王丹齡　閔樂泉

泛函分析是在20世紀初期從數(shù)學分析中獨立并發(fā)展起來的新興學科，是整個分析數(shù)學中最年輕的學科之一[1-4]。它是研究無限維線性空間上的泛函和算子理論的一門數(shù)學，被譽為20世紀的微積分。但因其高度的抽象性，使得在教學過程中常常出現(xiàn)“學生難學、教師難教”的情形，再加上全英文教學使得該課程的講授成為一項具有挑戰(zhàn)性的工作。經過近年教學實踐，對教學理念的更新做出如下幾個方面的探討。

一、充分利用數(shù)學語言與英語的相近性，培養(yǎng)學生閱讀專業(yè)英文書籍與文獻

的能力。由于我校數(shù)學專業(yè)的同學在大一大二的學習中，只經過大學基礎英語的訓練，具有一定的英語聽說讀寫能力，但在課程設置中暫時還沒有專業(yè)的相關課程。而在接下來的畢業(yè)論文又需要閱讀一定的英文文獻，因此本課程全英文教學不僅培養(yǎng)學生較強的抽象思維能力，邏輯思維能力，提高學生的數(shù)學修養(yǎng)，更為今后能夠順利閱讀和學習英文專業(yè)書籍和文獻打下基礎。

二、注重培養(yǎng)學生的國際視野和競爭能力，探索實現(xiàn)高校教育與國際教育能

真正接軌的教學方法。隨著數(shù)學專業(yè)畢業(yè)生選擇出國深造的同學逐年增多，越來越多的高年級同學渴望獲得更多的國外高水平院校同專業(yè)的發(fā)展現(xiàn)狀。當中就包括主要專業(yè)基礎課的講授內容，授課方式，學習重點等等。這樣不僅能幫助同學們了解本專業(yè)國內外教學的異同，也為將來繼續(xù)深造打下基礎。

泛函分析是20世紀30年代從變分法、微分方程函數(shù)論以及量子物理的研究中發(fā)展起來的，它運用幾何學、代數(shù)學的觀點和方法研究分析學的問題，可以看做無限維的分析學。泛函分析在概率論、量子物理、計算數(shù)學、控制論、最優(yōu)化理論等學科中都有重要的作用；它的觀點和方法已經滲入到很多工程技術性的學科中。作為現(xiàn)代數(shù)學主體部分的泛函分析，是數(shù)學專業(yè)本科階段的基礎課程之一。

對于數(shù)學系的學生來說，學好泛函分析這門課程，既能加深理解前面已學知識（如數(shù)學分析、高等代數(shù)和解析幾何），又能為以后進一步深造打下堅實的基礎。同時為結合全英文教學并在有限的學時內盡量使同學們掌握該課程的經典理論：度量空間，完備性，賦范空間， Banach空間，線性泛函，對偶空間，內積空間，Hilbert空間，Banach不動點定理及其在線性方程、微分方程、積分方程方面的應用等。

泛函分析知識點很多，知識體系也較龐大，不能講授過多或過難的內容，但又不能忽略泛函分析的重要內容。所選的內容基本上體現(xiàn)了泛函分析知識體系的完整性和嚴謹性，既突出了重點，有明顯的層次結構，又能與數(shù)學分析等基礎課程結合起來，起到延伸和拓展的作用。例如：極限作為數(shù)學分析中重要的概念及主要研究工具， 自然要被推廣到泛函分析中去。由于極限概念是利用兩點之間的距離來刻畫的，這就要求必須先推廣距離的概念，從而就有了距離空間。這樣在距離空間中就可以用距離來刻畫“收斂”了。那么距離空間之間映射的連續(xù)性概念也可以由函數(shù)的連續(xù)性概念推廣而來。同時歐氏空間中的集合：開集、閉集等概念也隨之推廣。數(shù)學分析中的柯西收斂準則給出了數(shù)列收斂的等價條件，也就是說，在歐氏空間中任何基本列都收斂。那么任何距離空間中的基本列都收斂嗎？ 答案是否定的， 于是就有了完備的概念，把具有上述性質的空間稱為是完備的。我們將發(fā)現(xiàn)完備的空間具有非常好的性質。數(shù)學分析中還有致密性定理， 即任何有界點列都有收斂子列。那么對一般的距離空間也有這個定理嗎？沒有，所以就有了列緊的概念。如果一個距離空間或它的子集具有這樣的性質，我們就稱或是列緊的，列緊的閉集稱為自列緊集。

數(shù)學課給同學們的印象往往是深奧，抽象，再加上全英文教學，更讓同學們望而生畏。所以為了使泛函分析全英文教學能達到良好的教學效果，首先要活躍課堂氣氛，在課堂教授基本概念，理論時，盡量抓住本質，對其來龍去脈加以說明。對于數(shù)學專業(yè)的同學來說，經過前幾個學期數(shù)學分析，高等代數(shù)等課程的學習，已有一定的數(shù)學基礎，將泛函分析與先修數(shù)學基礎課進行對照，讓同學們加入討論，鼓勵不同觀點的爭論。

學好泛函分析這門課程，既能加深理解前面已學知識（如數(shù)學分析、高等代數(shù)和解析幾何），又能為以后進一步深造打下堅實的基礎。那么如何去學習它呢？泛函分析可以看作無限維向量空間的解析幾何及數(shù)學分析。它是對古典分析的基本概念和方法的一般化，以及對這些概念和方法的幾何化。學習該課程時，應將其中的內容與古典分析中的相關概念、方法加以對比，從而來理解、學習它。在教學中，我們分析了古典分析和泛函分析之間的關系，介紹如何從古典分析中的一些概念、定理和方法出發(fā)，加以推廣、一般化或幾何化，從而引人泛函分析中的相關概念。例如歐氏空間中的元素之間是可以進行運算的，而在實際問題中，這種運算也是很有必要的。那么在一般的由抽象元素組成的集合中如何進行運算呢？能不能在集合上定義某些簡單運算，比如說線性運算，來達到元素間的運算目的呢？于是就有了線性空間的概念，帶有線性運算的集合稱為線性空間。在歐氏空間中我們用向量的模來表示向量的長度，那么在線性空間中能不能類似的定義元素的“大小”呢？于是便引人了范數(shù)。定義了范數(shù)的線性空間稱為賦范線性空間， 完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。

泛函分析全英文教學，不僅使學生掌握泛函分析的基本概念，抽象思維方法和嚴密的邏輯思維能力與推理論證能力，體會泛函分析在實際問題中的重要應用，還要培養(yǎng)學生對于專業(yè)英文文獻的學習能力。

參考文獻：

[1]E.Kreyszig，Introductory Functional Analysis with Applications，John Wiley &Sons，1978.

[2]L. V. Kantorovich and G. P. Akilov， Functional Analysis in Normed Spaces（translated by A. P. Robertson），Pergamon Press，1964.

[3]劉曙云，郭瑞平，李元左，工科研究生“應用泛函分析”教學的幾點思考[J].大學數(shù)學，2011，27（1）：203-206.

[4]石智，趙君平，泛函分析課程教學點滴[J].教育教學論壇，2015，5（18）：177-178.