施 強(qiáng)，袁長清，吳立堯

( 空軍航空大學(xué)飛行器與動力系，長春 吉林 130022)

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徑向兩星庫侖編隊(duì)隊(duì)形保持自適應(yīng)控制研究*

施 強(qiáng)，袁長清，吳立堯

( 空軍航空大學(xué)飛行器與動力系，長春 吉林 130022)

研究地球同步軌道處徑向兩星庫侖編隊(duì)隊(duì)形保持的自適應(yīng)控制問題.建立了雙星庫侖編隊(duì)在地球同步軌道處徑向兩星庫侖編隊(duì)動力學(xué)模型.基于建立的非線性化動力學(xué)模型，同時(shí)考慮到外部擾動和動力學(xué)模型誤差等因素，設(shè)計(jì)徑向兩星庫侖編隊(duì)在地球同步軌道處的構(gòu)型保持自適應(yīng)控制律，并利用Lyapnuov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性.最后進(jìn)行數(shù)值仿真，并與傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行了比較.仿真結(jié)果表明提出的自適應(yīng)控制律響應(yīng)速度快，穩(wěn)定性好，編隊(duì)構(gòu)型能夠收斂到期望值，控制性能明顯優(yōu)于PID控制. 關(guān)鍵詞： 庫侖編隊(duì)；地球同步軌道；構(gòu)型保持；自適應(yīng)控制

0 引 言

近年來，庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)技術(shù)成為一種新興的編隊(duì)技術(shù)，即通過使衛(wèi)星帶電(正電或負(fù)電)形成排斥力或吸引力，通過設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂坡蓙砜刂菩l(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型、姿態(tài)、距離等以完成預(yù)期任務(wù).King等[1]在2002年首次提出衛(wèi)星庫侖力編隊(duì)的概念，從此庫侖編隊(duì)以其極大的優(yōu)勢引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究.庫侖編隊(duì)通過衛(wèi)星間的靜電引力或斥力形成控制力，不需拋射任何電荷，不會產(chǎn)生腐蝕性的羽狀物，是一種清潔無害能源[1-3].另外對于近距離編隊(duì)技術(shù)，庫侖編隊(duì)的精度可以達(dá)到毫牛的數(shù)量級，完全滿足編隊(duì)要求.這些特點(diǎn)使得庫侖編隊(duì)技術(shù)成為一個(gè)在航天領(lǐng)域中具有長期巨大研究價(jià)值的課題.

對于庫侖編隊(duì)系統(tǒng)反饋控制問題，Hussein等[2]于2007年首次研究庫侖虛擬結(jié)構(gòu)的反饋控制問題.考慮三結(jié)點(diǎn)共線虛擬結(jié)構(gòu)，應(yīng)用線性化相對動力學(xué)方程設(shè)計(jì)了電荷反饋控制律.Natarajan等[3-5]針對地球同步軌道的二體庫侖虛擬繩系編隊(duì)推導(dǎo)出衛(wèi)星的相對距離動力學(xué)方程和姿態(tài)動力學(xué)方程，并設(shè)計(jì)了電荷反饋控制器.文獻(xiàn)[3]在軌道徑向方向?qū)⒎蔷€性動力學(xué)方程線性化，設(shè)計(jì)了電荷PD反饋控制律來穩(wěn)定二體庫侖編隊(duì)構(gòu)型；文獻(xiàn)[4]在軌道跡向方向和法線方向采用了推力器和庫侖力相結(jié)合的方式，設(shè)計(jì)了一個(gè)混合反饋控制律，并且沒有引起羽流問題；文獻(xiàn)[5]基于線性化平面外解耦模型，提出了一個(gè)只用庫侖力進(jìn)行控制的控制律.Inampudi和Schaub等[6-7]針對于二體庫侖編隊(duì)在地月平動點(diǎn)處推導(dǎo)編隊(duì)動力學(xué)模型并設(shè)計(jì)了反饋控制律.文獻(xiàn)[6]利用拉格朗日方程推導(dǎo)出衛(wèi)星相對距離動力學(xué)方程和姿態(tài)動力學(xué)方程的一般式，設(shè)計(jì)電荷PID反饋控制律穩(wěn)定構(gòu)型；文獻(xiàn)[7]考慮了環(huán)境力矩包括重力梯度力矩和太陽光壓攝動.Wang等[8]研究了地球同步軌道處兩衛(wèi)星自旋庫侖虛擬結(jié)構(gòu)控制問題，設(shè)計(jì)全狀態(tài)反饋電荷控制器，并應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

目前國內(nèi)在靜態(tài)編隊(duì)以及動態(tài)編隊(duì)研究還比較少.在靜態(tài)編隊(duì)方面，王婷等[9]通過采用粒子群算法求解出了不等質(zhì)量四星庫侖衛(wèi)星編隊(duì)在平面和立體情況下的最優(yōu)靜態(tài)構(gòu)型.王婷等[10]分析了立體五星編隊(duì)在靜電力和萬有引力作用下的靜態(tài)構(gòu)型，并采用線性二次型最優(yōu)控制方法保持編隊(duì)的靜態(tài)構(gòu)型穩(wěn)定并實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)飛行控制仿真.張皓等[11]研究了利用庫侖力控制實(shí)現(xiàn)近距離懸停軌道的問題.黃靜等[12]在Wang和Schaub的基礎(chǔ)上研究了考慮控制輸入飽和與狀態(tài)約束的深空旋轉(zhuǎn)二體庫侖衛(wèi)星構(gòu)型控制問題.黃靜等[13]研究了考慮太陽光壓的非線性姿態(tài)軌道動力學(xué)方程與構(gòu)型控制.王景偉[14]對雙星靜態(tài)編隊(duì)在地球同步軌道處動力學(xué)與反饋控制做出研究.李博文[15]對兩自旋衛(wèi)星在地球同步軌道的非線性反饋控制做出研究.由于國內(nèi)關(guān)于庫侖衛(wèi)星編隊(duì)研究很少，可以借鑒電磁衛(wèi)星編隊(duì)相關(guān)研究[16-17].

本文重點(diǎn)研究了兩顆庫侖衛(wèi)星在地球同步軌道處徑向兩星庫侖編隊(duì)構(gòu)型保持的自適應(yīng)控制問題，所采用的自適應(yīng)控制方法可以推廣到多星庫侖編隊(duì)構(gòu)型保持控制問題.首先推導(dǎo)了二星庫侖編隊(duì)在地球同步軌道處徑向兩星動力學(xué)方程，并考慮工程實(shí)際中外界環(huán)境干擾與庫侖力模型誤差的參數(shù)不確定性，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制律.最后進(jìn)行數(shù)值仿真，并將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[6]中所用的傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該控制方法的有效性.

1 兩星庫侖編隊(duì)動力學(xué)建模

假設(shè)地球的質(zhì)量為M，為了描述衛(wèi)星之間的相對運(yùn)動，建立Hill軌道坐標(biāo)系H ∶{Or,Oθ,Oh}，Or沿地球半徑指向背離地心方向，Oθ指向衛(wèi)星編隊(duì)質(zhì)心的速度方向，Oh指向衛(wèi)星軌道角速度方向，Oh與Or,Oθ構(gòu)成右手系(如圖1所示).用ri表示庫侖力編隊(duì)中第i顆衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系中的位置，rc為編隊(duì)質(zhì)心在慣性坐標(biāo)中的位置矢量，第i顆衛(wèi)星相對編隊(duì)質(zhì)心的位置矢量ρi=ri-rc，則第i顆衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系中的位置矢量為：

(1)

這里左上角標(biāo)“H”表示矢量在Hill坐標(biāo)系中的投影.

下面以整個(gè)庫侖衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)為研究對象，借鑒繩系衛(wèi)星編隊(duì)的建模思想[17]，建立兩星庫侖力衛(wèi)星編隊(duì)飛行的非線性相對運(yùn)動動力學(xué)模型.同時(shí)，該動力學(xué)模型也可以用來描述其他類型的非接觸力衛(wèi)星編隊(duì)的相對運(yùn)動.

由于編隊(duì)質(zhì)心位于坐標(biāo)系原點(diǎn)處，所以質(zhì)心條件可以表示為：

m1ρ1+m2ρ2=0

(3)

(4)

其中，L表示兩星之間的距離.

(5)

在Hill坐標(biāo)系H中，星1位置向量可表示成：

(6)

根據(jù)質(zhì)心條件，星2位置向量可表示為：

(7)

在Hill坐標(biāo)系H中，第i星的慣性速度可表示為：

(8)

其中，rc表示位置向量的質(zhì)心，Ω為質(zhì)心恒定的軌道角速度.所以系統(tǒng)的動能為

(9)

利用上述方程可得

(10)

二星編隊(duì)由地球所引起的重力勢能為：

(11)

二星編隊(duì)的庫侖力勢能為：

(12)

其中kc=8.99×109(N·m2/C2)為靜電引力常數(shù)，q1和q2分別為兩航天器的帶電量，λd為德拜長度，式中指數(shù)項(xiàng)取決于λd.德拜長度λd的大小主要取決于衛(wèi)星所在空間環(huán)境等離子密度的大小，在地球低、中軌道德拜長度λd只有幾厘米，而在地球高軌道(如GEO)德拜長度約為140～1 400m.由德拜公式，在地球低、中軌道庫侖力很小，因而無法應(yīng)用庫侖力編隊(duì)，只有在如地球同步軌道的高軌道才可以實(shí)現(xiàn).

利用拉格朗日函數(shù)L=T-(Vg+Vc)在下列方程中推導(dǎo)出非線性動力學(xué)方程[8]

(13)

qi=(θ,ψ,L) (i=1,…,3)

(14)

其中Qi為第i星廣義力.

易得，兩星庫侖編隊(duì)非線性動力學(xué)方程式如下：

3Ω2cos2ψ)=aθ

(15)

3Ω2sinψcosψ=aψ

(16)

(17)

其中Q=q1q2，aθ與 aψ為外界擾動力在θ和ψ方向上產(chǎn)生的加速度.本文均選取地球高軌道附近.上述式(15)～(17)為徑向兩星庫侖編隊(duì)運(yùn)動在地球高軌道處耦合的非線性常微分動力學(xué)方程.

當(dāng)編隊(duì)相對于Hill坐標(biāo)系H保持靜態(tài)穩(wěn)定，非線性運(yùn)動方程滿足下列軌道徑向方向平衡條件

(18)

L=Lref

(19)

利用式(16)～(17)可得到實(shí)現(xiàn)靜態(tài)編隊(duì)平衡所需的參考電荷積為

(20)

式(15)～(17)可簡化為：

(21)

G=

考慮環(huán)境外部干擾作用，式(21)可表示為

(22)

考慮庫侖衛(wèi)星形狀和電荷分布情況，衛(wèi)星之間庫侖力真實(shí)值與實(shí)際計(jì)算值存在誤差.通過修正庫侖力計(jì)算值減小誤差.修正庫侖力可表示為

(23)

考慮外界干擾力和庫侖力靜電場近似模型的不確定性，兩星庫侖編隊(duì)飛行的動力學(xué)方程可記為

(24)

式中，

2 編隊(duì)隊(duì)形保持自適應(yīng)控制

δX=X-Xd

(25)

速度誤差為

(26)

不確定參數(shù)的估計(jì)誤差為：

(27)

復(fù)合誤差可記為：

(28)

對式(28)求導(dǎo)：

(29)

令控制加速度控制律如下:

(30)

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明編隊(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.定義Lyapunov函數(shù)為

(31)

式中Γ為對角矩陣.

對式(31)求導(dǎo)：

(32)

取自適應(yīng)控制律為：

(33)

式中M=KY.

將式(30)和(33)代入式(32)可得到：

(34)

假設(shè)外界位置干擾力和衛(wèi)星間庫侖力模型不確定修正因子都是隨著時(shí)間緩慢變化的，則式(34)化為

(35)

3 數(shù)值仿真

本節(jié)應(yīng)用Matlab/Simulink軟件進(jìn)行仿真校驗(yàn).考慮衛(wèi)星在編隊(duì)飛行過程中受到的外界干擾力作用和衛(wèi)星間靜電場模型誤差，對徑向兩星庫侖編隊(duì)在地球同步軌道上靜態(tài)構(gòu)型保持的自適應(yīng)控制律進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與文獻(xiàn)[6]中傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行比較(PID的控制參數(shù)參照文獻(xiàn)[6]，這里不在贅述).

自適應(yīng)控制參數(shù)設(shè)計(jì)為：

Λ=diag{0.01,0.01,0.01}，

Kp=diag{0.01,0.01,0.01}，

Γ=diag{1,1,1,0.1,0.1,0.1}.

仿真結(jié)果如圖3～7所示，其中圖3～6為自適應(yīng)控制與PID控制對比圖，圖7為單獨(dú)自適應(yīng)控制圖.圖3表示編隊(duì)構(gòu)型在軌道徑向?qū)嶋H衛(wèi)星間距L隨著時(shí)間的變化曲線，圖4和圖5分別表示俯仰角誤差δθ和偏航角誤差δψ隨時(shí)間的變化情況.由圖3～5可以看出，在兩種控制律控制下，衛(wèi)星間相對距離L和角度誤差均能收斂到期望狀態(tài)，但相比之下自適應(yīng)控制超調(diào)量小，響應(yīng)速度快，控制性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制.仿真結(jié)果表明，在自適應(yīng)控制律的作用下，編隊(duì)在3.5小時(shí)左右達(dá)到了預(yù)期構(gòu)型并穩(wěn)定運(yùn)行，設(shè)計(jì)的編隊(duì)構(gòu)型保持控制律可行、有效，控制性能好.圖6表示在兩顆衛(wèi)星表面所帶電荷乘積隨著時(shí)間的變化情況.由圖6明顯能夠比較出自適應(yīng)控制在調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制，即自適應(yīng)控制穩(wěn)定性好，反映響應(yīng)速度快.另外自適應(yīng)控制能夠明顯克服外部環(huán)境干擾，使編隊(duì)在深空環(huán)境中能夠保持穩(wěn)定構(gòu)型運(yùn)動.

圖7表示庫侖編隊(duì)構(gòu)型在自適應(yīng)控制過程中，θ、ψ和L三個(gè)方向上的控制加速度隨時(shí)間的變化情況.由于在L方向存在外界環(huán)境干擾力，在構(gòu)型達(dá)到期望值時(shí)，仍需提供加速度來克服干擾作用，才能使庫侖編隊(duì)一直穩(wěn)定飛行，加速度呈現(xiàn)近似正弦變化趨勢，與假設(shè)的未知干擾加速度一致；另外兩個(gè)方向的干擾加速度估計(jì)值漸進(jìn)為零，與假設(shè)基本吻合.由于L方向加速度由庫侖力提供，所以庫侖加速度曲線的變化同電荷乘積Q12曲線的變化一致，即通過改變電荷乘積而改變加速度大小，使編隊(duì)構(gòu)型漸進(jìn)穩(wěn)定并克服外界環(huán)境干擾力作用一直按期望構(gòu)型飛行.

4 結(jié) 論

本文研究了地球同步軌道處兩星庫侖編隊(duì)構(gòu)型保持的自適應(yīng)控制問題.首先建立了在地球同步處徑向兩星庫侖編隊(duì)的動力學(xué)模型，考慮在近地環(huán)境中庫侖衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型保持實(shí)際可能面臨的外界環(huán)境干擾和庫侖力計(jì)算模型的不確定性，本文設(shè)計(jì)了編隊(duì)隊(duì)型保持的自適應(yīng)控制律，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性.另外將本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制律與傳統(tǒng)PID控制進(jìn)行比較，仿真結(jié)果證明本文提出的自適應(yīng)控制律超調(diào)量更小、響應(yīng)速度更快，具有良好的魯棒性，控制性能明顯優(yōu)于PID控制.此外，本文研究的庫侖衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制方法可應(yīng)用于多星庫侖編隊(duì)的構(gòu)型保持與重構(gòu)任務(wù).

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Adaptive Control of Two-Craft Coulomb Formation in Track Radial

SHI Qiang, YUAN Changqing, WU Liyao

(AviationUniversityofAirForce,Changchun130022,China)

The adaptive control problem of two-craft Coulomb formation configuration keeping at geostationary orbit is investigated. the non-linear relative kinetic model of the two-craft Coulomb formation at geostationary orbit is established. Based on the non-linear dynamic model, considering the unmodeled disturbance force in space environment and the model error generated during the non-linear dynamic model, an adaptive control law is designed. The numerical simulation is carried out, and the results are compared with the traditional PID control. The simulation results show that the proposed adaptive control law has fast response, good stability, and the formation configuration can converge to the expected one. The control performance is also proved to be better than PID control.

Coulomb formation； geostationary orbit； configuration keeping； adaptive control

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372353).

2017-03-21

施 強(qiáng)(1993—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星庫侖力編隊(duì)動力學(xué)與控制;袁長清(1974—)，男，副教授，研究方向?yàn)楹教炱鲃恿W(xué)與控制;吳立堯(1992—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星庫侖力編隊(duì)動力學(xué)與控制.

V44

A

1674-1579(2017)03-0028-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.03.005