廣東省惠州市惠陽區(qū)沙田中學(xué) 張 貝

小改編，大不同
——一道課本習(xí)題的改編歷程

廣東省惠州市惠陽區(qū)沙田中學(xué) 張 貝

一、改編題的來源

初中數(shù)學(xué)教材中有許多習(xí)題都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想和方法，對(duì)數(shù)學(xué)解題具有一定的導(dǎo)向作用，每一道課本習(xí)題都是經(jīng)過編者不斷推敲﹑揣摩的，蘊(yùn)含著他們大量的心血。課本習(xí)題的教學(xué)是鞏固學(xué)生雙基﹑培養(yǎng)學(xué)生思維能力﹑提高學(xué)生解題能力的一條重要渠道，教學(xué)中，我們要善于對(duì)習(xí)題進(jìn)行合理的變化和挖掘，我們將其改編是豐富原題內(nèi)涵的有效途徑，同時(shí)，在教學(xué)中將教材中的典型例題進(jìn)行改編，既能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。我查找了平時(shí)教學(xué)中積累的典型習(xí)題，查閱了相關(guān)資料及近幾年各地的中考題，特別是廣東近幾年的中考題，它們都是進(jìn)行改編題的第一手資料。我最終選擇以下習(xí)題進(jìn)行改編，原題選自人教版《數(shù)學(xué)》（2009年3月第2版）九年級(jí)上冊(cè)第24章第123頁第14題。

原 題： 如 圖1， ⊙O的 直 徑AB=12cm,AM和BN是它的兩條切線，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C。設(shè)AD=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，畫出它的圖象。

圖1

分析：本題以學(xué)生熟悉的圓與直角梯形為知識(shí)載體，主要突出對(duì)本章所學(xué)的核心概念（切線）和數(shù)學(xué)定理（切線性質(zhì)及切線長(zhǎng)定理）進(jìn)行考查，涉及的知識(shí)點(diǎn)是最基礎(chǔ)﹑最核心的數(shù)學(xué)知識(shí)。特別是圖中所需的輔助線的構(gòu)建，對(duì)發(fā)展學(xué)生的抽象思維，借助數(shù)學(xué)直觀提煉基本圖形所隱含的性質(zhì)和結(jié)論有著重要的作用。

二、改編歷程

1.初稿

如圖2，⊙O的直徑AB=12cm,AM和BN是它的兩條切線，DC切⊙O于點(diǎn)E，交AM于D，交BN于C,設(shè)AD=x，BC=y。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）用含x的式子表示求圖中陰影部分的面積S。

解：（1） 如 圖 2， 過 點(diǎn) D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切,

∴AD=DE=x,BC=EC=y,

在Rt△DFC中， ,

圖2

反思：課本習(xí)題考查的知識(shí)點(diǎn)較單一，綜合性不強(qiáng)。改編后的題在圖形上沒有多大的變化，只是再添加了陰影部分，條件上沒有增加新的條件，只是簡(jiǎn)單增設(shè)了一問。此題較原題就考查內(nèi)容上有所豐富，增加考查了不規(guī)則圖形的面積求法，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，體現(xiàn)了一定的層次性針對(duì)。針對(duì)增加的第（2）問，在解答時(shí)發(fā)現(xiàn)，第（1）問為第（2）問解答做了鋪墊，降低了題目的難度，使不同層次的學(xué)生的思維都得到了鍛煉。習(xí)題中設(shè)問（1）（2）之間采取的是遞進(jìn)式的結(jié)構(gòu)，采用遞進(jìn)式的結(jié)構(gòu)能挖掘問題的深度。

2.磨稿

改編稿1：

如圖2，⊙O的直徑AB=12cm,AM和BN是它的兩條切線，DC切⊙O于點(diǎn)E，交AM于D，交BN于C,設(shè)AD=x，BC=y。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）用含x的式子表示圖中陰影部分的面積S;

（3）當(dāng)x，y滿足何種關(guān)系時(shí)，S取得最小值？并求出最小值。

解：（1）如圖2過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切,

∴AD=DE=x,BC=EC=y,

在Rt△DFC中，

反思1：此題在初稿的基礎(chǔ)上增加了一問，增加的第（3）問讓問題的設(shè)計(jì)變得更加有梯度，起到了引導(dǎo)學(xué)生思維的作用，增加的這一問仍然采取的是遞進(jìn)式的結(jié)構(gòu)，巧妙地借助了設(shè)問（1）（2）的結(jié)論來解答，但美中不足的是在解（3）的時(shí)候用到了均值不等式，而這個(gè)內(nèi)容在初中階段來說是有超綱之嫌。

改編稿2：

如圖2，⊙O的直徑AB=12cm,AM和BN是它的兩條切線，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C,設(shè)AD=x，BC=y。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）用含x的式子表示圖中陰影部分的面積S。

（3）連接BE,當(dāng)x為何值時(shí)，△BCE為等邊三角形？并求當(dāng)△BCE為等邊三角形時(shí)圖中陰影部分的面積。

解：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AM和BN是⊙O的兩條切線，DE與⊙O相切，

∴AD=DE=x,BC=EC=y，

在Rt△DFC中， ，

（3）連接OE,過點(diǎn)O作OG⊥BE。

∵△BCE為等邊三角形，∴∠EBC=60°，∴∠OBG=30°，在Rt△OGB中,

反思2：因?yàn)樵诟木幐?中的第（3）問存在超綱的嫌疑，所以在改編稿2中我否定了這種設(shè)問，再次改編后的（3）能夠與（1）和（2）有更加緊密的聯(lián)系，圍繞著初中數(shù)學(xué)中常見﹑常考的等邊三角形這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，改編稿2繼續(xù)進(jìn)行著遞進(jìn)式結(jié)構(gòu)，緊緊圍繞著中考考綱，盡可能全面地考查學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力。

總之，課本習(xí)題是編者精心設(shè)計(jì)和挑選的，具有典型性和探索性，所隱含的內(nèi)容也相當(dāng)豐富，現(xiàn)在很多中考題都能在課本中找到其原形。因此在教學(xué)中，教師要重視教材，吃透教材，鉆研教材，加強(qiáng)對(duì)課本習(xí)題的挖掘，靈活使用習(xí)題，通過一題多變﹑一題多解把問題弄透，達(dá)到觸類旁通﹑舉一反三的效果，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力和探究能力，使教學(xué)達(dá)到“事半功倍”的效果。

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