張玉鎮(zhèn),張志春,陳 蕾,向英杰

(空軍航空大學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130022)

?

飛機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)仿真氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)求解插值算法對(duì)比

張玉鎮(zhèn),張志春,陳 蕾,向英杰

(空軍航空大學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130022)

影響飛行仿真系統(tǒng)實(shí)時(shí)性和逼真度的重要因素之一,是在力與力矩模塊求解中的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)求解。氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)作為飛行動(dòng)力學(xué)仿真模型計(jì)算的輸入量,其求解運(yùn)算的精度和效率,將在很大程度上影響著仿真系統(tǒng)的成敗。在飛行仿真中,常用的插值算法有線性插值、拉格朗日插值、牛頓插值、三次樣條插值。針對(duì)這四種插值算法,首先從數(shù)學(xué)原理上進(jìn)行初步分析,然后根據(jù)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)獲取的一組原始?xì)鈩?dòng)數(shù)據(jù),利用Matlab進(jìn)行插值實(shí)驗(yàn)對(duì)比,進(jìn)一步從四種算法的運(yùn)算時(shí)間、精度上比較分析,最后總結(jié)出四種算法的特點(diǎn)。

飛行仿真;線性插值;拉格朗日插值;牛頓插值;三次樣條插值

在飛行仿真系統(tǒng)中,氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)作為力與力矩模塊的輸入量,其求解的精確、高效與否,將直接決定仿真結(jié)果的逼真性和實(shí)時(shí)性[1]。原始?xì)鈩?dòng)數(shù)據(jù)一般是從風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)、空中試飛實(shí)驗(yàn)、CFD等途徑獲取。由于實(shí)驗(yàn)條件的限制,所獲得的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)不能包含整個(gè)飛行包線內(nèi)的所有數(shù)據(jù),而在飛行器實(shí)時(shí)仿真中,需要獲得飛機(jī)全狀態(tài)下的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)。通常,氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)作為因變量,而馬赫數(shù)M、高度H、升降舵偏角、方向舵偏角、襟翼偏角等與之相對(duì)應(yīng)作為自變量,一并以數(shù)據(jù)表格或矩陣的形式列出。由于這些原始數(shù)據(jù)組都是在某一瞬時(shí)狀態(tài)下采集得到,具有離散性、不完整性,同時(shí),因變量與自變量之間大多呈現(xiàn)非線性的關(guān)系[2]。

在對(duì)原始數(shù)據(jù)的處理中,一般采用插值算法得到氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)。飛行器建模仿真中,常用的插值算法有線性插值、拉格朗日插值、牛頓插值和三次樣條插值,不同的插值算法有不同的運(yùn)算效率和精度,插值效果的好壞,直接影響飛行仿真系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性和逼真度[3]。針對(duì)這四種插值算法,本文首先從數(shù)學(xué)原理上進(jìn)行初步分析,然后根據(jù)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)獲取的一組原始?xì)鈩?dòng)數(shù)據(jù),利用Matlab進(jìn)行插值仿真實(shí)驗(yàn)上,做進(jìn)一步比較分析。

1 算法原理分析

1.1 拉格朗日插值與線性插值

1.1.1 拉格朗日插值與線性插值的數(shù)學(xué)描述

對(duì)n次多項(xiàng)式lj(xk)(j=0,1,…,n)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0

現(xiàn)擬,

(1)

其中Aj為待定系數(shù),由lj(xj)=1，得

(2)

因此有n次插值多項(xiàng)式:

k=0,1,…n

(3)

對(duì)應(yīng)每個(gè)結(jié)點(diǎn)xj(j=0,1,…,n),都能寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足插值條件的n次插值多項(xiàng)式。

于是,滿(mǎn)足條件Ln(xj)=yj,j=0,1,…,n的插值多項(xiàng)式Ln(xj)可表示為

(4)

則插值多項(xiàng)式Ln(x)稱(chēng)為拉格朗日插值多項(xiàng)式[4]。

線性插值是拉格朗日插值多項(xiàng)式的一種特殊形式,即為當(dāng)n=1時(shí)拉格朗日插值[5]。即,

(5)

1.1.2 拉格朗日插值與線性插值的特點(diǎn)分析

拉格朗日插值算法是經(jīng)過(guò)有兩個(gè)插值點(diǎn)、三個(gè)插值點(diǎn)到n個(gè)插值點(diǎn)類(lèi)推得到,在形式上較整齊、直觀,但當(dāng)需要增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí),計(jì)算需要重頭開(kāi)始,重新計(jì)算所有的插值基函數(shù),這樣就會(huì)導(dǎo)致消耗大量?jī)?nèi)存,占用更多計(jì)算時(shí)間,在飛行模擬器實(shí)時(shí)仿真中,內(nèi)存占用太多、運(yùn)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)都不能保證仿真系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求。而線性插值作為拉格朗日插值的特殊形式,利用臨近兩點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算,計(jì)算量小,形式簡(jiǎn)單,易于運(yùn)行程序的編寫(xiě),但由于插值只用到了相鄰兩插值節(jié)點(diǎn),存在偶然性誤差。另外,當(dāng)自變量與因變量直接不是線性關(guān)系時(shí),可能導(dǎo)致誤差較大。

1.2 牛頓插值

1.2.1 牛頓插值的數(shù)學(xué)描述

將形如

Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)

+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(6)

的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為牛頓插值多項(xiàng)式[6]。

借助均差定義, 以此類(lèi)推,可以得到:

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+

f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+

f[x0,x1,…xn](x-x0)(x-xn-1)

(7)

則Pn(x)稱(chēng)為牛頓插值法的基本形式。

在實(shí)際應(yīng)用中,常出現(xiàn)插值節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)的情況,由此引入牛頓前插公式和牛頓后插公式。令xk=x0+kh(k=0,1,…,n),h為步長(zhǎng),此時(shí),上述公式可以簡(jiǎn)化得到：

牛頓前插公式:

(8)

其余項(xiàng)為:

牛頓后插公式:

Pn(x0+th)=f0+t2f0+…+

(9)

其余項(xiàng)為

1.2.2 牛頓插值的特點(diǎn)分析

牛頓插值以均差為構(gòu)造基礎(chǔ),利用均差與節(jié)點(diǎn)排列次序無(wú)關(guān),相比拉格朗日插值,大大減少了計(jì)算量,提高了計(jì)算精度。同時(shí),在添加或更新節(jié)點(diǎn)時(shí),牛頓插值具有承襲性[7]。隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力大大提高,插值過(guò)程中計(jì)算差商公式相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題已得到妥善解決[8]。但當(dāng)節(jié)點(diǎn)存在于前半段或后半段時(shí),利用牛頓前插或后插公式,都會(huì)存在得不到結(jié)果或精度不高的問(wèn)題,在使用過(guò)程中,應(yīng)當(dāng)靈活運(yùn)用。

1.3 三次樣條插值

1.3.1 三次樣條插值的數(shù)學(xué)描述

假設(shè)函數(shù)S(x)∈C2[a,b],且在每個(gè)小區(qū)間[xj,xj+1]上是三次多項(xiàng)式,其中a=x0

S(xj)=yj,j=0,1,…,n

(10)

則稱(chēng)S(x)為三次樣條插值函數(shù)。

利用S(x)的二階導(dǎo)數(shù)值,S″(xj)=Mj(j=0,1,…,n)表示S(x)，則

j=0,1,…,n-1

(11)

由于S(x)在每個(gè)小區(qū)間[xj,xj+1]上滿(mǎn)足三次多項(xiàng)式,每個(gè)三次多項(xiàng)式包含4個(gè)未知參數(shù),所以一共要確定4n個(gè)參數(shù)[9]。按照S(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì),以及在節(jié)點(diǎn)xj處一階、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì),能夠提供3n-3個(gè)條件,另外,S(x)滿(mǎn)足插值條件,這樣一共就有4n-2個(gè)條件。但是要最終確定S(x),還要2個(gè)邊界條件。

通?？稍趨^(qū)間[a,b]的端點(diǎn)a=x0,b=xn上各加一個(gè)邊界條件。常見(jiàn)的有以下三種:

2)已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值,即S″(x0)=f″0,S″(xn)=f″n;

3)自然邊界條件,S″(x0)=S″(xn)=0。

將以上所得4n個(gè)方程聯(lián)立求解出Mj(j=0,1,…,n),插值函數(shù)S(x)即可確定。最后將插值自變量x*代入S(x)即為相應(yīng)的插值結(jié)果。

1.3.2 三次樣條插值的特點(diǎn)分析

三次樣條插值把插值區(qū)間分成若干個(gè)插值小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間滿(mǎn)足三次多項(xiàng)式,當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)逐漸增多時(shí),其插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性逐漸增強(qiáng),函數(shù)曲線在節(jié)點(diǎn)處的光滑度更高[10]。三次樣條插值相比拉格朗日插值和牛頓插值,其插值次數(shù)較少,誤差也小,且在計(jì)算傳遞過(guò)程中誤差會(huì)出現(xiàn)衰退現(xiàn)象。樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處具有平滑作用,有效提高計(jì)算精度,避免了拉格朗日插值中出現(xiàn)的“龍格”現(xiàn)象。

2 四種插值算法的實(shí)驗(yàn)比較分析

本文首先從理論上對(duì)四種插值算法基本原理及數(shù)學(xué)描述進(jìn)行分析,描述了各自的特點(diǎn),并通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,比較分析四種插值算法的特點(diǎn)。

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文選取一組某型飛機(jī)通過(guò)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)獲取的升力系數(shù)CL與迎角α的相關(guān)數(shù)據(jù)為樣本,將樣本數(shù)據(jù)隨機(jī)分為甲、乙兩組,甲組作為原始數(shù)據(jù),甲、乙兩組均作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),分別使用線性插值、拉格朗日插值、牛頓插值和三次樣條插值對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了插值計(jì)算。作進(jìn)一步比較,分別從計(jì)算速度、精度和運(yùn)行所占內(nèi)存三個(gè)方面出發(fā),通過(guò)1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的比較,分析四種插值算法的實(shí)時(shí)性和精確度，最終獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過(guò)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn),以襟翼偏角為20°時(shí),氣流速度V=380km/h,其它自變量保持不變的情況下,獲取一組某型飛機(jī)的升力系數(shù)CL與迎角α的樣本數(shù)據(jù)。樣本數(shù)據(jù)均勻分成甲、乙兩組,如表1所示。

2.3 實(shí)驗(yàn)條件

根據(jù)所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),利用Matlab軟件在計(jì)算機(jī)上完成實(shí)驗(yàn)過(guò)程。

2.4 實(shí)驗(yàn)步驟

步驟一:將風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)所獲取的一組某型飛機(jī)升力系數(shù)CL與迎角α的相關(guān)測(cè)試數(shù)據(jù)為樣本,分別使用線性插值、拉格朗日插值、牛頓插值和三次樣條插值對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了插值計(jì)算,所得關(guān)系曲線如圖1所示。

表1 樣本數(shù)據(jù)

圖1 四種插值算法計(jì)算結(jié)果

步驟二:由于飛行器仿真講究實(shí)時(shí)性,選擇快速有效的插值算法將決定仿真的實(shí)時(shí)性和逼真度。為進(jìn)一步比較,通過(guò)1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的比較,分別從計(jì)算速度和精度兩方面出發(fā),分析四種插值算法的實(shí)時(shí)性和精確度,結(jié)果如表2所示。

2.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

從圖1中可以看出,拉格朗日法在樣本區(qū)間邊界處出現(xiàn)了明顯的“龍格”現(xiàn)象,產(chǎn)生較大偏差,而線性插值、牛頓插值和三次樣條插值得到結(jié)果基本與原始數(shù)據(jù)吻合,并且克服了“龍格”現(xiàn)象;在樣本區(qū)間中,當(dāng)α∈[10,15]和[25,30]時(shí),升力系數(shù)CL與迎角α呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系和明顯的“尖點(diǎn)”現(xiàn)象,此時(shí)線性插值結(jié)果精度難以保證;牛頓插值有效解決了拉格朗日插值在端點(diǎn)出的不收斂性,但針對(duì)節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)、不光滑的現(xiàn)象只是有所改善,效果并不是很理想;三次樣條插值所構(gòu)造的插值曲線非常光滑,不僅能夠有效解決拉格朗日插值造成的“龍格”現(xiàn)象,而且提高了牛頓插值在節(jié)點(diǎn)處所不能達(dá)到的光滑性。

表2 四種插值算法計(jì)算時(shí)間和精度對(duì)比

從表2中可以得到:線性插值的平均計(jì)算時(shí)間最低,實(shí)時(shí)性最高,而且誤差也相對(duì)較小;拉格朗日插值平均計(jì)算時(shí)間最長(zhǎng),實(shí)時(shí)性最差,而且誤差最大,也就是出現(xiàn)“龍格”現(xiàn)象;牛頓插值法無(wú)論在計(jì)算時(shí)間上,還是在誤差上都比較適中,能夠一定程度上改進(jìn)拉格朗日插值產(chǎn)生的“龍格”現(xiàn)象,而且在計(jì)算時(shí)間上優(yōu)于三次樣條插值;三次樣條插值計(jì)算誤差最小,精確度很高,平均計(jì)算時(shí)間也相對(duì)適中,因此,從計(jì)算時(shí)間和計(jì)算精度上綜合考慮,三次樣條插值相比其他三種插值算法更具有優(yōu)越性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)介紹四種插值算法的建模思想,分別從數(shù)學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)比較分析上,總結(jié)了四種插值算法運(yùn)用在飛行器建模仿真應(yīng)用中的優(yōu)缺點(diǎn)?？偟膩?lái)說(shuō)：線性插值方法簡(jiǎn)單,計(jì)算速度快,軟件實(shí)現(xiàn)容易,但當(dāng)因變量與自變量存在非線性關(guān)系時(shí),計(jì)算精度將無(wú)法保證;拉格朗日插值在計(jì)算精度和速度上都不高,誤差比較大,滿(mǎn)足不了飛行器實(shí)時(shí)仿真的要求;牛頓插值能夠在一定程度上改進(jìn)拉格朗日插值的不足,但在計(jì)算精度上卻與三次樣條插值相差甚遠(yuǎn);三次樣條插值雖然在實(shí)時(shí)性上不如線性插值,但已經(jīng)能夠滿(mǎn)足飛行器仿真的實(shí)時(shí)性要求。飛行器建模仿真中,在保證實(shí)時(shí)性要求的前提下,計(jì)算精度越高,越能夠逼真模擬飛行狀態(tài)。因此,三次樣條插值更能夠滿(mǎn)足飛行建模仿真的實(shí)時(shí)性和逼真度要求。

[1] 汪沛,李國(guó)輝.飛行原理與建模[M].長(zhǎng)春:藍(lán)天出版社,2009.

[2] 李鵬.輕型飛行模擬器飛行仿真建模研究[D].南京:南京航空航天大學(xué),2008.

[3] 張鐳.飛行模擬器飛行仿真系統(tǒng)建模與軟件實(shí)現(xiàn)[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2009.

[4] 李信富,李小凡.分形插值與拉格朗日插值的比較研究[J].黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2008,25(3):323-326，331.

[5] 冶建華.幾類(lèi)插值算法的數(shù)學(xué)思想淺析[J].甘肅科技,2013,29(8):52-54.

[6] 陳西亮,張佳華.牛頓插值法在植被紅邊擬合中的應(yīng)用[J].湖北農(nóng)業(yè)科學(xué),2016,55(7):1828-1831，1835.

[7] Brian L Stevens, Frank L Lewis.Aircraft control simulation[M]. Hoboken:John Wiley and Sons, 2003.

[8] 王寶珠,胡世帥,李曉嬌.基于LabVIEW的心電信號(hào)插值算法分析[J].電子設(shè)計(jì)工程,2013,21(4):85-87，90.

[9] 張希娜,李亞紅,郭中凱.關(guān)于三次樣條插值的數(shù)學(xué)研究[J].長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),2012,26(2):131-132.

[10]李京,王永驥,劉磊,等.高維三次樣條插值法在氣動(dòng)參數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)技術(shù)與自動(dòng)化,2013,32(1):64-67.

Comparison of Several Interpolation Algorithms in Flight Simulation

ZHANG Yu-zhen, ZHANG Zhi-chun, CHEN Lei, XIANG Ying-jie

(Aviation University of Air Force, Changchun 130022, China)

One of the most important factors that affect the real-time performance and fidelity of flight simulation system is to solve the aerodynamic derivatives of the force and torque module. As the input of the simulation model, the accuracy and efficiency of the calculation of aerodynamic derivatives will affect the success or failure of the simulation system to a great extent. In flight simulation, the commonly used interpolation algorithms are linear interpolation, Lagrange interpolation, Newton interpolation, three spline interpolation. In this paper the four kinds of interpolation algorithm, firstly analyzed from the mathematical principle, and dynamic data according to a set of raw gas obtained by wind tunnel experiment, compares the interpolation by MATLAB, further from four kinds of algorithm, the accuracy of comparative analysis, finally summed up the characteristics of four algorithms.

flight simulation;linear interpolation;Lagrange interpolation;Newton interpolation; Three spline interpolation

2017-01-04

張玉鎮(zhèn)(1992-),男,漢,安徽宿州人,碩士研究生,研究方向?yàn)轱w行器仿真。 張志春(1973-)，男，碩士，高級(jí)工程師。 陳 蕾(1967-)，女，博士，教授。 向英杰(1993-)，男，碩士研究生。

1673-3819(2017)03-0070-04

TP391；E917

A

10.3969/j.issn.1673-3819.2017.03.016

修回日期： 2017-02-19