陳海軍，殷鳴，殷國富，韓興國(.四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都60065;.桂林航天工業(yè)學(xué)院機械工程學(xué)院，廣西桂林54004)

三自由度懸臂式3D打印機結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化*

陳海軍1，殷鳴1，殷國富1，韓興國2
(1.四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都610065;2.桂林航天工業(yè)學(xué)院機械工程學(xué)院，廣西桂林541004)

針對目前龍門式3D打印機打印平臺固定且打印空間受限的問題，基于圓柱坐標系用ρ、θ和z三個參數(shù)對三維空間進行描述的原理，創(chuàng)新設(shè)計出一臺具有旋轉(zhuǎn)運動、水平移動和上下移動的三自由度懸臂式3D打印機。通過對底座上方機械的結(jié)構(gòu)分析和受力分析，對旋轉(zhuǎn)傳動裝置分析模型進行了簡化處理。并使用有限元軟件ANSYS Workbench對簡化后的旋轉(zhuǎn)傳動裝置進行了靜力分析和模態(tài)分析。在靜力分析和模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，按輕量化的設(shè)計要求，利用ANSYS的響應(yīng)曲面優(yōu)化工具，對減速器承載體的關(guān)鍵尺寸進行多目標優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，響應(yīng)面優(yōu)化法能很好地完成多目標優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)了整機的輕量化。

多自由度;懸臂式3D打印機;機構(gòu)設(shè)計;響應(yīng)曲面優(yōu)化

0 引言

3 D打印作為一種增量制造技術(shù)，憑借其零技能生產(chǎn)、低成本的復(fù)雜多樣化制造、個性化定制等優(yōu)勢，已逐步應(yīng)用于制造、醫(yī)療、航空、設(shè)計等多個領(lǐng)域［1-3］。然而，面對各行各業(yè)對3 D打印越來越多的需求，市面上的3 D打印機結(jié)構(gòu)過于單一，大多數(shù)都是龍門式的直角坐標結(jié)構(gòu)或者并聯(lián)結(jié)構(gòu)，尚未看到運用圓柱坐標系3 D打印方法實現(xiàn)多自由度打印的研究。其中，基于笛卡爾坐標系的龍門結(jié)構(gòu)3 D打印機，因其打印噴頭的運動依賴于打印機內(nèi)部X、Y、Z各軸向?qū)к?，使得打印區(qū)域受限于機體本身的大小，打印空間小;而基于Core xy空間定位的并聯(lián)結(jié)構(gòu)3 D打印機［4-5］，打印平臺需設(shè)置在3吊臂的運行范圍內(nèi)，使得打印區(qū)域在Z向很大，但在xy平面卻較小，空間利用率較低。曹晟［6］等提出的五自由度FDM型三維打印裝置設(shè)計方法，只是在打印平臺上增加了兩個轉(zhuǎn)動自由度，其3 D打印機本身仍然是基于笛卡爾坐標系下的3自由度機構(gòu)，不具備多自由度機器人作業(yè)位姿靈活、工作空間大的優(yōu)點［7］，無法克服傳統(tǒng)打印機打印空間受限的缺陷。

為此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計上，參照SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm)機器人旋轉(zhuǎn)式底座的結(jié)構(gòu)［8］，結(jié)合楊新剛等［9］對串聯(lián)機器人機械結(jié)構(gòu)設(shè)計及可操作性的研究，設(shè)計了一臺具有旋轉(zhuǎn)運動、水平移動和上下移動的三自由度懸臂式3D打印機。在原理上，因為該懸臂式3D打印機是基于圓柱坐標系描述三維空間的原理用ρ、θ和z三個參數(shù)對三維模型進行構(gòu)建，這使得該懸臂式3D打印機具備了運動方向自由、運動范圍大、工作區(qū)域開放等傳統(tǒng)3D打印機不具有的優(yōu)點。

1 打印機機械結(jié)構(gòu)

整個懸臂式3D打印機由四部分組成，分別為旋轉(zhuǎn)運動機構(gòu)、垂直運動機構(gòu)、水平運動機構(gòu)、材料擠出機構(gòu)，它們各自用一個電機驅(qū)動，如圖1所示。其中，材料擠出機構(gòu)的電機在圖1中沒有標注，其安裝在打印頭(28)中，它利用ABS材料在內(nèi)部滾輪與電機齒輪軸之間咬合的方式，實現(xiàn)對打印材料的進給和撤出。由于該3D打印機水平面內(nèi)的材料成型依靠旋轉(zhuǎn)運動機構(gòu)和水平運動機構(gòu)共同作用實現(xiàn)，相比傳統(tǒng)的3D打印機，水平面減少了一條運動導(dǎo)軌，因此，打印空間開放，不再受到龍門結(jié)構(gòu)的約束。

1.1 機構(gòu)組成及三維運動的實現(xiàn)

懸臂式3D打印機的總體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其打印頭通過打印頭固定件與水平導(dǎo)軌滑塊連接，而水平導(dǎo)軌滑塊又以滾珠絲杠螺母副的方式與水平導(dǎo)軌連接在一起并由水平伺服電機驅(qū)動，實現(xiàn)打印頭的左右移動，這樣就構(gòu)成了該打印機的懸臂裝置，也構(gòu)建了圓柱坐標系的ρ參量。同理，將上述懸臂裝置用連接板通過垂直導(dǎo)軌滑塊與垂直導(dǎo)軌連接并由垂直伺服電機進行驅(qū)動，實現(xiàn)整個懸臂裝置的上下位移，這就構(gòu)建起了圓柱坐標系的z參量。然后，將垂直導(dǎo)軌用支承架與機構(gòu)的底座旋轉(zhuǎn)裝置連接并由底部旋轉(zhuǎn)軸伺服電機驅(qū)動垂直導(dǎo)軌和懸臂裝置一起做旋轉(zhuǎn)運動，從而構(gòu)建起圓柱坐標系的θ參量，整個打印機就這樣構(gòu)建起了一個具有旋轉(zhuǎn)運動、水平移動和上下移動的三自由度機械結(jié)構(gòu)，從而具備了利用圓柱坐標系描述一個三維空間的功能。

圖1 總體機械結(jié)構(gòu)圖

1.2 底座旋轉(zhuǎn)軸傳動結(jié)構(gòu)設(shè)計

底座旋轉(zhuǎn)軸傳動結(jié)構(gòu)如圖2所示，它通過減速器承載體的軸肩固定在打印機底座的內(nèi)部，其中減速器承載體的內(nèi)部空腔直徑d=138mm，用于安裝減速器，壁厚l1= 46mm、軸肩外徑與軸徑之差l2=25mm，軸肩厚度l3= 15mm，整個承載體高度h=59mm。受SCARA機器人底座傳動結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，該旋轉(zhuǎn)軸傳動機構(gòu)采用了諧波減速器作為電機輸出端減速增矩裝置。其中，諧波減速器由波發(fā)生器、剛輪、柔輪三部分組成，減速比為100:1。旋轉(zhuǎn)軸伺服電機通過減速器承載體與波發(fā)生器相連，并用連接墊片固定住電機軸端，使波發(fā)生器和電機同步轉(zhuǎn)動。然后，波發(fā)生器通過柔輪減速增距輸出到連接盤上，再由連接盤通過支承架將底部的旋轉(zhuǎn)運動輸出到打印機的垂直導(dǎo)軌及懸臂裝置，從而實現(xiàn)了對打印機底座以上機構(gòu)進行精準旋轉(zhuǎn)運動的控制。

圖2 旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置剖視圖

1.3 總體機構(gòu)的設(shè)計參數(shù)

該3D打印機關(guān)鍵零件設(shè)計尺寸及運動參數(shù)范圍如表1所示。由表可知，由于左右限位開關(guān)和上下限位開關(guān)的控制，該3D打印機的ρ參量和z參量分別只能在0～400mm和0～200mm的范圍內(nèi)取值。在底座旋轉(zhuǎn)裝置作用下，該打印機可以形成一個壁厚為400mm，高度為200mm的空心圓柱打印空間，成型尺寸遠大于一般的龍門式3D打印機。

表1 關(guān)鍵零件設(shè)計尺寸及運動參數(shù)范圍

2 減速器承載體優(yōu)化設(shè)計

在打印機的初步設(shè)計中，考慮到整個機構(gòu)的平衡性和抗振性，底座的尺寸設(shè)計選擇了較高的安全系數(shù)，如表1所示，其中底座直筒外徑為280mm，壁厚為25mm，采用球墨鑄鐵鑄造。通過計算可得整個底座的重量高達78.9kg，實際產(chǎn)品將十分不便于搬運。為了既能保證整機抗振性，又能實現(xiàn)整機的輕量化，本文采用有限元法對圖1初步設(shè)計模型中的底座裝配體部分再進行一次優(yōu)化設(shè)計。在底座裝配體中，由于底座內(nèi)孔與減速器承載體外表面存在配合關(guān)系，二者尺寸變化必須相同，故選擇底座或承載體為優(yōu)化對象均可，但若以底座或整個底座裝配體為優(yōu)化對象，將引起裝配體的建模錯誤導(dǎo)致優(yōu)化失敗，同時還無法測定承載體內(nèi)壁的變形是否滿足要求。因此，本文以減速器承載體為多目標優(yōu)化設(shè)計對象，既能實現(xiàn)減速器承載體自身的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，又能間接實現(xiàn)底座的尺寸優(yōu)化，達到使整機體積小、重量輕且抗振好的目的。

2.1 優(yōu)化模型的建立

為了讓模型中減速器承載體的受力情況與真實情況盡可能相近，同時又避免模型過于復(fù)雜使分析效率降低，本文以簡化后的旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置作為優(yōu)化對象。該優(yōu)化模型保留了減速器承載體內(nèi)部安裝的減速器外殼和外部安裝的伺服電機，省去了其上方與減速器連接的圓盤、關(guān)節(jié)罩子、支承架、垂直導(dǎo)軌及懸臂裝置，如圖3所示。

其中減速器采用304不銹鋼，由于其代表減速器上方整個機構(gòu)的重量，該不銹鋼密度自定義為61871kg/m3，泊松比0.31，彈性模量193GPa。中間的減速器承載體和下方的伺服電機采用45號鋼，密度7890kg/m3，泊松比0.269，彈性模量209GPa，屈服強度δs≥355MPa。采用ANSYS Workbench中的“Bonded”接觸單元類型仿真所有的接觸面［10］。

圖3 簡化旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置

2.2 靜力分析

結(jié)合模型比較規(guī)則的特點，此次對簡化旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置的網(wǎng)格劃分是先以Automatic法完成初步劃分，再用Hex Dominant法做進一步的規(guī)整和細化，以保證計算結(jié)果的可靠性。最終所得有限元網(wǎng)格類型為六面體網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分單元數(shù):39804，節(jié)點數(shù):150910。

載荷施加的正確與否直接影響到整個靜力分析的可靠性，為此，對懸臂式3D打印機的旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置做進一步的受力分析，如圖4所示。圖4中，L1為垂直導(dǎo)軌的中心線，L2為水平導(dǎo)軌的中心線，L3為旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置的軸心線，O點為L1、L2所確立的中心面與L3的交點，該受力分析基于各模型質(zhì)量分布均勻、形狀規(guī)則的假設(shè)條件下進行。其中，G1為水平伺服電機的重力，G2、G3分別為水平導(dǎo)軌左右部分的重力，G4為垂直伺服電機及垂直導(dǎo)軌重力的合力，F(xiàn)1為G1、G2、G3向O點平移的合力，并且，根據(jù)力的平移定理產(chǎn)生一個附加力偶M2。同理，將F1、G4向中心線L3平移，得到另一個附加力偶M1。F2為支承架、圓盤和關(guān)節(jié)罩子的重力合力與F1、G4兩個力的和，即減速器以上整個機構(gòu)的重力之和。M3為旋轉(zhuǎn)伺服電機輸出在減速器承載體上的最大力偶。通過計算可得，F(xiàn)2=190N，減速器自身重力35N，M1=7.5N·m，M2=－10N·m，M3=－7N·m。

圖4 旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置受力簡圖

通過上述受力分析可知，施加在簡化旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置上的力和力偶為減速器上方整個機構(gòu)的重力F2以及作用在減速器外殼內(nèi)壁上，方向為X軸、Y軸、Z軸三個軸向的力偶M1、M2、M3。為實現(xiàn)上方機構(gòu)總重力作用在減速器承載體上，將減速器自身密度自定義為61871kg/m3，使減速器自重達到225N，等于F2與其本來自重的和。完成載荷施加后，使用ANSYS Workbench對圖3模型進行數(shù)值計算可得減速器承載體的變形及等效應(yīng)力如圖5所示。

圖5 減速器承載體變形及等效應(yīng)力圖

如圖5左所示，減速器承載體的最大變形為1.08×10－4mm，變形量很小，發(fā)生在安裝減速器的內(nèi)部臺階上。如圖5右所示，減速器承載體的最大應(yīng)力為0.41853MPa，位于安裝減速器的內(nèi)部臺階的邊緣，是模型簡化過程中刪除倒圓所導(dǎo)致。取45鋼的屈服強度為σs=355MPa，安全因數(shù)為n=2，許用應(yīng)力［σ］=σs/n=355/2=177.5MPa，［σ］＞0.41853MPa。結(jié)果分析表明，減速器承載體在當前工況下，剛度、強度均符合要求且還有很大余量，其側(cè)壁及上方邊沿尺寸過大，可以考慮優(yōu)化該尺寸大小，以減輕其自身重量，使得與之配合的底座的內(nèi)外徑尺寸也得到優(yōu)化，使整機質(zhì)量減輕。

2.3 模態(tài)分析

模態(tài)分析用于分析結(jié)構(gòu)的自振頻率特性，包括固有頻率和振型及振型參與系數(shù)［11］?？紤]尺寸優(yōu)化會引起模型固有頻率的改變，如果固有頻率過小容易導(dǎo)致機械結(jié)構(gòu)在電機轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生共振。因此，分析機構(gòu)的模態(tài)是優(yōu)化設(shè)計的必要步驟，且低階模態(tài)的頻率大小也是優(yōu)化設(shè)計中一個重要的約束條件。在上文靜力分析的基礎(chǔ)上，對機構(gòu)進行6階模態(tài)分析，結(jié)果如表2所示。該3D打印機的旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置在工作過程中，其最高轉(zhuǎn)速為3000rpm，因此打印機轉(zhuǎn)動時的最高激振頻率為60Hz。旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置一階固有頻率為912.52Hz，如圖6所示，遠大于打印機工作時的最高激振頻率。說明，尺寸的可縮減余量很大，需做進一步優(yōu)化設(shè)計。

表2 傳動裝置6階模態(tài)頻率與振型

圖6 一階振型圖

2.4 減速器承載體多目標優(yōu)化

減速器承載體靜力分析和模態(tài)分析的結(jié)果表明，該模型側(cè)壁的尺寸需進一步優(yōu)化。結(jié)合分析結(jié)果，選取圖2中壁厚l1、軸肩外徑與軸徑之差l2以及軸肩厚度l3三個尺寸作為減速器承載體的設(shè)計變量。根據(jù)高精度機床設(shè)計要求，以減速器承載體剛度δ≤δmax= 0.0001mm、強度σ≤σmax=10MPa且一階頻率f≥200Hz為約束條件，以減速器承載體質(zhì)量M最小為優(yōu)化目標［12］，采用響應(yīng)面優(yōu)化分析法對減速器承載體進行多目標優(yōu)化，建立其優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型如下:

2.4.1 響應(yīng)面法理論

響應(yīng)面法，是利用一個近似函數(shù)珓y=f(x)來擬合n維樣本點x∈En與待求性能值之間的函數(shù)關(guān)系y= f(x)，并采用待定系數(shù)法求解出該近似函數(shù)，得到該性能值與各樣本點的響應(yīng)函數(shù)［13－14］。比如公式(1)中的質(zhì)量與設(shè)計變量之間的函數(shù)M(l1，l2，l3)，就需要利用響應(yīng)面法求出其近似函數(shù)表達式。

實際中根據(jù)工程經(jīng)驗，通常選取線性或二次多項式的形式作為近似函數(shù)珓y，以線性近似函數(shù)為例，其擬合過程如下［13］:

要確定n個系數(shù)βi，需做m次(m≥n)獨立試驗，每次試驗各設(shè)計變量的取值不能相同，這可在試驗設(shè)計中通過全因子設(shè)計、部分因子設(shè)計、中心復(fù)合設(shè)計等方法來實現(xiàn)。記得到的k個樣本點為和k個樣本值為yk，其中，(k=1，2，…m)，(i=0，1，…n)。將上述k個樣本點xik帶入式(2)中，得到k個響應(yīng)面函數(shù)值:

由于函數(shù)y珓(x)是y(x)的擬合函數(shù)，所以式(3)得到的響應(yīng)面函數(shù)值通常不等于實際樣本值，二者之間存在一個誤差ε，即:

展開S(β)對各變量βl的偏導(dǎo)數(shù)，就可以得到n個方程n個未知數(shù)的線性方程組，從而解出式(2)中的n個系數(shù)βi，再帶入式(2)，得到y(tǒng)(x)的響應(yīng)函數(shù)珓y(x)。

2.4.2 響應(yīng)面優(yōu)化分析

基于以上理論基礎(chǔ)，在ANSYS Workbench中選擇響應(yīng)曲面優(yōu)化工具(Response Surface Optimization)，以減速器承載體的壁厚l1、軸肩外徑與軸徑之差l2以及軸肩厚度l3為對象進行優(yōu)化設(shè)計，試驗設(shè)計方法選為中心復(fù)合設(shè)計，自動生成15組樣本點及樣本值，以此建立質(zhì)量、變形、應(yīng)力、頻率四個性能參數(shù)與3個尺寸之間的響應(yīng)函數(shù)，再按式(1)的要求，用多目標遺傳算法(Multi-Objective Genetic Algorithm)進行優(yōu)化設(shè)計，得到3組侯選值，3組優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 響應(yīng)面優(yōu)化結(jié)果

以質(zhì)量最輕為原則，選用第一組侯選值為優(yōu)化結(jié)果，結(jié)合實際情況取l1=8mm，l2=18mm，l3=7mm，將此優(yōu)化尺寸作用于減速器承載體，底座尺寸也隨之改變，得到新的旋轉(zhuǎn)軸傳動裝置與底座裝配體。按上文所述對該裝配體進行靜力分析和模態(tài)分析，得到優(yōu)化前后底座裝配體的變形如圖7所示，最大等效應(yīng)力及一階模態(tài)結(jié)果對比及優(yōu)化前后的尺寸、質(zhì)量的對比如表4所示。圖7中，左邊為優(yōu)化前底座裝配體變形圖，其最大變形約為3.37×10－4mm，右邊為優(yōu)化后的變形圖，其最大變形約為4.66×10－4mm。

圖7 優(yōu)化前后底座裝配體的變形

表4 整機優(yōu)化前后具體參數(shù)值對比

從表4可以看出，優(yōu)化后的減速器承載體和底座的圓周尺寸均有較大幅度減小，使得整機質(zhì)量大大減輕，降低到原來的59.3%。優(yōu)化后底座裝配體的最大等效應(yīng)力σmax'有所降低，最大變形δmax'雖有所增加，但仍然很小，遠小于規(guī)定的最大幾何精度誤差0.005mm［15］，在允許變形范圍內(nèi)。底座裝配體的一階固有頻率f'雖然有所降低，但仍遠大于旋轉(zhuǎn)軸電機的最高激振頻率，滿足設(shè)計要求。

3 結(jié)論

結(jié)合ANSYSY軟件，解決了懸臂式3D打印機在設(shè)計過程中結(jié)構(gòu)優(yōu)化的問題，縮減了底座裝配體的關(guān)鍵尺寸，降低了整機重量，達到了抗振好和輕量化的設(shè)計要求。文中論述了響應(yīng)面法的理論基礎(chǔ)，對響應(yīng)面優(yōu)化設(shè)計的運用做了實例闡釋，可用于推廣到其他機械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中，能有效縮減設(shè)計周期。

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(編輯李秀敏)

Structure Design and Optimization of Three-degree-of-freedom Cantilever 3D Printer

CHEN Hai-jun1，YIN Ming1，YIN Guo-fu1，HAN Xing-guo2
(1.School of Manufacturing Science and Engineering，Sichuan University，Chendu 610065，China;2.School of Mechanical Engineering，Guilin University of Aerospace Techology，Guilin Guangxi541004，China)

Considering the fixed platform and limited space of gantry 3D printer，w e designed a cantilever 3D printer with three degrees of freedom，including rotation，moving in the horizontal direction and moving in the vertical direction，the principal of w hich is based on cylindrical coordinates that represent a three dimensional space with three parameters，namelyρ，θand z.The finite element analysis model of the rotary transmission is simplified by analyzing the mechanical structure and the force on the top of the base.The static analysis and modal analysis of the simplified rotary transmission device are carried out by using ANSYS Workbench.On the basis of the static analysis and modalanalysis，the optimization of the key dimensions of the reducer bearing is carried out by using the response surface optimization tool of ANSYS，according to the lightw eightdesign requirements.The optimization results show thatthe response surface optimization method can achieve the multi objective optimization design and realize the lightw eight of the w hole machine.

multidegrees of freedom;cantilever 3D printer;mechanism design;response surface optimization

TH164;TG506

A

1001－2265(2017)04－0070－05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.04.017

2016－08－15;

2016－09－18

國家科技支撐計劃項目(2015BAF27B01);四川省科技支撐計劃項目(2014GZX0001)

陳海軍(1991—)，男，四川廣安人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向為3D打印和自動化控制，(E－mail)haijun－c@qq.com;通信作者:殷鳴(1987—)，男，成都人，四川大學(xué)講師，博士，研究方向為3D打印和新型人工電磁介質(zhì)設(shè)計與制造，(E－mail)mingyin@scu.edu.cn。