江蘇省啟東市呂四中學(xué) 劉 瑾

高中數(shù)學(xué)解題中隱含條件的挖掘

江蘇省啟東市呂四中學(xué) 劉 瑾

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，不少學(xué)生容易忽視題中的隱含條件，感覺(jué)題目難解。實(shí)際上，數(shù)學(xué)題雖然靈活多變，但若能發(fā)掘出其中的隱含條件，就能更好地解鎖解題過(guò)程，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，降低解題難度，快速而準(zhǔn)確地解題，這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)信心也會(huì)進(jìn)一步得到保持與提升。

一、觀察題目結(jié)構(gòu)，挖掘隱含條件

面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生需要具備較強(qiáng)的洞察力，反復(fù)研讀題目，多向思索，迅速判斷題中是否有無(wú)隱含條件，找出問(wèn)題本質(zhì)，快速得解。其中，明確題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，再根據(jù)所學(xué)知識(shí)合理推斷有關(guān)數(shù)學(xué)公式或者所應(yīng)用的幾何模型，是發(fā)掘題中隱含條件的一種重要方式。對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生引起注意，從而提高數(shù)學(xué)解題能力。

二、注意數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)隱含條件

在解答高中數(shù)學(xué)題目時(shí)，學(xué)生有時(shí)候會(huì)遇到這樣的情況：直接利用題目給出的已知條件來(lái)解題比較困難，而那些可以快速解題的有效條件卻隱藏于題中蘊(yùn)含的圖形中，若能夠認(rèn)真觀察，由圖形來(lái)獲取隱含條件，則可以找到解題的切入點(diǎn)與突破口，將抽象問(wèn)題形象化，將繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)明化。所以，教師要指導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，學(xué)會(huì)認(rèn)真分析所給圖形極其條件，由圖形特征去發(fā)掘一些隱含條件，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，或者利用轉(zhuǎn)化思想，適當(dāng)添加輔助圖形，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，再由圖形中獲取含而未漏的重要條件，將問(wèn)題迎刃而解。

例如：平面上有兩點(diǎn)A（-1，0）﹑B（1，0），在圓(x-3)2+(y-4)2=4上取點(diǎn)P，請(qǐng)求出使AP2+BP2取最小值的時(shí)候點(diǎn)P的坐標(biāo)。

對(duì)于這一題目，不少學(xué)生運(yùn)用常規(guī)方法，列出目標(biāo)函數(shù)y=AP2+BP2,再求解最小值。這一方法過(guò)程比較煩瑣，而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)際上，通過(guò)畫(huà)出相關(guān)圖形（如圖1所示），再根據(jù)三角形中線性質(zhì)，就能獲得隱含條件： 。因此，當(dāng)OP有最小值的時(shí)候，AP2+BP2也有最小值。此時(shí)，就很容易看出點(diǎn)O和圓心（3,4）的連線與圓的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)。因此聯(lián)立方程，則有：

三、重視數(shù)學(xué)性質(zhì)，發(fā)掘隱含條件

在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)概念﹑性質(zhì)或者定義是基本知識(shí)與前提條件，但運(yùn)用的方式有所差別，或直接運(yùn)用，或者間接運(yùn)用，所以在解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)定義（概念）入手，認(rèn)真分析與推敲，深挖隱含條件，化隱為顯，快速解答。

四、學(xué)會(huì)類比聯(lián)想，挖掘隱含條件

在高中數(shù)學(xué)做題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到這樣的題目：無(wú)法發(fā)現(xiàn)已知條件和所求問(wèn)題的聯(lián)立關(guān)系，也沒(méi)有可以直接用于類比的定理或者公式。這就需要由聯(lián)想與類比入手，深挖出題目隱藏的有用條件，抓住解題契機(jī)，快速而準(zhǔn)確地做答。

五、根據(jù)已知條件，發(fā)現(xiàn)隱含條件

在有些數(shù)學(xué)題目中，隱藏的條件往往在已知條件里面，需要結(jié)合已知條件進(jìn)行靈活衍生。因此，在解答高中數(shù)學(xué)題時(shí)，如果感覺(jué)沒(méi)有充足的解題條件，同時(shí)題設(shè)中又很難發(fā)現(xiàn)隱含條件，此時(shí)就需要結(jié)合已知條件，運(yùn)用列舉分析或者圖形等方式，獲取含而不露的解題條件，化難為易。

例如：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-2x+4y=0，請(qǐng)求出x-2y的最值。

根據(jù)已知條件，進(jìn)行配方，使之轉(zhuǎn)化成：(x-1)2+(y+2)2=5，即圓心坐標(biāo)是(1,-2)，半徑是的圓（如圖2），圓方程經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）；另外，表明圓(x-1)2+(y+2)2=5上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的一半。再由數(shù)形結(jié)合入手，就能發(fā)現(xiàn)最小值是0，最大值是10。

總之，隱含條件是解數(shù)學(xué)題的重要因素與有效利器。在平時(shí)教學(xué)中，教師要注意加強(qiáng)訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生探尋與積累多樣解題方法和技巧，或深鉆數(shù)學(xué)定義去深挖，或在類比聯(lián)想中去發(fā)現(xiàn)，或從數(shù)形結(jié)合中去發(fā)掘，或抓住題目結(jié)構(gòu)來(lái)獲取隱含條件，不斷強(qiáng)化自己的觀察能力﹑思考能力，提升數(shù)學(xué)解題水平。

圖2

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