鄭毓信

【摘 要】對于“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這一問題的思考，不僅有利于實際教學(xué)工作的改進，也能實際地檢驗一下經(jīng)過這些年的課改實踐我們在基本的理論思想上究竟有了多大提高，它也是廣大教育工作者能否真正做好自身工作的根本保證。就低年級而言，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)堅守“過度的規(guī)范要不得、美國式的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得、不講道理的‘簡易算法要不得、過分注重‘速度的考核要不得”等原則，才能切實防止由于不適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容與考核方式對學(xué)生的成長造成的嚴(yán)重的消極影響。廣大一線教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合自己的教學(xué)對于上述論題做出進一步的分析總結(jié)，不僅要關(guān)注“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得？”也要思考包括“我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去進行數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)？”

【關(guān)鍵詞】低年級 數(shù)學(xué)教學(xué) 要不得

“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得？”這一問題對于大多數(shù)經(jīng)歷過新一輪課程改革全過程的教師來說并不陌生，因為對于基礎(chǔ)教育傳統(tǒng)教學(xué)方式包括數(shù)學(xué)教學(xué)方式的否定，正是課改初期十分普遍的一個說法，一些人士更是提出過某些極端性的言論，盡管其所依據(jù)只是少數(shù)案例以及若干“專家”的“即興式診斷”，比如“這是我們行之已久的認(rèn)為很高水平的課，但就是這樣的課，是需要根本上變革的”“我們的基礎(chǔ)教育是過時的、落后的，需要做重大改革”“全國1300萬教師需要改變教育方式，3億學(xué)生需要改變學(xué)習(xí)方法，6億以上的家長需要改變幫助孩子學(xué)習(xí)的做法”等。（王宏甲，《新教育風(fēng)暴》，北京出版社，2004）從現(xiàn)今的角度看，上述言論只能說起到了混淆視聽的作用，但我們顯然又不應(yīng)因此而否定深入思考“什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得”這一問題的重要性，而應(yīng)更加強調(diào)實事求是、以理服人這樣一個原則。另外，在筆者看來，這也正是在今天重新開展這一方面思考的一個很大優(yōu)點，不僅有利于實際教學(xué)工作的改進，也能實際地檢驗一下經(jīng)過這些年的課改實踐我們在基本的理論思想上究竟有了多大提高，而這當(dāng)然又應(yīng)被看成廣大教育工作者能否真正做好自身工作的根本保證。

正是基于這樣的思考，筆者就十分希望廣大一線教師也能對以下實例包括筆者的分析提出自己的看法，包括舉出這方面的更多教學(xué)實例以有利于人們認(rèn)識的進一步發(fā)展和深化。

以下的實例將集中于小學(xué)低年級的教學(xué)，希望能有助于破除這樣一個認(rèn)識誤區(qū)：小學(xué)低年級的數(shù)學(xué)教學(xué)沒有多大問題，從而也就根本認(rèn)識不到進一步前進的方向。希望這一論題也能引起讀者的普遍重視。

一、過度的規(guī)范要不得

稍有經(jīng)驗的教師都知道，對于剛剛離開幼兒園或從未接受過幼兒園教育的一年級小學(xué)生而言，教師必須幫助他們盡快地適應(yīng)學(xué)校的正規(guī)學(xué)習(xí)生活，特別是盡快養(yǎng)成自覺遵守各種規(guī)章制度的良好習(xí)慣；也正如此，小學(xué)一年級無論哪個學(xué)科都必須十分重視教學(xué)的規(guī)范性，應(yīng)當(dāng)在各個方面對學(xué)生提出明確的要求；但是，相關(guān)教學(xué)是否也應(yīng)具有一定的開放性？大多數(shù)人對此都會持肯定的態(tài)度，因為，我們不希望學(xué)生從一年級起就變成被馴服的小綿羊。從而，這里的關(guān)鍵就在于我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去處理教學(xué)的規(guī)范性與開放性之間的關(guān)系。以下就通過實例提出若干問題供讀者分析和思考，而這事實上也可被看成一線教師如何結(jié)合自己的教學(xué)積極開展教學(xué)研究的實例。

[例1] 阿拉伯?dāng)?shù)字的寫法。

阿拉伯?dāng)?shù)字的寫法是否應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格地加以規(guī)范，乃至明確提出“4必須是‘開口的”“8必須是‘封口的”這樣一些要求，并讓學(xué)生嚴(yán)格地遵守？

[例2] “兩步計算題”的書寫方式。

我們在教學(xué)中是否應(yīng)當(dāng)提出這樣的要求：“兩步計算題”必須清楚寫明相應(yīng)的過程，包括先算什么？所得出的結(jié)果又是什么？書寫方式也必須符合一定的規(guī)范，如學(xué)生必須用直尺畫出表示“第一次計算”的短線，得出的中間結(jié)果也必須清清楚楚地寫在下邊。如：

3 + 6 + 6 = 3 + 6 + 6 =

3 + 6 + 6 = 3 + 6 + 6 = 15

9 9

筆者之所以認(rèn)為這兩個例子比較簡單，主要是相信大多數(shù)讀者對于上述問題都會有較一致的看法。對此，由以下的事實就可清楚地看出：隨著學(xué)習(xí)活動的深入，肯定不會有教師始終堅持上述的要求。但是，在此仍然存在這樣的問題：我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去掌握相關(guān)的“度”？什么又是“放松要求”的適當(dāng)時機？

相對而言，對于以下問題人們或許就會有更多的不同看法。

[例3] 依據(jù)圖形寫出相應(yīng)的計算式：

（1） ○○○○○ ○○○○

└─────┚

？

（2） ？ ○○○○

└─────┚

9

進而，如果不了解相關(guān)的教學(xué)情境，相信有不少人特別是很多家長都會覺得以下的“標(biāo)準(zhǔn)答案”令人難以接受：

（1） 5 + 4 = 9 （√）； 4 + 5 = 9 （√） ； 5 - 4 = 1 （×）。

（2） 9 - 4 = 5 （√）； 5 + 4 = 9 （×）。

以下就是相關(guān)的“教學(xué)情境”：就圖形（1）而言，當(dāng)時教的只是加法，還沒有正式引入減法；圖形（2）則是正式教了減法以后布置的練習(xí)題。

但是，如果從較抽象的角度去分析，這兩個圖形所反映的難道不是同一個數(shù)量關(guān)系嗎？進而，我們在教學(xué)中究竟是要求學(xué)生嚴(yán)格按照教師或教材指引的路徑去進行思考，還是應(yīng)當(dāng)更加提倡學(xué)生的獨立思考？更具體地說，這也就是指，我們在此究竟應(yīng)當(dāng)致力于引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)格按照指定的算法（加法或減法）去把握數(shù)量間的關(guān)系，還是應(yīng)當(dāng)集中于數(shù)量關(guān)系本身的認(rèn)識與分析，包括在計算方法與計算次序等方面保持一定的開放性？

由于缺乏實際教學(xué)經(jīng)驗，對于上述問題筆者就無從提供明確的解答，但這又正是筆者在這方面的基本想法：即使是一年級的數(shù)學(xué)教學(xué)，也應(yīng)有一定的開放性。就上述的實例而言，筆者希望廣大一線教師能夠聯(lián)系自己的教學(xué)實踐深入地去思考這樣一些問題。

第一，上述的兩個問題是否都可被看成所謂的“開放題”？或者說，我們是否應(yīng)當(dāng)只是在從事“開放題”的專門教學(xué)時才想到教學(xué)的開放性，還是應(yīng)當(dāng)將一定程度的開放性看成數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)始終堅持的一種品質(zhì)？當(dāng)然，這又是這方面更為基本的一個問題，即我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去理解數(shù)學(xué)教學(xué)的“開放性”？

第二，這正是“算術(shù)思維”與“代數(shù)思維”的一個重要區(qū)別：前者主要集中于計算方法，后者則更加強調(diào)數(shù)量關(guān)系的分析（這兩者可被看成分別體現(xiàn)了所謂的“操作性觀念”和“結(jié)構(gòu)性觀念”）；進而，又由于這可被看成小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個重要方向，即我們應(yīng)當(dāng)積極提倡“代數(shù)思維”在算術(shù)教學(xué)中的滲透（對此可見另文“高觀點指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，2014年12期），因此，我們在此也就可以提出這樣的問題：上述的“錯誤做法”是否被看成“代數(shù)思維”（或“結(jié)構(gòu)性觀念”）的具體體現(xiàn)，從而我們在教學(xué)中也就應(yīng)當(dāng)予以適度的容忍乃至一定的肯定？

但是，上述主張對于一年級教學(xué)而言是否要求過高了？為了幫助讀者進行思考，在此可以改換一下問題的表述方法：上述不同的做法事實上也可被看成涉及了思維的不同方向，特別是“減法”的教學(xué)在很大程度上即可被看成學(xué)生學(xué)習(xí)“逆向思維”的實際開端，但就上述的圖形（2）而言，寫出“5 + 4 = 9”（而非“9–4 = 5”）難道不是更加接近人們的“日常思維”（“順向思維”）嗎？進而，從發(fā)展的角度看，這又正是學(xué)生在“方程”的學(xué)習(xí)過程中所必須經(jīng)歷的又一次重要的思維方式的轉(zhuǎn)變，即是由“逆向思維”重新轉(zhuǎn)回“順向思維”（這方面的一個實例可見劉燕的“‘方程的意義教學(xué)實錄”，《小學(xué)教學(xué)》，2016年第10期），那么，一年級的教學(xué)是否也就應(yīng)當(dāng)給所說的“第二次轉(zhuǎn)變”留下足夠的回轉(zhuǎn)余地呢？更一般地說，這顯然也就直接涉及這樣一個問題：我們究竟應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識與把握數(shù)學(xué)教學(xué)的“規(guī)范性”？

在完成了上述的思考以后，建議讀者還可用以下實例檢驗一下自己的思想深度，我們是否應(yīng)當(dāng)將題后所列出的“學(xué)生做法”都看成是必須糾正的？

[例4] 填空：

（1） 9 + 6 = 9 + （ ） + （ ）= 10 + （ ） = （ ）

學(xué)生的做法：9 + 6 =9+（3）+（3） = 10 + 5 =15

教師的判決： （×）

（2） 7 + 5 = 7 + （ ） + （ ） = 10 + （ ）= （ ）

學(xué)生的做法：7 + 5 =7+（1）+（4）= 10 + 2= 12

教師的判決： （×）

最后，筆者再次表達(dá)這樣一個愿望：希望上面的分析能夠引發(fā)讀者的思考，包括聯(lián)系自己的教學(xué)實踐舉出更多的實例和問題。我們應(yīng)當(dāng)努力做到“小中見大”，不應(yīng)“就事論事”地去進行總結(jié)與反思，而應(yīng)從更一般的角度進行分析思考，從而對新的教學(xué)活動發(fā)揮更大的啟示或促進作用。

二、美國式的數(shù)學(xué)教學(xué)要不得

《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社，2011）是中國旅美學(xué)者馬立平博士撰寫的一部數(shù)學(xué)教育名著，其中對中美兩國的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，特別是課堂教學(xué)的現(xiàn)實情況進行了深入的比較研究。按照這一著作，以下就是美國小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中經(jīng)?？梢钥吹降囊环N現(xiàn)象（她稱為“過程式教學(xué)”）：教師首先指明今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如“多位數(shù)的乘法”，然后就通過直接示范告訴學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何去做，而學(xué)生所要做的就是牢固記憶與簡單模仿，對于隱藏在具體算法背后的算理則完全不用理會。另外，甚至還有相當(dāng)一部分美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師其本身也未能真正弄清這些算法背后的算理，從而自然也就不可能在課堂上很好地去講清道理，幫助學(xué)生真正實現(xiàn)“理解學(xué)習(xí)”（就算法的掌握而言，也即真正做到“寓理于算”）。

以下就是這一著作中直接引用的幾位美國小學(xué)數(shù)學(xué)教師面對“為什么可以按照指定的算法從事多位數(shù)的乘法”所給出的解答（第29頁）：“那很困難……因為你經(jīng)常這么做……這是公認(rèn)的法則……我的意思是，這是別人教我們做的方法?！保‵ay女士）“因為這是正確的做法。這是我所學(xué)到的做法。這是對的?！保‵iona女士）“我不記得這個法則，我不記得為什么要這么做。就像當(dāng)初別人教我那樣，你就這么做。”（Felice女士）

當(dāng)然，這又正是這一著作更為重要的一個論點，即是中美兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)就總體而言存在的十分重要的區(qū)別。例如，就上面所提到的“多位數(shù)的乘法”而言，中國絕大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師所采取的都是“概念式教學(xué)”，從而也就與美國的情況構(gòu)成了明顯的對照。但是，筆者在此所要提出的卻是這樣一個問題：在中國是否也會看到所說的“美國式教學(xué)”？

以下就是一個真實的課例。

[例5]“多位數(shù)除以一位數(shù)”與“機械教學(xué)”。

這是“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”教學(xué)的一個中間環(huán)節(jié)，主要涉及“首位或中位有余數(shù)”的情況。以下則是相關(guān)教材（蘇教版三年級上冊第58頁）中所提到的一個實例。

一位教師在課堂上采取了如下的教學(xué)方法：她首先在黑板上演示了正確的算法，包括一邊做一邊對相關(guān)的計算步驟做出具體說明：“7除2等于3，2乘3等于6，7減6等于1；將3移下來得到13，13除2等于6，2乘6等于12，13減12等于1，將8移下來得到18，18除2等于9，所以，最終的答數(shù)是369。”然后，教師又要求全班跟著她大聲地重復(fù)上述的解題步驟，再過渡到由個別學(xué)生在全班進行重復(fù)，包括由學(xué)生自動報名以及由教師直接指定學(xué)生等，教師則有針對性地加以評價，包括表揚與細(xì)節(jié)的逐一糾正等，直至最終全班至少是大多數(shù)學(xué)生都能正確地加以復(fù)述，因而從形式上看似乎也就已經(jīng)較好地掌握了相應(yīng)的算法。

你在現(xiàn)實中是否也曾見到過這樣的教學(xué)方法？或是也曾采用過這樣的教學(xué)方法？當(dāng)然，這里的關(guān)鍵不在于這種方法究竟應(yīng)當(dāng)被歸屬于“美國式”還是“中國式”，而是這種方法究竟有什么問題或不足之處？希望每一個讀者都能首先對此做出認(rèn)真的思考。

筆者的看法是：這樣的教學(xué)方法不可??！因為，采用這一教學(xué)方法必然地會造成嚴(yán)重的后果。對此可以首先聯(lián)系數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)來進行分析。

正如人們普遍了解的，隨著新一輪課程改革的深入，人們已經(jīng)形成了這樣的共識：數(shù)學(xué)教學(xué)絕不應(yīng)停留于“動手”，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由單純“動手”轉(zhuǎn)向積極的“動腦”，因為，這直接關(guān)系到數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，即是我們應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)促進學(xué)生積極地去進行思維，并能通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步學(xué)會思維。

顯然，從上述角度去分析，對于上述實例我們也就可以提出這樣的責(zé)疑：盡管其中所涉及的主要是“動嘴”而不是“動手”，但是，我們顯然也不應(yīng)因此而忽視了如何能夠促使學(xué)生積極地去進行思考。

更具體地說，由于“問題引領(lǐng)”即可被看成教師如何引導(dǎo)學(xué)生積極進行思維的關(guān)鍵，因此，“問題”的缺失顯然就可被看成上述教學(xué)活動十分明顯的一個弊病。例如，面對“首位或中位有余數(shù)”這一新的情況，我們就應(yīng)首先引導(dǎo)學(xué)生具體地去分析是什么原因造成這一情況發(fā)生的。進而，我們又如何應(yīng)用已有的知識和經(jīng)驗去解決所面對的問題？等等。

更一般地說，筆者以為，上述的實例也可被看成十分清楚地表明了明確提倡“三維目標(biāo)”的重要性，因為，如果單純從知識層面特別是依據(jù)書面考試的成績?nèi)ミM行分析，我們恐怕很難發(fā)現(xiàn)上述的教學(xué)方法究竟會造成怎樣的后果。但這恰又是我們在此應(yīng)當(dāng)特別強調(diào)的一點：如果完全忽視了促進學(xué)生思維的發(fā)展這樣一個基本目標(biāo)，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)被看成是完全失敗的！

其次，上述關(guān)于“問題引領(lǐng)”的分析顯然也已清楚地表明了這樣一點：要促進學(xué)生積極地進行思維，必然要求我們在教學(xué)中更多地采取學(xué)生主動探究和合作互動等教學(xué)方式，這也就不能不說是上述教學(xué)活動的又一不足之處，即沒有給學(xué)生的主動探究與合作互動留下任何的空間；更甚至，由于學(xué)生始終只是忙于記憶與復(fù)述，也就根本沒有任何可能展示自己真實的思維活動，因而相關(guān)的教學(xué)活動也就不可能具有任何的針對性。

當(dāng)然，除去從教學(xué)方法的角度進行分析以外，我們在此還應(yīng)考慮到這樣一個更為基本的問題，即我們應(yīng)當(dāng)如何去落實學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主體地位，因為，如果我們的學(xué)生始終處于完全被動的地位，那么，即使就數(shù)學(xué)知識的掌握而言，也會造成十分嚴(yán)重的后果，包括學(xué)生的兩極分化。后者即是指，除非學(xué)生具有較高的天賦或是有較好的輔導(dǎo)環(huán)境，一般學(xué)生應(yīng)當(dāng)說都很難沿著“機械學(xué)習(xí)”的道路走得很遠(yuǎn)，而是遲早都會成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的失敗者，而這當(dāng)然又會對他們的整個人生產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響。例如，正是從后一角度去分析，美國著名數(shù)學(xué)教育家戴維斯就曾明確指出，我們的數(shù)學(xué)教育已接近于毀滅年輕的一代！

由以下的分析我們即可更好地理解“學(xué)生為什么很難沿著‘機械學(xué)習(xí)的道路走得很遠(yuǎn)”：如前所述，死記硬背與簡單模仿正是“機械學(xué)習(xí)”的主要特征，但是，硬記的東西容易忘記，再需要時往往也不能通過主體自身的努力得到“重構(gòu)”，再則，簡單的記憶和模仿顯然也不足以保證所習(xí)得的“知識”具有可遷移性，從而事實上就只能被看成是一種簡單的技能，而非真正的知識。

在此還應(yīng)看到這樣一種嚴(yán)重的后果：一旦我們習(xí)慣了機械的學(xué)習(xí)方法，往往就會在不知不覺之中形成一些錯誤的觀念，即如“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法就是記憶和模仿，你不用去理解，也不可能真正搞懂”“沒有學(xué)過的東西就不可能懂，學(xué)生的職責(zé)就是‘接受，老師的職責(zé)則是‘給予”……顯然，這些必然會對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重的消極影響。

由以下的實例可以看出，上述的分析實非言過其實：盡管已經(jīng)學(xué)過了如何求解“首位（百位）有余數(shù)”的問題，在面對如何求解“中位（十位）有余數(shù)”的問題時，一個學(xué)生仍然不知道如何去做，還振振有詞地說：“這個老師還沒有教，當(dāng)然不會做！”

再者，由上面的介紹我們顯然也可立即聯(lián)想到相關(guān)的教學(xué)還有這樣一個弊?。河捎谡Z言活動也即逐一地重復(fù)應(yīng)當(dāng)實施的各個具體步驟，必然占據(jù)了很多的教學(xué)時間，因此，教師在課堂上就沒有時間去處理更多的重要問題，特別是如何幫助學(xué)生做到真正的理解，又如何能以所接觸的例題為背景，通過不同例子的比較與相關(guān)方法的應(yīng)用很好地去掌握相關(guān)的基本技能，乃至放手讓學(xué)生自由地去進行探究，從而發(fā)現(xiàn)各種可能的計算方法，并能通過積極互動最終達(dá)到更大的思維深度。

最后，上述的分析顯然也為我們應(yīng)當(dāng)如何去從事這一內(nèi)容的教學(xué)提供了直接啟示。具體地說，除去所已提到的“問題引領(lǐng)”以及積極采取“學(xué)生主動探究”與“合作互動”等教學(xué)方法以外，我們在此又應(yīng)特別強調(diào)這樣一點，即是教師應(yīng)當(dāng)自覺地應(yīng)用“聯(lián)系的觀點”去指導(dǎo)這一內(nèi)容的教學(xué)。

具體地說，這首先就是指除法與乘法的聯(lián)系，因為這不僅直接關(guān)系到相關(guān)算法的本質(zhì)，也有助于學(xué)生相對獨立地去發(fā)現(xiàn)相關(guān)的算法，即是我們?nèi)绾文軌蛴谩俺朔谠E”去解決“除法”的問題。其次，這也十分有利于學(xué)生對于相關(guān)算法的很好掌握，如乘除法的豎式計算有什么不同，“從末位開始”與“從首位開始”，“進位”與“退位”，等等；當(dāng)然，在這兩者之間也有很多的共同點，例如，無論就乘法或是除法而言，不同數(shù)位上的數(shù)的算法都與個位數(shù)的算法完全一樣（這并可被看成所謂的“多單位概念結(jié)構(gòu)”的集中反映）。再者，又無論所涉及的是“進位”還是“退位”，“位值制”都可被看成它們的共同基礎(chǔ)。最后，由于所謂的“舉三反一”和“舉一反三”即可被看成相關(guān)的教學(xué)能否幫助學(xué)生真正做到“理解學(xué)習(xí)”的關(guān)鍵，這顯然也就更為清楚地表明了用“聯(lián)系的觀點”指導(dǎo)這一內(nèi)容的教學(xué)的重要性，這也就是指，我們既應(yīng)通過眾多實例的比較幫助學(xué)生很好地實現(xiàn)相關(guān)的抽象，也即方法的“模式化”，而且還應(yīng)通過適當(dāng)?shù)淖兓瘞椭鷮W(xué)生逐步學(xué)會如何能將所說的模式或方法應(yīng)用于新的不同的場合或?qū)ο蟆?/p>

在此我們還應(yīng)特別強調(diào)這一研究的普遍意義：這清楚地表明小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視算法與算理學(xué)習(xí)的很好結(jié)合，真正做到“寓理于算”。用更為通俗的語言來說，這也就是指，我們不僅要教會學(xué)生如何去算，也應(yīng)幫助他們很好地了解為什么可以這樣算，乃至能夠?qū)Υ俗鞒銮宄谋硎觥?/p>

（未完下期待續(xù)，敬請期待）

（南京大學(xué)哲學(xué)系 210093）