楊麗+于詠梅

摘要：通過Excel等計算機軟件可以解決《高等數(shù)學》中一些用常規(guī)方法無法解決的問題，同時也可以驗證《高等數(shù)學》中一些不太容易理解的原理。這種實踐過程可以培養(yǎng)大學生以數(shù)學理論為基礎，以軟件為工具來解決現(xiàn)實中形形色色的問題的能力，并逐漸養(yǎng)成以近似為目標的“工程思想”。

關鍵詞：高等數(shù)學；Excel；編輯公式；近似計算

《高等數(shù)學》是高校理工科各專業(yè)普遍開設的重要課程，是一門偏重于計算的基礎學科，是學習后繼課程如大學物理、系統(tǒng)建模和現(xiàn)代科技知識的基礎，也是對學生的數(shù)學思想、數(shù)學方法、數(shù)學素質(zhì)進行綜合培養(yǎng)和提高的關鍵課程.數(shù)學軟件作為《高等數(shù)學》教學的輔助工具，是對《高等數(shù)學》的補充和完善.它使一些過去只能通過思維和想象領會的數(shù)學內(nèi)容，得到直觀的表示和處理，一些與數(shù)據(jù)處理有關的繁難運算，通過計算機得以簡化，這對數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律的掌握、數(shù)學方法和數(shù)學命題的深刻認識有重要作用.

長期以來，數(shù)學的教學工作都強調(diào)對基本理論的掌握與訓練，習題的解決就是使用書本上的原理與方法的一個實踐過程。比如：一元高次方程的求解要分解因式，定積分要求出被積函數(shù)的原函數(shù)。學生都固化了這種解決問題的模式，當他們面對要解決的實際問題時，情況可能不會像想象的那樣--也許一個高次方程根本無法分解因式，一個被積函數(shù)可能求不出其原函數(shù)，這種情況出現(xiàn)的概率遠遠高于教材中所見過的習題。

基于學以致用的原則，我認為在《高等數(shù)學》的教學工作中要適當引入這類“不太優(yōu)美”的數(shù)學問題的解決辦法。一般認為，專業(yè)的數(shù)學軟件或者程序設計可以解決這類問題，但現(xiàn)實是大一的學生還不具備這方面的知識與能力。

Excel 完全可以解決這類問題，除了易學易用之外，還非常直觀?，F(xiàn)列舉幾個實際問題說明解決這類問題的教學過程：

例1）求方程 x3 + 1.1x2 + 0.9x - 1.4 = 0 在 （0，1） 之間的一個近似解。

顯然這個三次方程是無法分解因式求根的，使用Excel 解決步驟如下：

①在A2 單元格中輸入0，在A3 單元格中輸入0.01，然后同時選中A2 和A3 單元格，下拉至A102，這樣就得到了自變量0、0.01、0.02、……0.99，1，如圖1 所示：

圖1

②在B2 單元格中輸入公式（=POWER（A2，3）+1.1*POWER （A2，2）+0.9*A2-1.4），如所示：

圖2

③這樣就得到了當 x = 0 時方程左邊的值，選中B2 單元格，下拉至B102，就得到了不同的 x 所對用的值，同時可以知道方程的根介于0.67 至0.68 之間，如圖3 所示：

圖3

④插入散點圖可以進一步了解函數(shù)f （x）= x3 + 1.1x2 + 0.9x - 1.4 在區(qū)間（0，1）之間的變化規(guī)律，如圖4所示：

圖4

在教學過程中除了強調(diào)Excel 的基本使用方法，還要學生學會基本的公式編輯，如POWER（num，n）的意義。

例2）用矩形法、梯形法和拋物線法求定積分 的近似值

這個問題在定積分的第一節(jié)，學生此時還不知道牛頓-萊布尼茨公式，用Excel 解決此問題可以使學生對定積分的基本概念有更加深刻的理解，同時為以后使用更高級的數(shù)學軟件打下良好的基礎，尤其是加深對拋物線（辛普森）法的理解：

①了解矩形法、梯形法和拋物線法的基本理論，并編制 x及f （x） ，如圖5 所示：

圖5

②分別在單元格B17、F17 和I17 中編輯公式，如圖6 至圖8所示：

圖6

圖7

圖8

通過預先告訴學生這個定積分的真實值為圓周率 π ，可以進一步得到在定積分的近似計算時拋物線法優(yōu)于梯形法，而梯形法優(yōu)于矩形法；

例3）傅里葉級數(shù)展開式的驗證：傅里葉級數(shù)是高等數(shù)學后期的教學內(nèi)容，大多數(shù)學生是以“套公式”這種被動的模式來學習這些內(nèi)容的，并對把簡單函數(shù)展開成復雜函數(shù)這一過程表示“不屑”，所以教師除了說明傅里葉公式在人類科學史上重要性之外，最好尋求一種直觀的方式讓學生看到此公式的意義。

設 f （x） 是周期為4 的周期函數(shù)，它在 [-2，2） 上的表達式為

將 f （x） 展開成傅里葉級數(shù)，并做出函數(shù)的和函數(shù)的圖形。

根據(jù)公式可得：

用Excel 表示上述和函數(shù)稍微有些麻煩，因為是無窮項的和，這里只求前10 項的和，隨著分母2k-1 的逐步增大，余項的和將越來越小。下面用三張圖片表示這個求和的過程，如圖9至圖12 所示：

圖9 （需要注意 x 的定義域，將 x =0 的行刪除）

圖10

圖11

圖12（以單元格E3 的公式編輯說明每個單元格的編輯公式）

圖13前十項的和及近似圖形如圖：

從圖可以看出，前10 個正弦波的疊加已經(jīng)比較接近函數(shù)的圖像。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學（同濟第七版上冊）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[2]同濟大學數(shù)學系高等數(shù)學（同濟第七版下冊）[M]. 北京：高等數(shù)學出版社，2014.

[3]LINGO和EXCEL在數(shù)學建模中的應用[M].科學出版社，2016.