王一凡+張樂權(quán)+尹澤文+白昊東+陶玲玲

摘 要：該文對(duì)太陽(yáng)影子定位技術(shù)進(jìn)行了研究，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，結(jié)合Cooper經(jīng)驗(yàn)公式，構(gòu)建了消除物體長(zhǎng)度的單目標(biāo)優(yōu)化模型。通過MATLAB編寫遍歷搜索算法進(jìn)行求解，最終得到物體所在的經(jīng)緯度，并且誤差較小。由于該模型不需要物體的長(zhǎng)度，適用范圍較廣，可以進(jìn)一步應(yīng)用到視頻數(shù)據(jù)分析定位中。

關(guān)鍵詞：太陽(yáng)影子定位 Cooper經(jīng)驗(yàn)公式 單目標(biāo)優(yōu)化模型 MATLAB遍歷搜索算法

中圖分類號(hào)：P128 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）04（c）-0237-02

伴隨著21世紀(jì)大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，數(shù)據(jù)的利用顯得越來(lái)越重要。對(duì)于生活中大量的視頻數(shù)據(jù)，如何充分利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行定位，在軍事上和政治上顯得尤為重要。在某些特殊的情況下，可以通過視頻中的影子變化來(lái)定位；但是其核心還是太陽(yáng)影子的定位問題。

太陽(yáng)影子定位技術(shù)是通過在一段時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)影子隨著時(shí)間的變化來(lái)對(duì)所處位置進(jìn)行定位。

對(duì)于太陽(yáng)影子定位技術(shù)主要考慮以下3個(gè)問題。

（1）建立太陽(yáng)影子長(zhǎng)度與各影響因素的數(shù)學(xué)模型。

（2）考慮到實(shí)際情況，該文著重研究在物體長(zhǎng)度未知的情況下，如何通過太陽(yáng)影子的變化確定物體所在地點(diǎn)和拍攝日期。

（3）通過對(duì)模型的改進(jìn)，來(lái)消除物體高度未知對(duì)模型的影響。

1 數(shù)據(jù)來(lái)源及模型假設(shè)

該文中物體太陽(yáng)影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)來(lái)自2015全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽A題附件[2]。

為了合理地解決問題提出以下假設(shè)：（1）不考慮大氣對(duì)太陽(yáng)光的折射。（3）太陽(yáng)的運(yùn)行速度是勻速運(yùn)動(dòng)。（4）太陽(yáng)光為平行光。

2 定位模型的建立

2.1 研究思路

首先分析影子長(zhǎng)度關(guān)于太陽(yáng)高度角、桿長(zhǎng)、時(shí)角的關(guān)系式；其次確定方位角關(guān)于太陽(yáng)高度角、赤緯角的表達(dá)式。聯(lián)立方程組得到最終的影長(zhǎng)變化公式，再以影長(zhǎng)變化平方最小建立單目標(biāo)優(yōu)化模型。

2.2 基礎(chǔ)模型

2.2.1 影子長(zhǎng)度

影子長(zhǎng)度由太陽(yáng)高度角hs和桿長(zhǎng)直接決定，其中太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)光射在地上與地面形成的夾角，可以得到初步的影長(zhǎng)公式：

hs

2.2.2 太陽(yáng)高度角hs

太陽(yáng)高度角是太陽(yáng)光的入射方向和地平面之間的夾角，更準(zhǔn)確地說是太陽(yáng)光的入射方向與地表切線形成的夾角，隨太陽(yáng)赤緯角δ、太陽(yáng)方位角的變化而變化，表達(dá)式為：

式中：φ表示緯度，ω表示太陽(yáng)時(shí)角。

2.2.3 太陽(yáng)赤緯角δ

太陽(yáng)赤緯角是太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，其變化造成了南北半球晝夜的長(zhǎng)短變化，直射點(diǎn)在北半球晝長(zhǎng)夜短，直射點(diǎn)在南半球晝短夜長(zhǎng)（以北半球?yàn)槔?，直射點(diǎn)緯度范圍在-N。由Cooper經(jīng)驗(yàn)方程得：

式中：n表示某時(shí)期距1月1日的天數(shù)，1月1日時(shí)n。

2.2.4 太陽(yáng)時(shí)角ω

太陽(yáng)時(shí)角是某時(shí)太陽(yáng)光線與當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)間太陽(yáng)光線所成的角度，每隔1個(gè)小時(shí)變化15°，當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)刻太陽(yáng)時(shí)角為。查閱相關(guān)文獻(xiàn)[2]，可知：

式中：表示子午線當(dāng)?shù)貥?biāo)準(zhǔn)時(shí)間， 表示當(dāng)?shù)亟?jīng)度。

2.3 目標(biāo)優(yōu)化模型

由于特定時(shí)期、特定經(jīng)緯度的影子太陽(yáng)高度角和太陽(yáng)方位角都可以求出，且一天中的不同時(shí)刻桿的影長(zhǎng)僅與太陽(yáng)高度角有關(guān)，故特定時(shí)期、特定經(jīng)緯度的影長(zhǎng)與太陽(yáng)方位角都可求出。

常見的定位問題是已知影長(zhǎng)和桿長(zhǎng)尋找目標(biāo)地點(diǎn)、拍攝日期，若是不知道桿的長(zhǎng)度，那么目標(biāo)模型需要去除桿長(zhǎng)的影響。

對(duì)于任意，時(shí)刻，分別為對(duì)應(yīng)時(shí)刻的太陽(yáng)高度角，由影長(zhǎng)公式hs，兩時(shí)刻理論影長(zhǎng)比值為，從而就可以消除桿長(zhǎng)的影響。

模型將實(shí)際影長(zhǎng)比值與理論影長(zhǎng)比值差值的平方和最小為目標(biāo)函數(shù)：

注：由文獻(xiàn)附件提供的數(shù)據(jù)有21組，為使數(shù)據(jù)有明顯差異性，以間隔10個(gè)點(diǎn)為分組，即第1個(gè)數(shù)據(jù)和第11個(gè)數(shù)據(jù)為一組，第2個(gè)數(shù)據(jù)和第12個(gè)數(shù)據(jù)為一組，以此類推。

3 算法求解

對(duì)于定位問題，有擬牛頓迭代法、多重搜索算法、人工魚群算法等多種算法。其中遍歷算法是一種較為可行的、操作性強(qiáng)的方法。算法流程：

（1）設(shè)定初始狀態(tài)、循環(huán)條件、候選解確定準(zhǔn)則。

（2）初步確定范圍。設(shè)定精度ε1、幅度，滿足判定準(zhǔn)則，輸出候選解，繼續(xù)循環(huán)，直至循環(huán)結(jié)束。

（3）確定估計(jì)值。設(shè)定精度、幅度，以候選解為中心確定搜索范圍，分部式循環(huán)搜索。

在筆者模型求解過程中設(shè)定精度為，幅度為，以參考文獻(xiàn)[2]附件1數(shù)據(jù)為例，定位地點(diǎn)為（109.9E，19.4N），參考標(biāo)準(zhǔn)給的（110E，18N）。經(jīng)緯度相差不超過，可以進(jìn)行精確的定位。

誤差主要來(lái)源：模型中部分公式為經(jīng)驗(yàn)公式，存在誤差；幅度過大，可進(jìn)行三重搜索。

4 結(jié)語(yǔ)

該文通過建立單目標(biāo)優(yōu)化模型來(lái)研究太陽(yáng)影子定位技術(shù)，研究了在物體長(zhǎng)度未知的情況下，如何通過太陽(yáng)影子的變化確定物體所在地點(diǎn)和拍攝日期。

創(chuàng)新點(diǎn)在于通過以影長(zhǎng)變化平方和最小建立單目標(biāo)優(yōu)化模型，消除了物體長(zhǎng)度未知的影響。最后結(jié)合Matlab使用遍歷算法進(jìn)行求解，解出較為精確的拍攝地址。由于沒有考慮大氣折射的影響，因此在后續(xù)的研究中可以將大氣折射等影響因素加入，從而進(jìn)一步定位的精確度。

參考文獻(xiàn)

[1] 溫欣妍.Matlab R2016a從入門到精通[M].北京：清華大學(xué)出版社，2017.

[2] 2015年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題[EB/OL].（2016-09-22）.http：//special.univs.cn/service/jianmo/sxjmtmhb/2015/0910/1107276.shtml.

[3] Position of the Sun[EB/OL].（2016-11-13）.https：//en.wikipedia.org/wiki/Position_of_the_Sun.

[4] SundialTime Correction - Equation of Time[EB/OL].（2016-11-03）.http：//www.mb-soft.com/public3/equatime.html.

[5] 蔡志杰.太陽(yáng)影子定位[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2015（4）：25-33.