孫望濤 胡曉雄

(浙江省長(zhǎng)興中學(xué),浙江 湖州 313100)

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關(guān)于一道北京大學(xué)自主招生(2009年)試題的探討

孫望濤 胡曉雄

(浙江省長(zhǎng)興中學(xué),浙江 湖州 313100)

1 問題的提出

圖1

原題.(2009年北大自主招生試題)如圖1所示,光滑的水平桌面上平放著一個(gè)半徑為R,內(nèi)壁光滑的固定圓環(huán),質(zhì)量分別為m、2m、m的小球A、B、C在圓環(huán)內(nèi)側(cè)的位置和速度大小、方向均在圖中標(biāo)出,初始B小球靜止,已知所有碰撞為彈性碰撞,試問,經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,A、B、C3個(gè)小球又第1次恢復(fù)到原來位置．

此題也出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1]中，試題和文獻(xiàn)[1]中給出的參考答案如下.

參考答案:首先推導(dǎo)兩個(gè)物體發(fā)生彈性碰撞后的通解公式．由系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律得

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2，

由碰撞前后動(dòng)能之和保持不變,有

聯(lián)立解得

(1)

(2)

②B與C經(jīng)歷時(shí)間t2后發(fā)生碰撞,B、C碰后速度通過公式(1)、(2)計(jì)算得vB2=v0,vC2=-3v0．

圖2

上述解答中每一次碰撞都需將兩小球質(zhì)量、碰前速度代入碰撞通解公式(1)、(2)進(jìn)行運(yùn)算,計(jì)算量較大,十分繁瑣.

2 轉(zhuǎn)換參考系簡(jiǎn)化解題過程

圖3

在此參考系中,vA=2v0,vB=-v0,vC=-2v0,我們驚訝地發(fā)現(xiàn),PA=2mv0,PB=2m(-v0)=-2mv0,PC=m(-2v0)=-2mv0,即A、B、C3小球動(dòng)量大小相等．我們知道,當(dāng)兩個(gè)動(dòng)量大小相等,方向相反的小球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞時(shí),小球碰后反向運(yùn)動(dòng),且速度大小與原速度相等．

于是,本題變得異常簡(jiǎn)單,我們記碰撞發(fā)生的位置相對(duì)于A、C起點(diǎn)轉(zhuǎn)過θ．

①A與B相碰．如圖4所示，有

②B與C相碰．如圖5所示，有

圖4

圖5

圖6

③C與A相碰．如圖6所示，有

3 關(guān)于問題的進(jìn)一步探討

圖7

我們?cè)賮硖接?球在動(dòng)量相等的前提下需滿足何種條件才能使運(yùn)動(dòng)具有周期性．如圖7所示,設(shè)3小球速率為v1、v2、v3(已滿足p1=p2=p3),用θ表示相碰兩球相對(duì)x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度,θ′表示兩球相碰時(shí)第3球相對(duì)x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度,以下省略大量計(jì)算過程．

要使3球相對(duì)位置回到初態(tài),則θ3=θ3′+π,解得v1=v2．

由此得出結(jié)論:如圖8所示,任意3個(gè)動(dòng)量大小相等的小球在圓環(huán)內(nèi)發(fā)生碰撞,只要初態(tài)A、C兩球速度大小相等,方向相反,它們的運(yùn)動(dòng)具有周期性．

圖8 圖9

1 江四喜.重點(diǎn)大學(xué)自主招生物理培訓(xùn)講義[M].第3版.合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2016:92-93.

2 胡曉雄.對(duì)教輔中一道結(jié)構(gòu)不良習(xí)題的分析與反思[J].物理通報(bào),2015(6)：45-46.

2017-01-21)