朱姍姍

隨著新一輪義務(wù)教育課程改革深入推進(jìn)后，拓展性課程成為了熱點(diǎn)話題。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)拓展性課程，應(yīng)該體現(xiàn)兩個(gè)特征：第一，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；第二，激活學(xué)生思維，開發(fā)學(xué)生潛能。而以游戲?yàn)檩d體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，應(yīng)該是數(shù)學(xué)拓展性課程中的一種形式。

一、內(nèi)容設(shè)計(jì)構(gòu)想

在一次練習(xí)中，有一道習(xí)題引起了筆者注意：在8×8的棋盤右下角有一顆棋子，甲、乙兩人輪流下棋，規(guī)定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，誰能用自己的棋子占領(lǐng)左上角誰就獲勝，如果甲先下，那么誰會贏？

學(xué)生練習(xí)后，筆者在批改時(shí)發(fā)現(xiàn)，全班沒有一位學(xué)生能夠解決。經(jīng)過交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生無法解決的原因有三：第一，部分學(xué)生不能理解題意，無法解題；第二，無法選擇或有效使用“倒推”這一策略；第三，學(xué)生對必勝策略的尋找毫無頭緒，無從下手。

究其原因，下棋是兩個(gè)擁有理性思維的人之間的一種博弈，如果將這道題完全放給一個(gè)學(xué)生課后單獨(dú)去做，沒有兩個(gè)人之間的對弈經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很難從博弈角度去思考問題，思考也很難全面。

那么，這樣的材料我們何不將其整理變形，構(gòu)架一堂拓展課呢？筆者據(jù)此設(shè)計(jì)了“棋盤上的奧秘”這一數(shù)學(xué)拓展課課例。基本教學(xué)思路：第一，有師生對弈的引領(lǐng)，有生生對弈的探索以及三方討論；第二，課堂中給予學(xué)生充分的對弈體驗(yàn)，讓學(xué)生在與他人下棋的過程中，自主萌生博弈觀念、倒推策略；第三，課程內(nèi)容有一定的難度，因此，材料呈現(xiàn)循序漸進(jìn)，環(huán)節(jié)推進(jìn)張弛有度，逐步逼近學(xué)習(xí)目標(biāo)。

二、教學(xué)內(nèi)容

在“8×8”“8×8-5×5”的棋盤右下角放一顆棋子，以它為起點(diǎn)，兩人輪流在這個(gè)棋盤上下棋，規(guī)定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，誰能用自己的棋子占領(lǐng)左上角誰就獲勝。找出必勝策略。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.在下棋活動中學(xué)會用嘗試驗(yàn)證和倒推的方法探索必勝策略。

2.在經(jīng)歷與他人博弈下棋的過程中，培養(yǎng)邏輯推理能力；嘗試解釋自己的思考過程，培養(yǎng)語言表達(dá)能力。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

四、教學(xué)過程

（一）回顧微課內(nèi)容，引出課程中心

在授課前一天，學(xué)生已在家觀看微課“棋盤上的奧秘”，內(nèi)容為：紅紅和明明兩人在12×12的棋盤上下棋，規(guī)定從右下角開始，兩人輪流下，且只能下在前一顆棋子左上方距離一格或兩格處，誰先搶到左上角的點(diǎn)，誰就獲勝。紅紅因搶到必勝點(diǎn)，三局都獲勝。

師：昨天看了微課，誰能告訴我，為什么紅紅三局都能贏？

生：因?yàn)榧t紅搶到了3號點(diǎn)，在3號點(diǎn)上，不管對手下一格還是下兩格，都能搶到終點(diǎn)。

師：像這樣，不管對手如何下，都能保證必勝的點(diǎn)，我們叫它必勝點(diǎn)。

師：想要下到這個(gè)必勝點(diǎn)，又得下到哪些點(diǎn)呢？

生：想要下到3號點(diǎn)，我們必須搶到2號點(diǎn)，想要搶到2號點(diǎn)，必須搶到1號點(diǎn)。

師：我們用倒推的方法找出了所有的必勝點(diǎn)。所以在這個(gè)棋盤上，要后下，下必勝點(diǎn)，才能獲勝。

【設(shè)計(jì)意圖】這部分內(nèi)容是整堂課的準(zhǔn)備環(huán)節(jié)。有以下幾個(gè)意圖：①在微課中演示12×12的棋盤及根據(jù)相應(yīng)的游戲規(guī)則的操作，便于學(xué)生熟悉棋盤，理解8×8棋盤的游戲規(guī)則；②引出在一維線上進(jìn)行逆向推理的核心能力問題；③定義了必勝點(diǎn)并規(guī)范必勝策略的說法，使學(xué)生后續(xù)作答更具指向性。

（二）利用8×8的棋盤，在對弈中感悟嘗試和倒推

1.理解規(guī)則。

展示題目：在8×8的棋盤上的右下角放一顆棋子，以它為起點(diǎn)，兩人輪流在這個(gè)棋盤上下棋，規(guī)定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，誰能用自己的棋子占領(lǐng)左上角誰就獲勝。

師：如果我的第一顆棋子下在這里，那么你的棋子可以下在哪里？

生：可以下在您的棋子的上面、左面或者左上方。

師生對弈，當(dāng)教師下在距離終點(diǎn)2格處的點(diǎn)時(shí)，學(xué)生認(rèn)輸。

師：老師下到哪個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，你覺得老師一定能贏，為什么？

生：老師下到這個(gè)點(diǎn)時(shí)我覺得老師肯定贏了，因?yàn)槲抑荒芡?，老師就能搶到終點(diǎn)了。

【設(shè)計(jì)意圖】因有12×12棋盤游戲的微課學(xué)習(xí)，學(xué)生對8×8的棋盤上的游戲規(guī)則比較容易理解。同時(shí)，師生對弈是為了保證全班學(xué)生都能掌握游戲規(guī)則，感知第一個(gè)必勝點(diǎn)，為下面找必勝點(diǎn)做鋪墊。

2.探索必勝策略。

師：你想不想贏老師？給你時(shí)間探索贏老師的方法。

師布置任務(wù)：請同學(xué)們拿出練習(xí)紙，你可以和同桌對弈，下到哪個(gè)點(diǎn)的時(shí)候你覺得自己肯定能贏，把這樣的點(diǎn)記錄在必勝點(diǎn)記錄區(qū)。

【設(shè)計(jì)意圖】在這里，我們必須給予學(xué)生充分的對弈體驗(yàn)，在對弈中，讓學(xué)生萌生博弈觀念，倒推思路。

3.反饋。

（1）錯(cuò)誤點(diǎn)

師：請找到這個(gè)點(diǎn)的同學(xué)來說一說是怎么想的。

生：下到這個(gè)點(diǎn)，如果對手往上，我就可以往左上搶到終點(diǎn)；如果對手往左上，我就直接往上搶到終點(diǎn)。

生（反駁）：下到這個(gè)點(diǎn)，如果對手往左，那么我就只能往上，這樣終點(diǎn)就被對手搶到了，所以這個(gè)點(diǎn)不是必勝點(diǎn)。

（2）往下、往右倒推點(diǎn)

師：看來這個(gè)點(diǎn)不能保證我一定能贏，所以這個(gè)點(diǎn)不是必勝點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)呢？

生：如果我搶到這個(gè)點(diǎn)，對手就只能往上，我就能搶到終點(diǎn)。

師：這位同學(xué)也找到了這個(gè)點(diǎn)，同時(shí)還找到了另一個(gè)點(diǎn)，你怎么想？

生：如果我搶到這個(gè)點(diǎn)，對手就只能往左，我就能搶到終點(diǎn)。

（3）右下倒推點(diǎn)

師：你還發(fā)現(xiàn)哪個(gè)是必勝點(diǎn)，說說看。

生：這個(gè)點(diǎn)是必勝點(diǎn)，如果對方往左走，那我也往左，就可以搶到1號必勝點(diǎn)；如果對方往上，那我也往上，就可以搶到2號必勝點(diǎn)；如果對方往左上，那我也往左上，就直接搶到終點(diǎn)，也就是說只要我搶到這個(gè)點(diǎn)，不管對手往哪個(gè)方向下，我都能搶到終點(diǎn)。

師：他說的讓你明白了嗎？誰能用自己的話再來說一說？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的對弈過程，實(shí)際上是一個(gè)試誤的過程，不斷地在各個(gè)點(diǎn)上嘗試，然后發(fā)現(xiàn)：哪個(gè)點(diǎn)上不能保證一定能贏，哪個(gè)點(diǎn)上，不管對手怎么下一定能贏。這里的反饋分為三個(gè)層次，第一個(gè)層次，反饋錯(cuò)誤點(diǎn)，讓學(xué)生再次明確，下棋是一種博弈，在你想往對自己有利的方向發(fā)展時(shí)，對手也是這么想的，只有“不管對手如何下，都能保證必勝的點(diǎn)才是必勝點(diǎn)”；第二個(gè)層次，往右、往下的必勝點(diǎn)推導(dǎo)，為反饋右下必勝點(diǎn)做鋪墊；第三個(gè)層次，右下必勝點(diǎn)推導(dǎo)，右下的必勝點(diǎn)的尋找稍有難度，通過多次復(fù)述的方式，讓學(xué)生充分理解。

4.帶領(lǐng)倒推。

師：那怎么才能搶到這個(gè)點(diǎn)呢？

生：我覺得應(yīng)該搶到這3個(gè)點(diǎn)，搶到1號點(diǎn)，對方往上，我也往上，就能搶到那個(gè)點(diǎn)；搶到2號點(diǎn)，對方往左，我也能搶到這個(gè)點(diǎn)；搶到3號點(diǎn)，對方往左我就能搶到1號點(diǎn)，對方往上，我就能搶到2號點(diǎn)，對方往左上，我就能直接搶到這個(gè)點(diǎn)。

生：我們已經(jīng)知道，要搶到終點(diǎn)，必須搶到離終點(diǎn)兩格的這3個(gè)點(diǎn)。現(xiàn)在，我們可以直接把這個(gè)點(diǎn)當(dāng)成終點(diǎn)，就可以直接倒推出這3個(gè)點(diǎn)。

師：誰能像他這樣來找一找能讓我們搶到這個(gè)點(diǎn)的必勝點(diǎn)？

生：和剛才一樣，我們可以把這個(gè)點(diǎn)當(dāng)成終點(diǎn)，那我必須搶到這3個(gè)必勝點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】這一環(huán)節(jié)是基于學(xué)情的帶領(lǐng)倒推，這里要反饋兩種倒推方式：①邊試誤邊倒推→對前一環(huán)節(jié)的再一次嘗試和鞏固；②建立模型后的倒推→類比倒推，建立模型，學(xué)會簡化。

5.學(xué)生自主找必勝點(diǎn)。

師：你能像剛才那幾位同學(xué)那樣，找到所有的必勝點(diǎn)嗎？試一試。

6.師生對弈2局均生贏。

師生對弈均生贏。

師：看來你已經(jīng)找到必勝策略了。請把你找必勝點(diǎn)的過程，和同學(xué)們說一說。

生：想要搶到這個(gè)點(diǎn)，必須搶到這個(gè)點(diǎn)；想要搶到這個(gè)點(diǎn)必須搶到這個(gè)點(diǎn)；想要搶到這個(gè)點(diǎn)必須搶到這個(gè)點(diǎn)……

師：他剛才是在干嗎？

生：從終點(diǎn)開始往起點(diǎn)倒推。

師：所以必勝策略是？

生：先走，走必勝點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生贏了教師，受到了極大鼓舞，獲得了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感。此環(huán)節(jié)注意引導(dǎo)：想要搶到這個(gè)點(diǎn)，必須搶到這個(gè)點(diǎn)；想要搶到這個(gè)點(diǎn)，必須搶到這個(gè)點(diǎn)……通過語言規(guī)范，領(lǐng)悟“倒推”原理。

7.小結(jié)。

師：回顧一下，為了找到這個(gè)棋盤上的必勝策略，我們先做了什么，又做了什么？

生：先嘗試，找出離終點(diǎn)最近的3個(gè)必勝點(diǎn)，再從終點(diǎn)開始，往起點(diǎn)倒推。

師：同學(xué)們，我們通過倒推的方法找完必勝點(diǎn)之后，老師和這位同學(xué)對弈，其實(shí)就是在驗(yàn)證大家的必勝策略是否正確。（板書：驗(yàn)證）

【設(shè)計(jì)意圖】回顧解決問題的全過程，并告知學(xué)生：必勝策略找到后的對弈其實(shí)是一種驗(yàn)證，使解決問題的過程更完整。

（三）出示8×8-5×5棋盤，引發(fā)認(rèn)知沖突

1.自行找必勝點(diǎn)。

師：把兩個(gè)棋盤放在一起呢？請你獨(dú)立思考，找出必勝策略。

2.反饋。

生：想要搶到這個(gè)點(diǎn)，必須搶到這個(gè)點(diǎn)；想要搶到這個(gè)點(diǎn)必須搶到這個(gè)點(diǎn)；想要搶到這個(gè)點(diǎn)必須搶到這個(gè)點(diǎn)……所以必勝策略是先走，走必勝點(diǎn)。

師：我們來驗(yàn)證一下。（生黑棋先走，師白棋后走）

師：你不是已經(jīng)找到必勝點(diǎn)了嗎？為什么還會輸？

生：必勝策略有誤。

師：我們用驗(yàn)證的方法發(fā)現(xiàn)，我們的必勝策略是有漏洞的。老師下到哪個(gè)點(diǎn)的時(shí)候你覺得必勝策略可能是有漏洞的？

生：沒考慮老師往上走。

師：看來我們認(rèn)為的必勝點(diǎn)，還存在著漏洞，說明我們在倒推的過程中必須考慮對手的各種可能性，讓自己的思維更嚴(yán)謹(jǐn)、更全面。（板書：嚴(yán)謹(jǐn)、全面）。那么真正的必勝點(diǎn)在哪兒呢？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)了前面的知識，學(xué)生會產(chǎn)生思維定勢，以為只要進(jìn)行“田”字倒推即可，這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生產(chǎn)生了強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，從而促進(jìn)學(xué)生反思：①得出必勝策略后要進(jìn)行驗(yàn)證；②倒推時(shí)務(wù)必嚴(yán)密思維。這一環(huán)節(jié)，既讓學(xué)生體驗(yàn)了反思的意義，又讓學(xué)生感受到完整的解決問題的過程。

（四）回顧所學(xué)，全課小結(jié)

師：在今天這堂課上，你有什么新的收獲？

生：在尋找策略的時(shí)候我們可以先嘗試一下，找找感覺。

生：學(xué)會用倒推的方法去解決數(shù)學(xué)和生活問題。

生：思考問題要嚴(yán)密。

生：倒推后的順向驗(yàn)證能幫我們驗(yàn)證倒退結(jié)果是否真的正確。

五、教學(xué)反思

（一）關(guān)于材料

本課例，采用學(xué)生十分喜愛的下棋游戲，學(xué)生興趣高漲，求知欲強(qiáng)烈。從8×8到8×8-5×5，棋盤在不斷地演變，學(xué)生也在層次不斷遞進(jìn)的材料引導(dǎo)下，觸碰他們的“最近發(fā)展區(qū)”，從原來的沒有一個(gè)學(xué)生能夠解決問題，到最后的幾乎每個(gè)學(xué)生都至少能夠解決8×8的棋盤，不同程度的學(xué)生有不同層次的收獲。

（二）關(guān)于過程

在課堂上，教師放手讓學(xué)生通過不斷的試誤，在嘗試中進(jìn)行自我糾錯(cuò)、反思和辨正，在量變下慢慢積累經(jīng)驗(yàn)最后“頓悟”質(zhì)變，讓學(xué)生自發(fā)地去尋找解決問題的策略，有了最深刻的體驗(yàn)。

讓教學(xué)中的每一個(gè)設(shè)計(jì)，都有效服務(wù)于學(xué)生的成長。整堂課的每一個(gè)過程設(shè)計(jì)都有教師的設(shè)計(jì)意圖、細(xì)化目標(biāo)。盡管材料不斷演變，但本課例的每一個(gè)材料都緊緊圍繞“博弈”“倒推”展開，將最大的力氣用在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力上。

（三）關(guān)于內(nèi)容的延伸

授課后，我們也一直在思考棋盤的材料是否有更多可挖掘和探索的地方。如將規(guī)則改成只能往上或往左走，那么必勝策略會怎樣？這時(shí)候必勝策略的得出，除了可以在棋盤上倒推，還可以將棋盤上的路線拉成一根能走17步的線段，那么這時(shí)候棋盤就和搶數(shù)游戲完全相通了，方法和策略也在不同的材料中延伸貫通了，看來很多數(shù)學(xué)游戲可以成為我們開發(fā)的資源。

（浙江省杭州采荷第一小學(xué)教育集團(tuán) 310000）