◇華 妹 岳增成

故事串聯(lián) 探究為重
——數(shù)學(xué)史融入“位置的表示方法”的教學(xué)

◇華 妹 岳增成

一 引言

“位置的表示方法”是滬教版教材四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣場”中的內(nèi)容，編排相當(dāng)簡單，僅在呈現(xiàn)海島圖的基礎(chǔ)上，設(shè)置了用數(shù)對(duì)表示位置、根據(jù)數(shù)對(duì)確定位置兩組題目，這樣處理未能體現(xiàn)出數(shù)對(duì)內(nèi)容是一維數(shù)射線向二維平面轉(zhuǎn)化這一關(guān)鍵知識(shí)，而這一知識(shí)卻是滲透坐標(biāo)思想的主要內(nèi)容。目前已有案例中存在沒有從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生“很自然地”跟著教師的思路用兩個(gè)數(shù)表示物體的位置，僅從知識(shí)掌握的角度出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，缺乏情境的有效串聯(lián)等問題，很難達(dá)到促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展、為學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何奠定基礎(chǔ)的目的。

不能從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，不能有效地設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，是目前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在的問題。該如何解決呢？數(shù)學(xué)史帶來了很好的啟示，因?yàn)閿?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂具有激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，向?qū)W生展示概念的發(fā)展過程，以加深他們對(duì)概念的理解，為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)等教育價(jià)值。[1]

鑒于此，本節(jié)課欲達(dá)成如下目標(biāo)：（1）結(jié)合具體情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用有序數(shù)對(duì)表示物體的位置，會(huì)根據(jù)已知數(shù)對(duì)對(duì)物體進(jìn)行定位；（2）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)對(duì)確定物體位置的發(fā)生、發(fā)展過程，體驗(yàn)用數(shù)對(duì)確定物體位置的必要性和簡潔性，滲透坐標(biāo)的思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念；（3）引導(dǎo)學(xué)生在“參與”古人的活動(dòng)過程中，了解數(shù)學(xué)人文的一面，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心。

二 材料及其運(yùn)用

用數(shù)對(duì)表示物體位置的思想古已有之，最早可以追溯到古埃及時(shí)期。古埃及的土地測量員在規(guī)劃土地、城鎮(zhèn)時(shí)，會(huì)在一個(gè)由直線構(gòu)成的方格中放入象形文字符號(hào)表示土地、建筑物的位置，后來古希臘的地理學(xué)家、天文學(xué)家會(huì)用經(jīng)緯度對(duì)天空、地球表面的位置進(jìn)行定位，古羅馬的土地測量員甚至?xí)靡桓鶘|西走向和一根南北走向的軸線對(duì)城鎮(zhèn)進(jìn)行布局。

然而，真正使數(shù)對(duì)知識(shí)理論化的人是勒內(nèi)·笛卡兒（René Descartes，1596—1650）。他是法國著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、科學(xué)家。據(jù)傳，笛卡兒一直在為解決動(dòng)態(tài)幾何問題而絞盡腦汁。一天早晨，當(dāng)他醒來的時(shí)候，看見一只蒼蠅正在他屋頂?shù)奶旎ò迳吓佬?，他豁然開朗：如果知道了蒼蠅與兩相鄰墻壁的距離之間的關(guān)系，就可以描述出蒼蠅在天花板上爬行的路線?；诖?，他創(chuàng)建了坐標(biāo)系，這樣一來，在坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)的位置就可以用數(shù)對(duì)，也就是坐標(biāo)表示出來了。

據(jù)此，我們以笛卡兒的故事引入新課，重現(xiàn)笛卡兒建立坐標(biāo)系的過程，通過一維數(shù)射線向二維平面的轉(zhuǎn)換，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并以笛卡兒一天的活動(dòng)為線索，創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷數(shù)對(duì)的發(fā)生、發(fā)展過程。

三 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1．新課引入。

教師問學(xué)生是否知道笛卡兒，接著介紹笛卡兒的生平：“他是17世紀(jì)法國著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)方面有很多貢獻(xiàn)，也說過很多名言，比如，越學(xué)習(xí)越發(fā)現(xiàn)自己的無知；讀杰出的書，猶如和過去最杰出的人物促膝交流。這些都鼓勵(lì)我們要多讀書、讀好書?！彪S后，運(yùn)用笛卡兒發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)系的故事引入新課：“笛卡兒小的時(shí)候因?yàn)樯眢w虛弱，養(yǎng)成了早上賴床的習(xí)慣，而賴床的時(shí)間他都用來沉思。有一天早上，他蒙蒙眬眬地醒過來，看見天花板上有只蒼蠅在爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰的兩面墻壁的距離之間的關(guān)系，就可能描述它的路線了?！?/p>

2．概念探究。

教師出示天花板與蒼蠅圖片（如圖1），問學(xué)生：“當(dāng)蒼蠅在天花板邊界時(shí)，我們?cè)趺创_定它的位置？”通過追問，學(xué)生回想起數(shù)射線的有關(guān)內(nèi)容。

教師在圖1中呈現(xiàn)數(shù)射線，并引導(dǎo)學(xué)生說出蒼蠅在數(shù)射線上的位置是5，總結(jié)出在數(shù)射線上用一個(gè)數(shù)可以表示一個(gè)點(diǎn)的位置。接著，教師利用動(dòng)畫演示蒼蠅爬到天花板中間位置的情形。

圖1

師：生活中，蒼蠅不會(huì)長時(shí)間停留在一個(gè)位置，它爬呀爬，停在了天花板中間（如圖 2），我們能不能確定它的位置？

圖2

生：可以。

師：怎么確定？能不能具體說一說？

生1：先確定它在哪一條線上，再確定它在哪一個(gè)格子里。

生2：它在從下往上數(shù)的第三根橫線上，從左往右數(shù)的第五根豎線上。

生3：我覺得有一個(gè)更簡便的方法，畫兩根數(shù)射線就可以了，一根表示橫向的，一根表示豎著的。

師：聽清楚他的回答了嗎？他說剛剛我們用一條數(shù)射線表示一條射線上點(diǎn)的位置，現(xiàn)在我們可以用兩條數(shù)射線來表示，一條橫著來，一條豎著來。在這里老師把這兩條數(shù)射線提供給大家（如圖2），有了這兩條數(shù)射線，你能確定蒼蠅的位置了嗎？

通過師生對(duì)話，學(xué)生認(rèn)識(shí)到了約定起點(diǎn)、確定標(biāo)準(zhǔn)的重要性，并得出了蒼蠅的位置是第4列第2行的一致結(jié)論。

師：數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)就是簡練。用文字表達(dá)比較麻煩，你能不能用更簡潔的方法將第4列第2行表示出來？寫完后，同桌之間交流一下，看看能不能想出更多方法。

學(xué)生寫出的答案有：4.2；4,2；4↑2→；（4,2）；4/2；4 2等。

師：同學(xué)們都非常厲害，我們來看一下，這些表示方法都有一個(gè)共同點(diǎn)，是什么？

生：都有4和2。

師：同學(xué)們，如果你們生活在那個(gè)年代，你們創(chuàng)造的這些方法可能會(huì)在數(shù)學(xué)史上留下很重要的一筆。你們想不想知道笛卡兒是怎么表示的？

為了避免歧義的產(chǎn)生，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己寫出的答案逐個(gè)分析，得出了用（4,2）表示蒼蠅的位置，并借用（4,2）引出了數(shù)對(duì)的定義、讀法、組成，數(shù)對(duì)中出現(xiàn)的數(shù)的含義等。接著，繼續(xù)借用動(dòng)畫演示蒼蠅停留的新位置，進(jìn)行練習(xí)、辨識(shí)，比如，數(shù)對(duì)（3,8）、（8,3）是不是表示同一個(gè)位置，如何確定這兩個(gè)數(shù)對(duì)表示的位置，并最終總結(jié)出數(shù)對(duì)中的數(shù)相同、順序不同，所表示的位置不同，也就是說，一個(gè)數(shù)對(duì)在圖中僅對(duì)應(yīng)一個(gè)位置。

3．新知應(yīng)用。

師：笛卡兒美好的一天才剛剛開始，起床后，笛卡兒來到教室上課。老師拿出一張座位表，他請(qǐng)座位表上三位同學(xué)來介紹自己。你能用數(shù)對(duì)表示他們的位置嗎？（如圖3）

教師引導(dǎo)學(xué)生從確定起點(diǎn)開始，經(jīng)歷橫軸、縱軸的確立，通過小組合作在學(xué)習(xí)單上將兩類問題（給出人名找出位置并用數(shù)對(duì)表示，給出數(shù)對(duì)找出是誰的位置）解決，確定找位置的原則是“先看橫軸再看縱軸”，即“先橫后縱”。

圖3

4．知識(shí)升華。

師：晚上，笛卡兒約了兩個(gè)朋友一起去看歌劇，笛卡兒在2排1座，玲達(dá)在3排1座，梅西在4排1座。根據(jù)這些信息，你能在學(xué)習(xí)單上找到他們的位置嗎？（如圖 4）用數(shù)對(duì)表示，并用圓點(diǎn)標(biāo)記出來。

圖4

通過師生對(duì)話，學(xué)生確定了用（1,2）而不是（2,1）來表示笛卡兒的位置；通過教師引導(dǎo)，學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到找位置“先橫后縱”的原則。通過對(duì)表示笛卡兒、玲達(dá)、梅西三人位置的數(shù)對(duì)（1,2）、（1,3）、（1,4）的分析與觀察圖像，學(xué)生知道了這三個(gè)人的位置在同一列上。最后，教師結(jié)合現(xiàn)實(shí)世界提出：“在日常生活中的劇院，有一種比較大的廳，座位中間有過道，這個(gè)時(shí)候我們運(yùn)用橫軸和縱軸確定位置時(shí)該如何確定起點(diǎn)呢？”

師：笛卡兒觀看了有關(guān)寶藏圖（如圖 5）的歌劇，故事的主人公是尼克和朱迪，你能用數(shù)對(duì)的知識(shí)幫助他們找到寶藏嗎？

通過集體回答，學(xué)生最終幫助尼克和朱迪找到了寶藏。

圖5

5．總結(jié)延伸。

師：今天這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？

生：位置的表示方法，數(shù)對(duì)。

師：你知道數(shù)對(duì)在現(xiàn)實(shí)生活中有哪些應(yīng)用嗎？

學(xué)生簡單討論后，教師結(jié)合課件就數(shù)對(duì)在生活中的應(yīng)用進(jìn)行簡單介紹。

師：其實(shí)，數(shù)對(duì)在生活中的運(yùn)用十分廣泛，如在棋盤上表示棋子的位置，在地圖上用經(jīng)緯線表示國家的位置，在天文中表示北斗七星的變化。數(shù)對(duì)的發(fā)明為我們的生活提供了極大的方便，希望大家像笛卡兒先生一樣善于發(fā)現(xiàn)，勤于思考，做一個(gè)有心人。

師：如果蒼蠅不在天花板上爬了，而是飛到了空中，這時(shí)它的位置又該如何表示呢？這是以后我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。下課后同學(xué)之間可以討論一下。

四 課后反饋

1．學(xué)生反饋。

課后，對(duì)全班27個(gè)學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行訪談。

在知識(shí)的掌握層面，96%的學(xué)生確信自己聽懂了這節(jié)課，并寫出了這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容即位置的表示方法、數(shù)對(duì)，認(rèn)為這節(jié)課的收獲是掌握了表示位置的方法以及怎樣知道自己的位置。訪談也證實(shí)了這一點(diǎn)，甚至有兩個(gè)學(xué)生說已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何表示空間中的位置，“就是把橫軸、縱軸往下”。結(jié)合墻角的例子，在提示下，有4個(gè)學(xué)生很容易就理解了如何表示空間中的位置。

在對(duì)這堂課的評(píng)價(jià)方面，通過分析學(xué)生對(duì)“這節(jié)課中，你印象最深刻的是哪部分？為什么”的回答發(fā)現(xiàn)，答案主要集中在與笛卡兒有關(guān)的教學(xué)活動(dòng)、參與了探究活動(dòng)等，具體見表1。接受訪談的6個(gè)學(xué)生不約而同地表達(dá)了對(duì)這堂課的喜愛，原因包括因故事的穿插而簡單、生動(dòng)，便于對(duì)知識(shí)的理解與掌握；認(rèn)識(shí)了偉大的數(shù)學(xué)家；學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)、歷史、語文方面的知識(shí)等。可見，幾乎所有學(xué)生都認(rèn)可這節(jié)課，而認(rèn)可的理由驗(yàn)證了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，具有激發(fā)興趣、拓寬知識(shí)面、為學(xué)生提供探究機(jī)會(huì)、加深對(duì)知識(shí)的理解等教育價(jià)值。

表1 對(duì)“這節(jié)課中，你印象最深刻的是哪部分？為什么”的回答的統(tǒng)計(jì)分析

在對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)知方面，通過分析學(xué)生對(duì)“我愿意了解與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)史”的選擇發(fā)現(xiàn)，93%的學(xué)生表示非常同意（78%）或同意（15%）。在“你希望課本里介紹相關(guān)數(shù)學(xué)家生平或相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容嗎？為什么”的提問中，學(xué)生全部給出了肯定的答復(fù)，在給出的28條理由中，選擇拓寬知識(shí)面（了解更多的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)故事等）的超過一半（15人）。在“如果課本里出現(xiàn)數(shù)學(xué)史材料，你希望以哪種形式呈現(xiàn)？請(qǐng)簡要說明理由”的回答中，超過一半的學(xué)生的第一選擇是正文。這進(jìn)一步回應(yīng)了上文提及的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)具有拓寬學(xué)生知識(shí)面、激發(fā)興趣、加深對(duì)知識(shí)的理解等教育價(jià)值。

2．教師反饋。

從2016年3月15日確定開課主題到 5月11日正式上課，HPM團(tuán)隊(duì)與授課教師團(tuán)隊(duì)共進(jìn)行了7次研討（不包括兩個(gè)團(tuán)隊(duì)內(nèi)部的多次研討）。在研討的初期，授課教師團(tuán)隊(duì)闡述了對(duì)數(shù)學(xué)史教育價(jià)值認(rèn)識(shí)的局限性、數(shù)學(xué)史素材來源與使用手段的有限性等問題。經(jīng)過這次活動(dòng)，授課教師團(tuán)隊(duì)對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)有了全方位的改變，他們紛紛表示數(shù)學(xué)史為他們的教育教學(xué)打開了一扇新的窗戶，深刻地認(rèn)識(shí)到了上文提到的教育價(jià)值，并表示希望進(jìn)一步嘗試這樣的課型。

通過研討、備課、試教、上課等活動(dòng)，教師自身的觀念發(fā)生了轉(zhuǎn)變：數(shù)學(xué)不再是絕對(duì)真理的集合，也有人文的一面；不再將數(shù)學(xué)故事、原汁原味的數(shù)學(xué)史料視為設(shè)計(jì)教學(xué)的唯一，基于教學(xué)目的可以進(jìn)行適當(dāng)改編，或重構(gòu)整個(gè)概念的發(fā)展過程；數(shù)學(xué)史不再是激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、點(diǎn)綴課堂的附加物，它具有提供探究機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)等多重功能。

可見，將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，對(duì)學(xué)生的學(xué)與教師的教均具有重要的價(jià)值。期待更多的老師參與其中。

[1]Fauvel J.Using History in Mathematics Education[J].For the Learning of Mathematics，1991，11（2）.

（作者單位：華東師范大學(xué)附屬紫竹小學(xué),華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系）