單愛芬

【摘 要】周長的教學是幾何教學的一個起點，是今后學習各種圖形周長和面積的一個開始，因此在這一單元中培養(yǎng)學生的周長概念和空間觀念就顯得尤為重要?？墒敲鎸W生在作業(yè)當中出現(xiàn)的一些錯誤，我們是就題論題去解決問題呢，還是去思考錯誤背后的根源呢？一個錯題體現(xiàn)的是某一個知識體系的缺失，如果我們能將錯題整合，深度分析原因，改進教學的策略，或許就能提升學生對周長的進一步認識。

【關(guān)鍵詞】錯題整合 拓展 周長 數(shù)學活動

周長的教學是學生學習幾何類圖形的開始，是學生學習的重點。當學生進行單獨的周長學習時，學生總覺得非常簡單易學，而一旦進入深度學習之后，各種各樣的錯誤便暴露出來了。筆者根據(jù)自己的教學實踐，對長方形周長的深度拓展來談一些自己的思考和改進方法。

一、直面錯題——在錯題的困惑中起步

下面是教材中的一道練習題：一張長方形的紙，長30厘米，寬21厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形，正方形的周長是多少厘米？剩下的圖形周長是多少厘米？

求剩下圖形的周長，學生的錯解：

（30+21）×2-21×4=18（厘米）

21×4=84（厘米）

（30-21）×2=18（厘米）

在學生的錯解中我們不難發(fā)現(xiàn)：第一種情況學生是在用大周長減小周長的方法，曲解了對周長本質(zhì)的理解；第二種情況是學生算成正方形的面積了；第三種情況是根本不理解題意，對題目本身的要求不清楚。

周長的教學是我們幾何教學的一個起點，是今后學習各種圖形周長和面積的一個開始，因此在這一單元中讓學生掌握周長概念和培養(yǎng)空間觀念就顯得尤為重要。可是面對學生在作業(yè)當中出現(xiàn)的一些錯誤，我們是就題論題去解決問題呢，還是去思考錯誤背后的根源呢？一個錯題體現(xiàn)的是某一個知識體系的缺失，如果我們能將錯題進行整合，深度分析原因，改進教學策略，或許就能提升學生對周長的進一步認識。

二、深度解讀——在錯題的類聚中提煉

一般情況下，作為教師首先想到的是對題目進行詳細講解，然后進行一定題量的訓練?？墒窃谝院蟮木毩曋形覀儾浑y發(fā)現(xiàn)，學生還是會錯，要么拼錯圖形，要么不知道怎么拼、怎么剪，要么用減法來求剩余圖形的周長、用加法來求合并后圖形的周長。從有些學生的解答上來看，好像是學生由于審題不清導致的解答錯誤，但是在粗心的背后，也反映出了學生認知上的某些缺失和障礙。即使有些學生會解題了，但題目本身所蘊含的數(shù)學思想學生就沒有想得那么多了，因為他們沒有從根本上理解圖形拼剪后周長的變化規(guī)律，所以這不僅僅是因為題目偏難學生不會做，也不僅僅是因為學生審題不清。其實任何知識的偏漏，都有它基礎構(gòu)建的缺失，筆者認為主要的原因不外乎以下三點。

1.對周長概念的建立不夠透徹，即周長教學時概念的外延不夠豐富，特別是變式呈現(xiàn)缺失。錯誤的解答通常不是由于錯誤的審題所致，也不是教師沒有教過這方面的內(nèi)容，錯誤的解答常常有著理論的支撐，如果要理解題目，那么了解學生的理解就顯得非常重要。學生為什么會用減法來求剩余圖形的周長、用加法來求合并后圖形的周長，就是沒能很好地理解“封閉圖形一周的長度”這個概念。對于這種組合圖形，當周長以變化的方式呈現(xiàn)以后，學生就更加找不到周長了。因此，“周長”概念的建立是學生學習的一個重點，很多錯誤都與周長概念建立的不扎實有關(guān)。

2.學生由于缺乏動手操作的機會，導致由形象到抽象的空間想象能力不夠。在課堂教學中，出現(xiàn)最多的就是就題論題，學生的經(jīng)驗無非就是用求周長的方法來指導解題，因此學生的思維也就停留在較淺的思維層次，對于一些稍復雜的思維題學生就束手無策了。這是因為在面對文字表述的問題時，未能在大腦中形成相應的空間圖形，由于在平時的課堂中缺乏相應的操作建立的一種表象，故而也就無法抽象出剪拼后對圖形周長的理解。即使有學生有意識地在大腦（草稿紙上或借助實物）中對圖形進行拼割，也很難完成拼割的過程，可見學生對圖形的空間想象能力是相當缺乏的。

3.學生數(shù)形結(jié)合意識的缺失。面對這些拼割問題，學生僅停留在數(shù)與數(shù)之間的運算狀態(tài)，缺少形的指導并與形有效對接，學生就無法抽象出對題意的理解。即使學生有以形指導的意識但未能在形的基礎上找出相應的數(shù)據(jù)，這樣的情況下解題還是有一定困難的?？梢姅?shù)形結(jié)合意識的缺失不但是學生數(shù)學發(fā)展上的一個障礙，也是我們教師在教學過程中的一個薄弱點。

三、活動整改——在操作活動中發(fā)展

（一）解讀題型

錯例中的題目和教材中的題目都是通過剪拼來呈現(xiàn)的，這幾道題不僅是為了鞏固長方形和正方形周長的計算，更是為了發(fā)展學生的空間觀念，在剪拼過程中立體地感受周長。如果單一地分析題目，學生很難從題目當中立體地呈現(xiàn)周長的變化，周長的增加和周長的減少其實是同一個系列的變化，它們同屬于對周長知識的一次拓展和提升，鞏固和發(fā)展對周長的理解有著舉足輕重的作用。

（二）活動意圖

綜觀這些易錯題，要想將里面所蘊含的空間想象和數(shù)學思想在新課教學當中馬上落實，這是有一定困難的，這需要學生有一個積累和成熟的過程。但是如果分解在不同的時段里教學，又會將題目本身所蘊含的數(shù)學思想分解得支離破碎。本著對錯誤資源的充分利用和對教材的整合，既減輕學生的學習負擔，又能拓展學生對周長的深度思考，所以本次教學改進將在利用錯題資源的基礎上整合教材，以數(shù)學活動課的形式呈現(xiàn)。設想在教學中體現(xiàn)：①周長概念外延的拓展和變式的呈現(xiàn)，在活動課中重點突破“加減法意義”的負遷移，拓展學生對周長的立體思考。②通過實物操作、畫圖操作、想象操作三個層次的活動培養(yǎng)學生的空間意識。③在數(shù)學教學中有意識地進行數(shù)形結(jié)合思想的滲透和培養(yǎng)。力求在資源的整合中，進一步發(fā)展學生的空間想象能力和空間觀念。

（三）活動方案

1.復習引入。

師：同學們，這是一張長方形紙，它的周長在哪里，你能描出來嗎？（學生說，老師在黑板上描）

師：老師告訴你們這個長方形的長和寬分別是18厘米和12厘米，請你算出它的周長。板書：（18+12）×2=60（cm）。

2.探究。

（1）探究大圖形變成幾個小圖形后周長的變化規(guī)律。

①取最大的正方形。

猜：你能在這個長方形中剪出一個最大的正方形嗎？你覺得最大的正方形邊長應是多少？為什么？

折：這個最大的正方形你能把它折好并撕下來嗎？（用同樣的方法描到黑板上）

算：請算一算這個最大正方形的周長。板書：12×4=48（cm）。

②求剩下小長方形的周長。

你能根據(jù)前面的計算結(jié)果直接口算出這個小長方形的周長是多少嗎？你是怎樣想的？

學生可能的答案：60-48=12 （總周長—正方形周長） 還有沒有不同意見呢？讓學生充分表達自己的想法。

（這是教學的關(guān)鍵處，可充分讓學生思辨。在此關(guān)注學生的錯誤，暴露學生的思維，并適時進行教學改進。）

驗證學生的想法：量或算剩下小長方形的長和寬并得出結(jié)果。

（12+6）×2=36（cm）

③重點討論為什么不是12而變成36呢？（這和學生的生活及數(shù)學學習經(jīng)驗，求剩下只要直接相減的原有認知產(chǎn)生強烈的沖突）

教師順勢用課件展示周長的變化過程，讓學生清晰看到剪下后多出兩條邊。

小結(jié)：大長方形變成一正一長后，雖然它們的大小沒變，但周長卻變化了，增加了兩條邊，這就是本節(jié)課共同討論的內(nèi)容。（板書課題：周長的變化）

④提升認識：（課件展示繼續(xù)剪的情況）從大長方形圖中每剪一次多出了兩條邊。

（2）探究幾個小圖形變成大圖形后周長的變化規(guī)律。

①拼兩個小長方形。

現(xiàn)在大家的手中都有一個小長方形。請同桌的兩個小長方形拼一拼，你能拼成什么圖形？

學生討論拼的情況，先猜想周長是多少再計算。（請學生在黑板上畫示意圖，試拼并計算）

橫拼或疊加兩種。根據(jù)學生回答板書。

（24+6）×2=60 12×4=48

重點交流：周長為何從2個36減少到了60或48了呢？兩種拼法的周長為何又不一樣呢？

深化認識：如果我們把四個同學的小長方形拼起來，周長又是多少呢？五個呢？借助課件幫助學生深化認識。

②拼正方形。

那個撕下的正方形，你也會拼嗎？（小組合作）

a. b. c.

把拼后的示意圖畫下來，描出所求圖形的周長，并說說會出現(xiàn)怎樣的情況。

（這樣做既可以使學生獲得豐富的表象，發(fā)展空間觀念，又可使學生學好抽象的數(shù)學知識，把抽象思維與形象思維緊密結(jié)合起來，利于發(fā)展學生的思維能力。）

你能用不同的方法來計算周長嗎？

a.數(shù)邊計算 b.套用公式計算 c.周長總和減減少的邊

③提升。

在拼的時候，我們不管用怎樣的方法計算，最后周長總會比單個周長總和要減少。

得出結(jié)論：每拼一次，隱去兩條邊。

（3）每課一得：這節(jié)課你有什么新的收獲？

結(jié)論：合拼周長減兩邊；分拆周長增兩邊。

（4）在練習中深化學生對周長變化規(guī)律的認識。

剛才我們在大長方形中剪了一個最大的正方形，如果我們只要求剪出剩下的那個小長方形，只有一種剪法嗎？試著剪一剪，并比較剩下圖形的周長和原圖形周長的大小變化。

通過練習，讓學生明白圖2周長變小，圖3周長相等，圖4至圖6周長變大。

[圖1][圖2][圖3][圖4][圖5][圖6] 總之，在操作過程中，各種拼剪后的圖形在學生腦中建立了表象，有效提升了學生的空間想象能力，可以說能夠為今后進一步學習幾何圖形打下了一定空間想象基礎。學生通過拼剪，感受到了周長的變化規(guī)律，為今后的面積學習在變和不變的規(guī)律中尋求知識的支點。盡管這一次的數(shù)學活動的嘗試，對于部分學生來講加大了教學的難度，但是既要拓展學生的認知空間又要處理好重點的把握和難度的跨越，這兩者之間也有一個矛盾的結(jié)合體，于是我們也只能在兩者之間尋找一個平衡的支點，即使戴著“鐐銬”也別忘自己是個舞者。

（浙江省紹興市柯橋區(qū)實驗小學 312000）