馬志勇

帶有強(qiáng)阻尼的非線性熱粘彈方程能量的衰減

馬志勇

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

研究了一類帶有強(qiáng)阻尼的熱粘彈方程能量的大時(shí)間行為,利用多乘子方法,巧妙建立擾動(dòng)函數(shù),構(gòu)建李亞普諾夫泛函,最終得到能量的指數(shù)衰減結(jié)果。

熱粘彈;非線性;衰減

0 引言

熱彈性是通過(guò)溫度變化引起固體彈性模量變化的性質(zhì),粗略地說(shuō),它既具有某些彈性固體材料的性質(zhì),又具有某些黏性流體的性質(zhì)。熱彈方程[1]是熱彈性力學(xué)方程組的簡(jiǎn)稱,是根據(jù)熱彈性體的變形和溫度的分布規(guī)律建立的數(shù)學(xué)模型。關(guān)于材料的彈性、黏性性質(zhì)的研究歷史悠久,近幾十年來(lái),新型復(fù)合材料、功能材料、生物材料、建筑材料等材料科學(xué)的發(fā)展,愈來(lái)愈深入地涉及到熱粘彈性性質(zhì)。最近Han等[2]研究了帶有記憶的粘彈盤方程：

本文利用Messaoudi[4]中的方法,證明了方程解的衰減結(jié)果,在此基礎(chǔ)上,Cavalcanti等[3]研究了帶有阻尼的粘彈方程：

在一系列的假設(shè)條件下,筆者證明了方程解的指數(shù)衰減,但將粘彈方程推廣到熱粘彈方程之后,相應(yīng)的熱粘彈方程能量的衰減結(jié)果還沒(méi)有,因此,本文通過(guò)多乘子方法證明了熱粘彈方程解的衰減。

1 模型介紹和分析

本文研究的熱粘彈方程如下：

初值為：

邊值為：

式中：u(x,t),θ(x,t)分別代表位移和溫度;x,t分別代表空間和時(shí)間變量;Ω是Rn中的一個(gè)子集; u0(x),u1(x),θ0(x)為給定函數(shù);g為記憶核函數(shù);γ為常數(shù)。

假設(shè)ρ滿足：

核函數(shù)g滿足：

g:[0,∞)→(0,∞)是有界函數(shù)且

存在正定函數(shù)ξ(t)使得：

及

式中,l、k是正常數(shù)。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算,與式(3)～(4)相關(guān)的能量函數(shù)為：

式中,

2 結(jié)論

定理1假設(shè)條件式(8)～(10)成立,若(u0,u1,θ0)∈L2(Ω),那么存在正常數(shù)μ和K,使得由方程的解所構(gòu)成的能量函數(shù)E(t)滿足下面的衰減結(jié)果：

在證明結(jié)論式(13)之前,首先通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得到下面的幾個(gè)引理。

引理1若(u,θ)是式(3)～(4)的解,則有：

證明在式(3)～(4)兩邊分別乘以u(píng)t和θ,所得結(jié)果再在Ω上關(guān)于x,設(shè)條件式(8)～(10)成立下,可以得到式(14)。

接下來(lái)定義下面的能量擾動(dòng)函數(shù)：

定義：

式中,M和ε是2個(gè)正常數(shù),會(huì)在后面被確定。

在假設(shè)條件式(9)～(10)成立下,容易驗(yàn)證ξ(t)是單調(diào)減的正定函數(shù),因此成立：

其中,L是正常數(shù)。

引理2若(u,θ)是式(3)～(4)的解,則存在正常數(shù)β1、β2使得：

引理2的證明可參閱文獻(xiàn)[2]。

引理2意味著E(t)等價(jià)于F(t)。因此,為了證明主要結(jié)論式(13),首先對(duì)F(t)進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)。

引理3若(u,θ)是式(3)～(4)的解,則有：

其中：

Cs、Cp分別表示Sobolev和Poincare常數(shù)。

證明由Φ(t)的定義以及式(3)～(4),可以得到：

利用Young’s、Poincare’s、Soblev’s不等式和式(9)～(10),可得：

由以上估計(jì)式,同時(shí)令

這樣就完成了引理3的證明。

類似地,有下面的引理。

引理4若(u,θ)是式(3)～(4)的解,則有：

證明與引理3的證明類似,由Φ(t)的定義以及式(3)～(4),利用Young’s、Cauchy、Poincare’s、Sobolev’s不等式和式(9)～(10),可判定引理4結(jié)論正確。

接下來(lái)給出定理1的證明結(jié)論。

證明結(jié)論由引理1～引理4,選取ε,ε1,δ足夠小,同時(shí)選取M足夠,這樣可以斷定存在正常數(shù)a3、t0使得：

對(duì)于式(18)兩邊在[t0,t]上積分,可得：

令F(t0)=K,-a1/β2=μ,這樣由式(16)和(19),定理結(jié)論可得。

[1]ZHENG S M.Nonlinear evolution equations[M].Boca Raton,USA：CRCPress,2004.

[2]HAN X S,WANGM X.Generaldecay ofenergy fora viscoelastic equationw ith nonlinear damping[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2009,32(3)：346-358.

[3]CAVALCANTIM M,DOM INGOSCAVALCANTIV N, FERREIRA J.Existence and uniform decay for a nonlinearviscoelastic equationw ith strong damping[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2001,24(14)：1043-1053.

[4]MESSAOUDISA.General decay of the solution energy in aviscoelastic equationw ith anonlinearsource[J].Nonlinear Analysis,2008,69(8)：2589-2598.

Energy Decay for Non-Linear Thermoviscoelastic Equationsw ith Strong Dam ping

MA Zhiyong
(Schoolof Science,ShanghaiPolytechnic University,Shanghai201209,China)

Theenergy of the long timebehavior for thermoviscoelastic equationsw ith strong dampingwasstudied.Themulti-multiplier method was used to construct the perturbation function and the Lyapunov functionalwas constructed.Finally,the exponential decay resultof energy wasobtained.

thermoviscoelastic;non-linear;energy decay

O29

A

1001-4543(2017)02-0131-03

10.19570/j.cnki.jsspu.2017.02.010

2016-07-19

馬志勇(1980—),男,河南安陽(yáng)人,副教授,博士,主要研究方向?yàn)槠⒎址匠碳捌鋭?dòng)力系統(tǒng)。E-mail：zyma@sspu.edu.cn。

上海第二工業(yè)大學(xué)重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目(XXKPY1604)資助