楊靖， 王旭剛， 王中原, 常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

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考慮自動駕駛儀動態(tài)特性和攻擊角約束的魯棒末制導(dǎo)律

楊靖， 王旭剛， 王中原, 常思江

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

針對制導(dǎo)彈箭打擊機動目標(biāo)時帶攻擊角約束的末制導(dǎo)問題，考慮自動駕駛儀動態(tài)特性以及目標(biāo)機動不確定性對制導(dǎo)過程的影響，結(jié)合積分滑模與動態(tài)面控制方法，設(shè)計了一種新型魯棒末制導(dǎo)律。自動駕駛儀的動態(tài)特性以含擾動的2階動力學(xué)模型來表征，目標(biāo)機動引起的模型不確定性以光滑非線性擾動觀測器來估計?；Ｃ嫒∫暰€角速率與視線角偏差的組合形式，且引入剩余飛行時間，以使制導(dǎo)彈箭在整個末制導(dǎo)過程中過載性能良好。依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)中視線角速率與視線角偏差均最終一致有界任意小。通過數(shù)值仿真與彈道成型制導(dǎo)律及非奇異滑模制導(dǎo)律進(jìn)行了對比，驗證了該末制導(dǎo)律的有效性與優(yōu)越性。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 末制導(dǎo)律； 攻擊角約束； 積分滑模； 動態(tài)面控制； 擾動觀測器

0 引言

火炮武器系統(tǒng)在戰(zhàn)場中反應(yīng)迅速，能夠提供強大且持續(xù)的火力支援，是未來部隊聯(lián)合作戰(zhàn)的重要組成單元。隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭理念的發(fā)展，遠(yuǎn)程壓制、精確打擊及高效毀傷等成為適配彈箭的發(fā)展方向。在一些實際應(yīng)用中(如反坦克、反艦船及近程反導(dǎo)等)，若制導(dǎo)彈箭能以一定的攻擊角度命中目標(biāo)，可以充分發(fā)揮其戰(zhàn)斗部威力，提高殺傷效果，同時也降低了戰(zhàn)爭成本。因此，研究制導(dǎo)彈箭帶攻擊角約束的精確末制導(dǎo)問題具有重要的現(xiàn)實意義。

自從Kim等[1]針對再入式飛行器首次提出帶攻擊角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律以來，很多學(xué)者針對不同研究對象，開展了帶攻擊角約束的末制導(dǎo)律研究。總的來說，分為兩大類：1)假設(shè)目標(biāo)機動已知，依據(jù)不同的性能指標(biāo)，設(shè)計含攻擊角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律[2-5]；2)將目標(biāo)機動視為外部擾動，研究含攻擊角約束的魯棒末制導(dǎo)律[6-13]。

在應(yīng)用最優(yōu)控制理論的設(shè)計中，通常將含攻擊角約束的末制導(dǎo)律問題轉(zhuǎn)化為線性二次型最優(yōu)控制問題，從而可得到解析形式的最優(yōu)制導(dǎo)律。Zarchan[2]證明了在彈目速率不變、目標(biāo)常值機動、制導(dǎo)系統(tǒng)無動力學(xué)滯后的條件下，使得脫靶量為0 m，且需用過載平方積分最小的制導(dǎo)律為彈道成型制導(dǎo)律(TSG)。此外，其引入零控脫靶量的概念，闡述了偏置比例制導(dǎo)律[3-4]與彈道成型制導(dǎo)律本質(zhì)上是一致的。張友安等[5]針對固定目標(biāo)，考慮彈體1階動力學(xué)滯后，設(shè)計了一種帶攻擊角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律。Cho等[6]針對以一定攻擊角打擊任意機動目標(biāo)的情形，引入零控碰撞三角形，將平面內(nèi)非線性彈目相對運動模型線性化，設(shè)計了一種新型含攻擊角約束的最優(yōu)末制導(dǎo)律。該方法仍需要目標(biāo)的狀態(tài)信息完全已知，但是在實際應(yīng)用中，很多的目標(biāo)狀態(tài)無法準(zhǔn)確測得，從而其應(yīng)用受到限制。

在含攻擊角約束的魯棒末制導(dǎo)律設(shè)計中，通常將目標(biāo)機動視為外部擾動，期望閉環(huán)系統(tǒng)對目標(biāo)機動等因素引起的模型不確定性具有很好的穩(wěn)定性與魯棒性。作為魯棒控制方法的一種，滑?？刂凭哂袑?nèi)部或外界的匹配擾動不敏感、控制精度高且算法簡單、易于實現(xiàn)等特點，應(yīng)用較為廣泛。Rao等[7]將視線角速率偏差與視線角偏差的線性組合作為滑模面，設(shè)計了一種含攻擊角約束的滑模末制導(dǎo)律。Kumar等[8]以視線角速率偏差與視線角偏差構(gòu)建了一種非奇異滑模面，設(shè)計了一種含攻擊角約束的有限時間收斂的非奇異滑模末制導(dǎo)律。上述方法都存在初始過載飽和的現(xiàn)象，這對內(nèi)環(huán)自動駕駛儀提出了較高的要求。當(dāng)自動駕駛儀回路帶寬不夠高的情況下，制導(dǎo)性能受到很大影響。因此，有必要在設(shè)計含攻擊角約束的制導(dǎo)律中考慮內(nèi)回路自動駕駛儀的動態(tài)特性。

當(dāng)考慮內(nèi)回路自動駕駛儀的動態(tài)特性，會使得整個系統(tǒng)的階次較高，反步法適合處理該問題。反步法是一種遞推設(shè)計方法，可以將高階系統(tǒng)的控制律設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為對一系列低階系統(tǒng)的交互設(shè)計。刁兆師等[9]將自動駕駛儀回路視為1階動力學(xué)滯后，針對地面固定目標(biāo)，應(yīng)用反步法設(shè)計了一種帶攻擊角約束的末制導(dǎo)律。He等[10]引入線性阻尼，以視線角速率偏差與視線角偏差構(gòu)建了一種非奇異滑模面，將自動駕駛儀回路視為2階動力學(xué)環(huán)節(jié)，利用反步法設(shè)計了一種含攻擊角約束的末制導(dǎo)律。但是，反步法中存在多次反步時“微分膨脹”的問題。

為了解決多次反步設(shè)計出現(xiàn)的“微分膨脹”問題，Swaroop等[11]結(jié)合非線性阻尼、積分反步及多面滑?？刂频膬?yōu)點，提出了動態(tài)面控制方法。該方法不僅避免了反步設(shè)計中的“微分膨脹”問題，且不需要系統(tǒng)擾動項滿足利普希茨連續(xù)條件。熊少鋒等[12]以視線角速率偏差與視線角偏差構(gòu)建了一種非奇異滑模面，將自動駕駛儀近似為1階慣性環(huán)節(jié)，采用非奇異滑模與動態(tài)面控制方法，設(shè)計了一種含攻擊角約束的末制導(dǎo)律。張堯等[13]引入非線性飽和函數(shù)及非線性阻尼，構(gòu)建了一種新型積分型滑模面，將自動駕駛儀回路近似為2階動力學(xué)環(huán)節(jié)，采用動態(tài)面控制方法，設(shè)計了一種含攻擊角約束的新型末制導(dǎo)律。積分型滑?？墒沟孟到y(tǒng)從一開始就處于滑動模態(tài)，從而整個過程中不受擾動的影響。但是上述設(shè)計都未考慮自動駕駛儀模型的不確定性。

鴨式布局的制導(dǎo)彈箭為最小相位系統(tǒng)。因此，將其內(nèi)回路自動駕駛儀的動態(tài)特性描述為含擾動的2階動力學(xué)過程更為合理。

基于上述考慮，本文以含擾動的2階動力學(xué)過程表征內(nèi)回路自動駕駛儀的動態(tài)特性，結(jié)合積分滑模與動態(tài)面控制方法，設(shè)計了一種新型魯棒末制導(dǎo)律，即積分滑模動態(tài)面控制末制導(dǎo)律(ISMDSG)。受彈道成型制導(dǎo)律的啟發(fā)，在滑模變量的定義中引入剩余飛行時間，來改善整個末制導(dǎo)過程中的過載性能。采用擾動觀測器補償目標(biāo)機動以及彈目速率變化引起的模型不確定性的影響。依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了視線角速率與視線角偏差均最終一致有界任意小，即實現(xiàn)了以一定的攻擊角命中目標(biāo)。

1 問題描述

1.1 平面內(nèi)彈目相對運動模型

假設(shè)制導(dǎo)彈箭為軸對稱外形，具有滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定系統(tǒng)，采用側(cè)滑轉(zhuǎn)彎機動模式。因而，可實現(xiàn)三通道解耦，僅考慮縱向平面內(nèi)的運動?？v向平面內(nèi)的彈目相對運動關(guān)系如圖1所示。

圖1 平面內(nèi)彈目相對運動關(guān)系Fig.1 Projectile-target relative movement in plane

圖1中，Oxy為地面參考慣性坐標(biāo)系；R為彈目相對距離；λ為彈目視線角；v、θ、a分別表示速度、彈道傾角和加速度；末端攻擊角θimp定義為制導(dǎo)彈箭末端速度vPf與目標(biāo)末端速度vTf之間的夾角?？傻每v向平面內(nèi)的彈目相對運動關(guān)系

(1)

對(1)式中的第2式求時間的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合(1)式中的其他各式，可得視線角速率的動力學(xué)模型：

(2)

h=aP(1-cos(θP-λ))+aTcos(θT-λ)-

(3)

由此可知，h含目標(biāo)機動及目標(biāo)速度變化引起的擾動。

1.2 自動駕駛儀模型

實際中，外環(huán)制導(dǎo)回路生成的加速度指令是通過內(nèi)環(huán)自動駕駛儀實現(xiàn)的?？紤]到高頻未建模動態(tài)的影響，自動駕駛儀的帶寬不能過高。加速度指令與實際加速度之間總是存在一定的動力學(xué)滯后，這種時間延遲勢必影響制導(dǎo)性能。因而，設(shè)計末制導(dǎo)律時，有必要考慮自動駕駛儀的動態(tài)特性。對于鴨式布局的制導(dǎo)彈箭，自動駕駛儀回路作為制導(dǎo)回路的一個環(huán)節(jié)，其動態(tài)特性可用含擾動項的2階動力學(xué)近似表征：

(4)

1.3 機動目標(biāo)模型

假設(shè)目標(biāo)可由1階動力學(xué)模型描述：

(5)

1.4 制導(dǎo)策略

Kumar等[7]的研究表明：不失一般性，假設(shè)目標(biāo)末端速度傾角θTf=0，則當(dāng)彈目位于碰撞三角形上時，末端視線角λf與攻擊角θimp存在一一對應(yīng)關(guān)系：

(6)

式中：vT/vP<1.

因此，前述制導(dǎo)律設(shè)計目標(biāo)等價于：

(7)

2 ISMDSG設(shè)計

2.1 制導(dǎo)律設(shè)計

為了使得末制導(dǎo)過程中的過載特性較為良好，類比彈道成型制導(dǎo)律，引入剩余飛行時間tgo，定義新變量s為

(8)

σ=s+z,z(0)=-s(0),

(9)

式中：輔助變量z滿足

(10)

k為設(shè)計參數(shù)。

對(9)式求導(dǎo)，結(jié)合(2)式，整理得

(11)

(12)

最終目標(biāo)為設(shè)計控制輸入u，使得x1在有限時間內(nèi)收斂到零點的任意小領(lǐng)域內(nèi)。

動態(tài)面控制方法[12]結(jié)合了非線性阻尼、積分反步及多面滑?？刂频膬?yōu)點，避免了反步設(shè)計中的“微分膨脹”問題，且不需要系統(tǒng)擾動項滿足Lipchitz條件。因此，采用動態(tài)面控制方法對(12)式描述的問題進(jìn)行設(shè)計，具體步驟為：

1) 設(shè)計虛擬控制量x2d. 定義第1個動態(tài)面：

S1=x1,

(13)

為使S1漸近收斂到零點附近，設(shè)計虛擬控制量為

(14)

式中：τ2>0為設(shè)計參數(shù)；

(15)

2) 設(shè)計虛擬控制量x3d.定義第2個動態(tài)面：

S2=x2-x2d,

(16)

為使S2漸近收斂到零點附近，設(shè)計虛擬控制量為

(17)

式中：τ3>0為設(shè)計參數(shù)；

(18)

K2>0為設(shè)計參數(shù)。

3) 設(shè)計實際控制量u. 定義第3個動態(tài)面：

S3=x3-x3d,

(19)

為使S3漸近收斂到零點附近，設(shè)計實際控制量為

(20)

式中：K3>0、ε3>0為設(shè)計參數(shù)；ρ3≥|da|.

2.2 穩(wěn)定性分析

定義新的變量為

(21)

結(jié)合動態(tài)面Si,i=1,2,3的定義與(21)式，可得

(22)

對(13)式中的S1求導(dǎo)，并將(22)式第2式與(15)式代入其中，整理得

(23)

對(16)式中的S2求導(dǎo)，并將(22)式第3式與(18)式代入其中，整理得

(24)

對(19)式中的S3求導(dǎo)，并將(20)式與(17)式代入其中，整理得

(25)

對(21)式中的y2求導(dǎo)，結(jié)合(21)式與(14)式，整理得

(26)

對(21)式中的y3求導(dǎo)，結(jié)合(21)式與(17)式，整理得

(27)

由Young不等式，可得

(28)

(29)

考慮到現(xiàn)實情況，(1)式中的相關(guān)參數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都有界，即存在M2、M3滿足

(30)

由此可得

(31)

定義Lyapunov函數(shù)為

(32)

對(32)式求導(dǎo)，結(jié)合(29)式與(31)式，可得

(33)

選取參數(shù)K1、K2、K3、τ2、τ3滿足：

(34)

式中：κ>0.

從而，有

(35)

(36)

依據(jù)比較原理，有

(37)

由此可見，S1、S2、S3、y2、y3是一致最終有界的。當(dāng)κ足夠大時，VL很快收斂到域Ω={VL≤ζ/κ}。這也意味著視線角速率與末端視線角偏差可以足夠小。

綜上所述，可得如下定理。

2.3 估計不確定項h

(12)式中含有不確定項h，可采用光滑非線性擾動觀測器[15-16]獲得。為保持本文的完整性，以下首先簡述其要點，然后設(shè)計適用于本文問題的擾動觀測器。

考慮單輸入、單輸出系統(tǒng)

(38)

2階形式的光滑非線性擾動觀測器為

(39)

當(dāng)ξ、η不存在測量噪聲時，z1在有限時間內(nèi)收斂于f(t)；當(dāng)ξ、η包含Lebesgue可測界為δ的噪聲時，z1在有限時間內(nèi)收斂于f(t)的領(lǐng)域內(nèi)，其精度為|z1(t)-f(t)|≤μδ2/3,μ>0.

對照(2)式的第1式，記

(40)

3 仿真分析

為了驗證本文所提出的ISMDSG的有效性與優(yōu)越性，本節(jié)針對不同場景，做了大量仿真實驗，并與彈道成型制導(dǎo)律(TSG)[2]及非奇異滑模末制導(dǎo)律(NTSMG)[8]進(jìn)行了仿真對比分析。由于篇幅所限，僅列出部分仿真結(jié)果。

對于固定或勻速直線運動的目標(biāo)，TSG方法給出的過載指令為

(41)

NTSMG方法給出的過載指令為

(42)

(43)

對于機動目標(biāo)，NTSMG方法給出的過載指令為

(44)

式中：λT=θT-λ. 假設(shè)所有用到的目標(biāo)信息已知。

以下仿真場景中，3種制導(dǎo)律中的參數(shù)保持不變，假設(shè)制導(dǎo)彈箭與目標(biāo)均處于鉛垂平面內(nèi)。

3.1 情形1：目標(biāo)固定

該仿真的目的是展示僅初始彈道傾角不同的情況下，要求垂直打擊固定目標(biāo)時，采用ISMDSG方法的末制導(dǎo)性能。

設(shè)地面固定目標(biāo)的坐標(biāo)為xT=5 000 m，yT=0 m；制導(dǎo)彈箭的初始位置為xP0=0 m，yP0=8 660.3 m. 這意味著初始彈目距離為R0=10 km，初始彈目視線角為λ0=-60°. 假設(shè)制導(dǎo)彈箭的速度大小為常數(shù)，取vP=500 m/s；制導(dǎo)彈箭的最大法向過載設(shè)為40g；2階擾動近似自動駕駛儀模型中的參數(shù)為ξa=0.5，ωa=5 rad/s,其擾動項取為da=15sin (πt/3)；期望實現(xiàn)對地面固定目標(biāo)的垂直攻頂。取末制導(dǎo)初始時刻的彈道傾角θP0分別為15°、0°、-15°、-30°、-45°、-60°進(jìn)行仿真。

圖2～圖5分別展示了不同末制導(dǎo)初始彈道傾角的情況下，采用ISMDSG方法的末制導(dǎo)時，制導(dǎo)彈箭的運動軌跡、彈目視線角速率、彈目視線角與期望的視線角偏差值和彈體的方向過載變化。圖3表明彈目視線角速率在末端趨于0 °/s；圖4說明實際彈目視線角收斂于期望的末端視線角。從而，采用本文所提出的ISMDSG方法可以在不同初始彈道傾角時實現(xiàn)對固定目標(biāo)的垂直打擊。從圖5可以看出，末制導(dǎo)初始時刻不同的彈道傾角情況下，末制導(dǎo)初始階段的法向過載差別較大，但最終的法向過載都趨于0g. 適當(dāng)?shù)哪┲茖?dǎo)初始彈道傾角設(shè)計可降低末制導(dǎo)過程中的最大需要過載。

圖2 情形1：ISMDSG方法不同初始彈道傾角時 彈箭的運動軌跡Fig.2 Case 1: projectile trajectories at different initial flight path angles via ISMDSG

圖3 情形1：ISMDSG方法不同初始彈道傾角時 視線角速率的變化Fig.3 Case 1: line-of-sight rate profiles at different initial flight path angles via ISMDSG

圖4 情形1：ISMDSG方法不同初始彈道傾角時 視線角偏差的變化Fig.4 Case 1: line-of-sight angle error profiles at different initial flight path angles via ISMDSG

圖5 情形1：ISMDSG方法不同初始彈道傾角時 法向過載的變化Fig.5 Case 1: acceleration profiles at different initial flight path angles via ISMDSG

3.2 情形2：目標(biāo)常值機動

本節(jié)針對常值機動目標(biāo)，對比了本文提出的ISMDSG方法與TSG方法、NTSMG方法的末制導(dǎo)性能。

圖6 情形2：彈目運動軌跡比較Fig.6 Case 2: comparison of trajectories of projectile and target

圖7 情形2：視線角速率的變化比較Fig.7 Case 2: comparison of line-of-sight rate profiles

3.3 情形3：目標(biāo)周期性機動

本節(jié)針對周期性機動目標(biāo)，對比了本文提出的ISMDSG方法與TSG方法、NTSMG方法的末制導(dǎo)性能。

圖8 情形2：視線角偏差的變化比較Fig.8 Case 2: comparison of line-of-sight angle error profiles

圖9 情形2：法向過載的變化比較Fig.9 Case 2: comparison of acceleration profiles

圖10 情形2：不確定項h及其估計值Fig.10 Case 2: uncertain term h and its estimated value 表1 情形2的脫靶量與飛行時間Tab.1 Miss distance and flight time for Case 2

參數(shù)TSG方法NTSMG方法M=500M=1000ISMDSG方法脫靶量/m542086093017飛行時間/s1654170218381731

圖11 情形3：彈目運動軌跡比較Fig.11 Case 3 comparison of trajectories of projectile and target

圖12 情形3：視線角速率的變化比較Fig.12 Case 3: comparison of line-of-sight rate profiles

圖13 情形3：視線角偏差的變化比較Fig.13 Case 3: comparison of line-of-sight angle error profiles

圖14 情形3：法向過載的變化比較Fig.14 Case 3: comparison of acceleration profiles

圖15 情形3：不確定項h及其估計值Fig.15 Case 2: uncertain term h and its estimated value 表2 情形3的脫靶量與飛行時間Tab.2 Miss distance and flight time for Case 3

參數(shù)TSG方法NTSMG方法M=500M=1000ISMDSG方法脫靶量/m856127133031飛行時間/s2732295833382966

4 結(jié)論

針對制導(dǎo)彈箭打擊機動目標(biāo)時帶攻擊角約束的末制導(dǎo)問題，考慮自動駕駛儀動態(tài)特性對制導(dǎo)回路的影響，結(jié)合積分滑模與動態(tài)面控制方法，設(shè)計了一種新型魯棒末制導(dǎo)律。依據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)中視線角速率與視線角偏差均最終一致有界任意小，即實現(xiàn)了以一定的攻擊角命中目標(biāo)。仿真結(jié)果表明：

1) 本文所提出的新型魯棒末制導(dǎo)律，在存在目標(biāo)機動不確定及自動駕駛儀含擾動的條件下，可使制導(dǎo)彈箭以給定的攻擊角以高精度命中目標(biāo)，且過載特性良好。

2) 當(dāng)目標(biāo)周期性機動時，若考慮攻擊角約束，會使得制導(dǎo)彈箭部分彈道曲率較大，可能需要其在大攻角條件下飛行，導(dǎo)致氣動非線性問題。另外，對于自主制導(dǎo)彈箭，較大的彈道曲率，可能導(dǎo)致導(dǎo)引頭無法跟蹤到目標(biāo)。因此，在工程應(yīng)用中要綜合考慮。

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Robust Terminal Guidance Law with Autopilot Lag andImpact Angle Constraints

YANG Jing， WANG Xu-gang， WANG Zhong-yuan， CHANG Si-jiang

(School of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

A novel robust impact-angle-constrained guidance law with autopilot lag is proposed based on integral sliding mode and dynamic surface control for guided projectiles. The inner-loop autopilot is characterized by an uncertain second-order dynamics. The sliding mode variable is defined as a combination of the line-of-sight (LOS) rate and the LOS angle error with time-to-go in order to realize the guidance strategy and achieve a good acceleration performance during interception. The smooth nonlinear disturbance observer is adopted to obtain the model discrepancies from target maneuver and the speed variation of target and interceptor. The stability of LOS rate and the LOS angular deviation is proved in the sense of the uniform boundedness and ultimate boundedness. Simulated results show the effectiveness and superiority of the proposed robust terminal guidance law compared to the trajectory shaping guidance law and the nonsingular terminal guidance law.

ordnance science and technology; terminal guidance; impact angle constraint; integral sliding mode; dynamic surface control; disturbance estimator

2016-10-24

國家自然科學(xué)基金項目(11402117)

楊靖( 1988—)， 男， 博士研究生。 E-mail: jingyangnust@163.com

王旭剛( 1979—)， 男， 副研究員。 E-mail: wxgnets@163.com

TJ765.2+2

A

1000-1093(2017)05-0900-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.05.009