，0.2時,求解出復合擺線齒形，如圖1所示.

圖1 復合擺線齒形隨c2的變化

由圖1可知，當復合擺線齒廓其他參數(shù)保持不變時,隨著c2的減小,齒廓由尖陡形逐漸過渡到寬胖形.與普通擺線輪相比,齒形變化范圍廣,具有較明顯的差異.

2 復合擺線行星傳動共軛理論

2.1 嚙合原理及坐標變換

采用運動學法求解復合擺線齒輪的共軛齒廓,通過機構反轉法將復合擺線少齒差傳動系統(tǒng)轉化成定軸傳動.根據(jù)右手法則建立坐標系(見圖2),固定坐標系Sf(xf,yf,zr)、Sp(xp,yp,zp)與箱體固聯(lián),動坐標系S1(x1,y1,z1)、S2(x2,y2,z2)分別與復合擺線內齒輪1、共軛行星齒輪2固聯(lián),軸zp、軸z1和軸zf、軸z2分別與齒輪1、2的中心軸線重合,坐標系S1到坐標系S2、Sp的坐標變換矩陣分別為M21、Mp1.

齒輪副偏心距為a,傳動比為i21,齒數(shù)分別為Z1、Z2,齒輪1分布圓半徑為R01,角速度大小分別為ω1、ω2,方向如圖2所示.初始時刻,坐標系S1和Sp重合，S2和Sf重合,經(jīng)過時間t后,齒輪1、2轉過的角度分別為φ1、φ2.根據(jù)運動關系,可得:

i12=ω1/ω2=Z2/Z1=φ1/φ2=1/i21

(2)

圖2 共軛坐標系

由第1節(jié)可得四階復合擺線齒輪齒廓曲線在坐標系S1中的曲線方程如下:

r1(α)=[x1(α) y1(α) 1]T=

(3)

其中,α∈(0,2).

根據(jù)嚙合原理[11]可得齒輪副共軛嚙合方程:

(4)

(5)

(6)

各式中下標1表示在坐標系S1中.

坐標系S1中齒廓∑1上嚙合點M1到坐標系S2中齒廓∑2上嚙合點M2的坐標變換為

r2(α,φ1)=M21(φ1)r1(α)

(7)

聯(lián)立式(4)、(7)可以求得坐標系S2中齒廓∑2的方程:

(8)

嚙合線是嚙合點在定坐標系中的軌跡.坐標系S1中齒廓∑1上嚙合點M1到坐標系Sp中嚙合線∑m上嚙合點M的坐標變換為

rm(α,φ1)=Mp1(φ1)r1(α)

(9)

聯(lián)立式(4)、(9)可以求得在坐標系Sp中嚙合線∑m的方程：

(10)

取一對復合擺線齒輪副參數(shù)如表1,求解得其復合擺線內齒廓及共軛齒廓如圖3,嚙合線如圖4.

表1 復合擺線少齒差行星傳動齒輪副參數(shù)

Table1Parametersofthecompositecycloidgearsofsmallteethdifferenceplanetarytransmission

R0/mmZ1Z2c1/mmc2/mma/mm45161580．82

圖3 復合擺線內齒廓和共軛齒廓

Fig.3 Composite cycloid tooth profile and the conjugate tooth profile

圖4 嚙合線

如圖4所示,嚙合線近似一個半圓,說明復合擺線齒輪副做少齒差行星傳動時理論條件下有一半齒同時進入嚙合,重合度大,運動傳遞平穩(wěn);同時多齒嚙合,齒輪副嚙合剛度大,傳動強度高,并且具有誤差均化效應,可以應用于少齒差精密傳動領域.

2.2 重合度

根據(jù)齒輪嚙合原理復合擺線少齒差行星傳動的重合度可定義為:復合擺線共軛行星輪齒單側齒面從齒根嚙合到齒頂過程中,同時參與嚙合的齒數(shù)[3].由嚙合線所對應的轉角計算其重合度的公式為

ε=θ1Z1/2

(11)

式中，θ1=Z2ψmax/(Z1-Z2),為嚙合線所對應的復合擺線輪轉角,ψmax為行星輪齒單側齒廓對應圓心角，一齒差時ψmax=/Z2,因此ε=Z1/2.

2.3 嚙合界限

復合擺線齒輪副嚙合過程中內齒輪齒廓曲線上的點并不全部參與嚙合,實際參與嚙合的只有齒頂附近的部分區(qū)域.所以,該段曲線的幾何形狀對齒輪副的傳動性能起主要決定作用.由嚙合方程(式(4))可得復合擺線內齒輪齒廓曲線上嚙合點位置參數(shù)α與其轉角φ1的函數(shù)關系[2]:

α=g(φ1)

(12)

將函數(shù)對φ1求導,

(13)

令g′(φ1)=0，聯(lián)立嚙合方程(式(4)),即可求出g(φ1)在一個齒廓嚙合范圍內的兩個極值點,則可確定復合擺線內齒輪齒廓曲線上實際參與嚙合的曲線段.通過調節(jié)齒形參數(shù)c2，從而改變該段曲線的曲率、開合程度，即可實現(xiàn)對齒輪副傳動性能的改變.

根據(jù)表1中參數(shù),求解出復合擺線齒輪副嚙合界限(見圖5).由圖可知,復合擺線齒輪齒廓曲線上實際進入嚙合的只有齒頂處的一小段,而復合擺線齒形是狹長形,受力易變形,單齒對嚙合剛度小,輪齒齒根彎曲強度低.在不產(chǎn)生齒廓干涉的條件下,相鄰兩齒間齒根用一段圓弧平滑過渡(見圖6),以降低齒高,增大齒輪副嚙合剛度和復合擺線內齒輪齒根彎曲強度,從而改善齒輪副傳動強度,提高齒輪副傳動精度.

圖5 嚙合界限

圖6 齒根圓角過渡復合擺線輪與共軛行星輪

Fig.6 Root filleted composite cycloid gear and conjugate planetary gear

當表1中其他參數(shù)保持不變時,c2分別取1.4、1.0、0.6、0.2時,分別計算出復合擺線齒輪嚙合界限點的位置參數(shù)αmax與c2的關系(見表2),復合擺線嚙合段齒廓位置參數(shù)α隨c2的變化見圖7,齒輪副齒形隨c2變化情況見圖8.

表2 嚙合界限點的展角αmax與c2的關系

Table 2 Relationship between location angleαmaxof the boundary point andc2

c2αmax/radc2αmax/rad1．40．04140．60．03831．00．04030．20．0342

圖7 復合擺線輪嚙合區(qū)域齒廓展角α隨c2的變化

Fig.7 Locating angleαof composite cycloid gear meshing area change along withc2

圖8 齒輪副齒形隨c2的變化

從表2和圖7可以看出,嚙合界限點的位置角αmax隨著c2的減小而減小,復合擺線輪實際參與嚙合的曲線段越來越短，為了減緩齒面磨損，延長保精壽命，c2不宜取太小.在一個齒廓嚙合周期內,復合擺線輪齒廓展角α絕對值從0先增大到αmax，然后減小到0,說明單側齒廓上的點都先后兩次進入嚙合.

由圖8可知,隨著c2的減小,復合擺線輪齒形越來越窄陡,力學性能越來越差,而共軛行星輪齒廓齒厚越來越厚,齒槽越來越窄.因此,c2過大或過小都會使齒厚和齒槽寬不協(xié)調,影響齒輪副綜合力學性能.所以,復合擺線齒輪副應用于少齒差行星傳動時c2取值0.5～1.0為宜.

2.4 根切條件

共軛的齒輪副要實現(xiàn)正確、平穩(wěn)的運動傳遞和良好的傳動性能,只滿足共軛嚙合條件是不夠的.復合擺線共軛齒廓防止根切對于提高齒輪副的壽命、避免齒廓干涉以及共軛齒廓的加工可行性均具有重要意義.假設齒廓∑1是用來加工齒廓∑2的刀具齒面,如齒廓∑2上出現(xiàn)奇點,則該點進入嚙合位置時,沿齒廓∑2運動的速度為零[12].即:

(14)

(15)

將嚙合方程(式(4))對時間t求導可得:

(16)

(17)

其參數(shù)矩陣如下:

(18)

要使方程組有非零解,必須使參數(shù)矩陣A的秩為1,因此可以得出根切函數(shù):

(19)

若Ф=0,則參數(shù)矩陣A的秩為1,方程組(17)有非零解,則齒廓∑2出現(xiàn)了奇點,可能發(fā)生根切,否則齒廓∑2上不會根切.取ω1=1(ω1為非零公因子,取值不影響Ф的符號),根據(jù)表1中參數(shù),計算得根切函數(shù)值如圖9所示.

圖9 根切函數(shù)值

由圖9可知,齒輪副根切函數(shù)值Ф始終大于0,即表明共軛齒廓∑2不存在奇點,齒廓沒有發(fā)生根切.

3 傳動特性

3.1 壓力角

壓力角作為評價齒輪傳動性能好壞的重要參數(shù),對齒輪副幾何尺寸、受力情況以及傳動強度等有著很重要的影響.壓力角是齒廓上點的法線方向與該點線速度方向的夾角(見圖10).如圖所示,齒輪副在M點進入嚙合時,壓力角αg2可由下式計算:

(20)

(21)

圖10 齒輪副壓力角

普通擺線傳動外形尺寸確定時齒廓壓力角也確定了,而復合擺線齒輪副外形尺寸確定時(R0、Z1、c1確定)則可調節(jié)齒形參數(shù)c2來改變齒廓曲線開閉程度以及曲率,從而來改變齒輪壓力角等特性，影響齒輪傳動效果.當表1中其他參數(shù)不變時,齒形參數(shù)c2分別取1.4、1.0、0.6、0.2時,計算出壓力角αg2隨c2變化情況如圖11所示.

由圖11可知，復合擺線共軛齒輪壓力角比普通擺線齒輪壓力角小,壓力角最小值下降幅度最小為16.1%,并且在主要傳力區(qū)域壓力角αg2的值隨著c2的減小而減小,齒輪副傳力性能進一步改善.

3.2 誘導法曲率

誘導法曲率是兩共軛曲面法曲率的差值,表征兩共軛曲面的貼近程度,直接影響齒面摩擦磨損、潤

圖11 壓力角隨c2的變化

(22)

(23)

(24)

(25)

圖12 線接觸兩齒面

圖13 誘導法曲率

4 動力學仿真

4.1 三維實體建模

根據(jù)復合擺線齒輪共軛理論,建立齒輪副三維精確實體模型.文中所分析的復合擺線少齒差行星傳動齒輪副的基本參數(shù)如表 1 所示,齒輪副齒寬為10 mm.計算出齒輪齒形點云數(shù)據(jù),將齒輪齒形點云數(shù)據(jù)導入三維建模軟件中,創(chuàng)建精確的三維實體模型如圖14所示.采用實體模型進行運動仿真,仿真結果顯示齒輪副可以實現(xiàn)連續(xù)無干涉?zhèn)鲃?表明齒廓設計正確.

4.2 動力學仿真

將4.1節(jié)建立的齒輪副和偏心軸按設計幾何形位要求裝配,將裝配體三維模型導入ADAMS中,添加約束,建立復合擺線齒輪副少齒差行星傳動動力學仿真模型(見圖15),模型約束情況如表3所示.

根據(jù)彈性接觸理論,靜態(tài)接觸時法向力F和變形δ關系[14- 15]為

F=Kδ3/2

(26)

式中，K為接觸物體間碰撞剛度,與撞擊物體材料和結構形狀相關.

(27)

其中，

(28)

(a)齒根圓角過渡復合擺線內齒輪

(b)共軛行星齒輪

(c)復合擺線齒輪副

圖15 復合擺線少齒差行星傳動動力學仿真模型

Fig.15 Dynamic simulation model of the composite cycloid small teeth difference planetary transmission system

表3 仿真模型約束情況表

(29)

其中:R1、R2是兩齒輪在碰撞接觸點的曲率半徑(由圖13可知,齒輪副齒廓曲率變化不大,均以其曲率半徑均值作為接觸時曲率半徑)；μ1、μ2、E1、E2分別是兩接觸物體材料泊松比和彈性模量.

ADAMS中用Impact碰撞力函數(shù)模擬動態(tài)接觸力[16]:

F=Kδe+step(δ,0,0,δmax,Cmax)dδ/dt

(30)

式中，碰撞接觸剛度K由式(26)計算,力指數(shù)e由式(26)可得,剛體碰撞阻尼系數(shù)C一般取一個較小的值.

復合擺線輪和共軛齒輪材料為GCr15,彈性模量為2.1×105MPa,泊松比0.3.則可算得復合擺線齒輪副接觸沖擊剛度K=2.27×105N/m3/2,力指數(shù)e為1.5,阻尼系數(shù)C取30N·s/mm,接觸中考慮摩擦力,靜摩擦系數(shù)取0.1,動摩擦系數(shù)取0.05,靜態(tài)阻力滑移速度取0.1mm/s,動態(tài)阻力轉換速度取10mm/s[16].

給偏心軸施加9 000°/s的恒定角速度;給共軛行星齒輪施加7.5×104N·mm的恒定扭矩.仿真步數(shù)取4.0×103,時間取0.04s.得到仿真結果如圖16-19所示.

圖16是齒輪副某一瞬時的仿真受力情況，可以看出在該瞬時有8對齒間有作用力，半數(shù)齒參與嚙合，重合度大,與理論計算一致.

根據(jù)少齒差行星傳動原理,在偏心軸輸入轉速為9 000 °/s時,共軛行星輪理論輸出轉速應為600°/s.

由圖17可知,行星輪輸出轉速在理論轉速上下小幅波動,其平均值為599.99 °/s,與理論值誤差為0.00 17%.偏心軸理論輸入轉矩應為5 000N·mm.

由圖18可知,偏心軸輸入轉矩存在一定的波動,其平均值為5 390.20N·mm,與理論值誤差為7.8%.由效率公式η=Toutnout/(Tinnin)求得齒輪副的傳動效率為 92.8%.

(a)全局視圖

(b)局部放大視圖

圖17 共軛行星輪輸出轉速

圖18 偏心軸輸入扭矩

圖19 齒輪副動態(tài)接觸力

圖19為齒輪副動態(tài)接觸力,由圖可以看出碰撞力呈周期性變化,周期約為0.002 5 s,與復合擺線輪嚙合頻率相對應.

5 結論

(1)復合擺線內齒輪上只有一段齒廓參與實際嚙合,并且參與嚙合的齒廓段長度隨著c2的減小而減小;共軛行星輪壓力角比相同外形尺寸的普通擺線輪壓力角小,并且通過調節(jié)齒形參數(shù)c2,可進一步減小齒廓主要傳動區(qū)域壓力角,提高傳動性能;復合擺線齒輪副誘導法曲率小,承載能力和潤滑特性好.

(2)復合擺線齒輪副作少齒差行星傳動時存在多齒嚙合特性,重合度大,運動傳遞平穩(wěn),具有誤差均化效應,傳動精度好,并且具有較高的傳遞效率.

(3)復合擺線齒輪副應用于精密行星傳動時,具備優(yōu)良的傳動性能,具有很好的實用開發(fā)潛力.文中研究對復合擺線齒輪的實際應用具有理論指導意義.

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Analysis of Meshing Properties of Composite Cycloid Planetary Driving with Small Teeth Difference

SHIWan-kaiXULangHANZhen-huaCHANGShuai

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University 400044, Chongqing, China)

By using the composite cycloid with good adjustable geometric feature as the internal gear tooth profile and on the basis of differential geometry and gear conjugate engagement theory, a meshing equation and a conjugate profile equation of composite cycloid planetary driving with small teeth difference are established, and the line of action, the contact ratio, the mesh boundary as well as the non-undercutting condition are all derived. Then, the induced normal curvature and the pressure angle are analyzed, and the influence of tooth profile adjustment coefficient on the pressure angle is discussed. Finally, a three-dimension solid model of the composite cycloid gear pairs is established, and a dynamic simulation is performed to reveal the meshing relationship as well as the transmission efficiency under certain conditions. The results show that the composite cycloid planetary driving with small teeth difference may result in excellent meshing properties such as multi-teeth meshing, small pressure angle, small induced normal curvature and high transmission efficiency.

composite cycloid; small teeth difference; planetary transmission; engagement theory; meshing pro-perties

2016- 06- 07

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2014CB046304);國家自然科學基金資助項目(51675061) Foundation items: Supported by the National Program on Key Basic Research Project of China(973 Program)(2014CB046304 ) and the National Natural Science Foundation of China(51675061)

石萬凱(1968-)，男，博士，教授,主要從事機械創(chuàng)新設計理論與方法、齒輪傳動潤滑與表面工程、傳動失效機理研究.E-mail:wankai_shi@cqu.edu.cn

1000- 565X(2017)02- 0066- 09

TH 132.41

10.3969/j.issn.1000-565X.2017.02.010