李 廷，張 晶

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

研究如下非線性的薛定諤方程組

(1)

其中λ≥0,N≥3,p∈(1,2*-1). 方程(1)的解(u,v)∈H1(RN)×H1(RN), 則稱這個解為穩(wěn)態(tài)解. 當(dāng)這個穩(wěn)態(tài)解(u,v)≠(0,0)(或u>0,v>0)時, 稱這個解為方程的非平凡(或正)的穩(wěn)態(tài)解. 如果這個解(u,v)≠(0,0)是方程(1)所有非平凡的穩(wěn)態(tài)解中能量最小的, 則稱這個解為基態(tài)解. 當(dāng)這個基態(tài)解u>0,v>0時, 稱這個解為正的基態(tài)解. 顯然方程(1)的穩(wěn)態(tài)解是泛函Iλ:H1(RN)×H1(RN)→R的臨界點(diǎn).

(F1)～(F3)是文獻(xiàn)[1]中提到的Berestycki-Lions條件，且Berestycki, Lions在此條件下取得了方程(2)的基態(tài)解.

-Δu+u=up

(2)

-Δui(x)=gi(u(x)),i=1,…,n

(3)

1 預(yù)備知識及引理

H∶=H1(RN)×H1(RN),

范數(shù)： ‖(u,v)‖2∶=‖u‖2+‖v‖2

引理1.1[7]假設(shè)N≥3,up,vp滿足假設(shè)(F1)-(F3), 則對于λ∈(0,1), 方程(1)有一個正的徑向?qū)ΨQ的基態(tài)解(uλ,vλ), 且uλ,vλ∈C2(RN).

-Δv+v=vp,v∈H1(RN)

(4)

X∶=S1×S2,

M1∶=J1(U0),M2∶=J2(V0)為(2)和(4)的最小能量, 其中U0∈S1,V0∈S2,則M1>0,M2>0[7].不失一般性, 假設(shè)M1≤M2.

引理1.2X在Hr中是緊的, 存在常數(shù)C2>C1>0,使

C1≤‖U‖,‖V‖≤C2,?(U,V)∈X.

則存在常數(shù)C>0使

(5)

其中Q:=[0,t1]×[0,s1],定義

下面固定一個δ∈(0,min(C/2，C1/2)), 相應(yīng)的0<σ<1,λ1>0使引理1.4成立.

|cλ-dλ|<α0,|cλ-(M1+M2)|<α0,

?λ∈(0,λ0).

2 主要結(jié)果及證明

則對于下面初值問題存在全局解ψλ:Hr×[0,+∞)→Hr

可以很容易得到ψλ滿足以下三條:

(1)ψλ(u,v,θ)=(u,v),當(dāng)θ=0或(u,v)∈Hrλ或|Iλ(u,v)-cλ|≥α?xí)r

接下來首先證明對任意(t,s)∈Q, 存在

產(chǎn)生矛盾.則得以證明.

則對?(t,s)∈Q,有Iλ(r(t,s))≤cλ-α0.

下面證明r(t,s)∈Γ.對?(t,s)∈Q(t0,t1)×(s0,s1)可得

定理2.2 假設(shè)N≥3,up,vp滿足(F1)～(F3),則存在λ0∈(0,1)使對任意0<λ<λ0,方程(1)有一個徑向?qū)ΨQ的穩(wěn)態(tài)解(uλ,vλ)且(uλ,vλ)∈C2(RN)×C2(RN).

設(shè)λn∈(0,λ0)(n∈N)是當(dāng)n→∞時λn→0的一個序列.則在H1(RN)×H1(RN)中，當(dāng)n→∞時，子列(uλn,vλn)→(U,V),其中U是(2)的正的徑向基態(tài)解，V是(4)的正的徑向基態(tài)解.

所以在Hr中(un,vn)→(uλ,vλ),(uλ,vλ)∈Xδ可得uλ≠0,vλ≠0.因此(uλ,vλ)是方程(1)的徑向?qū)ΨQ解.由標(biāo)準(zhǔn)正則性定理可知uλ,vλ∈C2(RN),且Iλ(uλ,vλ)≤dλ.

設(shè)λn∈(0,λ0)(n∈N)是當(dāng)n→∞時,λn→0的一個序列.由引理1.4的證明過程很容易證出子列(uλn.vλn)在Hr中當(dāng)n→∞時強(qiáng)收斂于(U,V),其中U∈S1,V∈S2,U是(2)的正的徑向基態(tài)解,V是(4)的正的徑向基態(tài)解.

參 考 文 獻(xiàn)

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