崔學海

（重慶工商大學長江上游經(jīng)濟研究中心，重慶400067）

區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型的參數(shù)優(yōu)化

崔學海

（重慶工商大學長江上游經(jīng)濟研究中心，重慶400067）

面積序列及坐標序列的模擬精度是影響區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型性能的重要因素，文章通過克萊姆法則建立面積序列與坐標序列的灰色模型參數(shù)無偏估計新方法，在此基礎上構建了一種新的區(qū)間灰數(shù)預測模型；最后通過與傳統(tǒng)的區(qū)間灰數(shù)預測模型模擬精度進行了比較，結果表明新模型具有更為優(yōu)秀的模擬性能。

灰色理論；預測模型；Cramer法則；區(qū)間灰數(shù)；參數(shù)優(yōu)化

0 引言

在灰色理論[1]中，灰數(shù)是最基本的表示單元或“細胞”，而區(qū)間灰數(shù)則是灰色系統(tǒng)中最常見的灰色信息表現(xiàn)形式[2]，區(qū)間灰數(shù)預測模型是研究如何利用數(shù)學方法對區(qū)間灰數(shù)上下界進行模擬及預測的建模方法。由于區(qū)間灰數(shù)具有比實數(shù)更加復雜的數(shù)據(jù)結構與灰信息特征，同時受制于區(qū)間灰數(shù)之間代數(shù)運算體系的不完善，導致人們對區(qū)間灰數(shù)預測模型的研究成果遠遠落后于傳統(tǒng)以實數(shù)為建模對象的灰色預測模型，這有悖于灰數(shù)是灰色系統(tǒng)最基本表示單元或“細胞”的理論內(nèi)涵。因此，近年來關于區(qū)間灰數(shù)預測模型的研究備受關注[3]。

為了規(guī)避區(qū)間灰數(shù)之間的代數(shù)運算所帶來的運算結果不確定性（灰度）增加的缺陷，研究人員主要從區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列之間轉換的角度對區(qū)間灰數(shù)預測模型建模方法展開研究，其建模過程概括起來分為三步：（1）區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列的轉換；（2）面向實數(shù)序列的灰色預測模型的構建；（3）區(qū)間灰數(shù)上界及下界的推導。在這三個步驟中，“區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列的轉換”是研究區(qū)間灰數(shù)預測模型的核心內(nèi)容，從區(qū)間灰數(shù)預測模型既有研究成果來看，這種“灰→實”轉換主要分為三類：

（1）幾何坐標法[4,5]：主要是將區(qū)間灰數(shù)序列在二維直角坐標平面中進行映射，通過分析區(qū)間灰數(shù)序列的幾何特征來實現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列的等價轉換，通過構建實數(shù)序列群的灰色預測模型來實現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)上界及下界的模擬及預測。

（2）信息分解法[6,7]：該方法認為區(qū)間灰數(shù)中的信息實際上由確定信息與不確定信息兩個部分組成，因此可以按照一定的方式進行分解，從而構成由實數(shù)構成的“白部”及“灰部”序列，“核與灰半徑”的轉換思路與該方法本質(zhì)上是一致的。

（3）灰色屬性法[8-10]：通過區(qū)間灰數(shù)的“核”、“灰度”、“認知度”等基本屬性實現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列的轉換。這種轉換以“核”為中心展開，通過“灰度”確定“核”的變化范圍，通過建立基于“核”序列的灰色模型實現(xiàn)區(qū)間灰數(shù)核的模擬與預測。

可見，區(qū)間灰數(shù)序列與實數(shù)序列的轉換是構建區(qū)間灰數(shù)預測模型的重要內(nèi)容，而傳統(tǒng)灰色預測模型性能之優(yōu)劣則是影響區(qū)間灰數(shù)預測模型精度的關鍵。通常某一區(qū)間灰數(shù)序列會轉換成若干實數(shù)序列，因此基于不同實數(shù)序列將構建出體系復雜的灰色預測模型群，而現(xiàn)有的區(qū)間灰數(shù)預測模型還缺乏對灰色預測模型參數(shù)優(yōu)化方法進行有效研究，導致這些模型對區(qū)間灰數(shù)的模擬及預測效果不甚理想，基于此，本文試圖從參數(shù)優(yōu)化的角度對區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型進行研究，以提高區(qū)間灰數(shù)預測模型的整體性能。

1 區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型

本文區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型的序列轉換及建模過程如下：

其中p=1，2，…，n-1，

分別構建面積序列S及坐標序列W的GM(1,1)模型，可以推導得如下結果：

公式（3）稱為區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型[4]。

2 區(qū)間灰數(shù)預測模型參數(shù)優(yōu)化

對區(qū)間灰數(shù)預測模型的優(yōu)化，其實質(zhì)是對區(qū)間灰數(shù)面積序列S及坐標序列W的GM(1,1)模型參數(shù)a?s=[as，bs]、a?w=[aw，bw]的優(yōu)化。由于GM(1,1)模型的最終還原式為齊次指數(shù)形式，這限制了該模型對非齊次或近似非齊次指數(shù)序列的模擬及預測能力。然而，即使對嚴格齊次指數(shù)序列，其GM(1,1)模型同樣存在誤差，這主要是由于GM(1,1)模型在建模過程中存在面向差分方程的參數(shù)估計方法與基于微分方程的灰色模型時間響應函數(shù)之間的非一致性所導致的。本文通過克萊姆法則對GM(1,1)模型的參數(shù)估計方法進行研究，從優(yōu)化模型參數(shù)的角度實現(xiàn)對區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型的優(yōu)化。

為面積序列S的GM(1,1)模型通用形式。根據(jù)定義2，可以對公式（4）進行變形，得：

其中：

當k=2時，

當k=3時，根據(jù)公式（5）得：

將公式（7）代入公式（8）整理得：

當k=4時，根據(jù)公式（5）得：

將公式（9）代入公式（10）整理得：

根據(jù)前面的推導，當k=u時，可得如下公式：

將公式（9）進一步化簡得：

根據(jù)累加生成及累減還原的定義可知：

則：

整理公式（15）得：

公式（16）可簡化為：

其中，

類似地

其中，

根據(jù)文獻[4]中區(qū)間灰數(shù)面積序列的定義，可知：

當p=1時，

當p=2時，

…

當p=n-1時，

類似地，

聯(lián)立式（20）及式（21），可得：

公式（22）稱為基于克萊姆法則的區(qū)間灰數(shù)預測模型，簡稱KIGM(1,1)模型。

3 模型比較分析

為了驗證KIGM(1,1)模型的模擬性能，本文以文獻[4]中的區(qū)間灰數(shù)序列為基礎，構建該序列的KIGM(1,1)模型，并將模擬結果與文獻[4]進行比較和分析。

表1 X(?)中的區(qū)間灰數(shù)

S=(1.5,1.9,2.3,2.4,3.1)，W=(3.1,3.4,3.75,3.6,3.7)

分別應用經(jīng)典GM(1,1)模型及本文公式（17）、（18）對面積序列與坐標序列進行模擬，結果如表2所示。

表2 面積序列及坐標序列的模擬值及模擬誤差

根據(jù)公式（22）對區(qū)間灰數(shù)序列X（）?進行模擬，模擬值及模擬誤差如表3所示。

表3 區(qū)間灰數(shù)模擬與誤差比較

從表2可以看出，基于公式（17）和公式（18）所模擬的區(qū)間灰數(shù)面積序列與坐標序列的模擬誤差優(yōu)于傳統(tǒng)的GM (1,1)模型，而區(qū)間灰數(shù)預測模型的模擬性能又與面積序列與坐標序列的模擬值息息相關，因此理論上KIGM(1,1)模型應該比文獻[4]所提出的區(qū)間灰數(shù)預測模型具有更高的模擬精度。而從表3可看出,本文提出的KIGM(1,1)模型，其模擬精度高于文獻[4]中的模型，驗證了本文對傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預測模型優(yōu)化的有效性。

4 結論

由于區(qū)間灰數(shù)代數(shù)運算體系的不完善，導致無法直接構建面向區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預測模型?，F(xiàn)有方法主要通過將區(qū)間灰數(shù)序列轉換成實數(shù)序列，然后通過構建實數(shù)序列的灰色預測模型去實現(xiàn)對區(qū)間灰數(shù)的間接預測，因此，傳統(tǒng)灰色預測模型性能之優(yōu)劣則是影響區(qū)間灰數(shù)預測模型精度的關鍵。本文基于克萊姆法則對傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)幾何預測模型中面積序列與坐標序列的預測方法進行了優(yōu)化，在此基礎上構建了一種新的區(qū)間灰數(shù)預測模型（KIGM(1,1)模型），通過算例比較與誤差分析，驗證了該模型的有效性與實用性。研究成果對拓展灰色預測模型的應用范圍，促進灰色預測模型與實際問題的有效對接具有積極意義。

[1]Deng J L.Control Problems of Grey Systems[J].Systems&Control Letters,1982,1,(5).

[2]Liu S F,Forrest J,Yang Y J.A Brief Introduction to Grey Systems Theory[J].Grey Systems:Theory and Application,2012,2,(2).

[3]Xie N M,Liu S F,Yuan,C Q.Grey Number Sequence Forecasting Approach for Interval Analysis:A Case of China's Gross Domestic Product Prediction[J].The Journal of Grey System,2014,26,(1).

[4]曾波,劉思峰,謝乃明等.基于灰數(shù)帶及灰數(shù)層的區(qū)間灰數(shù)預測模型[J].控制與決策,2010,25(10).

[5]Zeng B,Guo C,Liu S F.A Novel Interval Grey Prediction Model Considering Uncertain Information[J].Journal of the Franklin Institute,2013，(350).

[6]方志耕,劉思峰.區(qū)間灰數(shù)表征與算法改進及GM(1, 1)模型應用研究[J].中國工程科學,2005,7(2).

[7]孟偉,劉思峰.區(qū)間灰數(shù)的標準化及其預測模型的構建與應用研究[J].控制與決策,2012,27(5).

[8]劉解放,劉思峰,方志耕.基于核與灰半徑的連續(xù)區(qū)間灰數(shù)預測模型[J].系統(tǒng)工程,2013,31(2).

[9]曾波.基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)預測模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2011,33(4).

[10]袁潮清,劉思峰.基于發(fā)展趨勢和認知程度的區(qū)間灰數(shù)預測[J].控制與決策,2011,26(2).

（責任編輯/亦民）

Parameter Optimization of Interval Grey Number Geometry Prediction Model

Cui Xuehai
（National Research Center for Upper Yangtze Economy,Chongqing Technology and Business University,Chongqing 400067,China）

The simulative precision of area sequence and coordinate sequence are important factors that exert impact on the performance of the geometric prediction model of interval gray number.This paper applies Cramer Rule to deduce a novel unbiased estimation method of area sequence and coordinate sequence,on the basis of which the paper establishes a new interval gray number prediction model.Finally,comparison is made between the accuracy of the proposed model and that of the traditional interval gray model without parameter optimization.The result shows that the novel model has better simulative performances.

grey theory;prediction model;Cramer Rule;interval grey number;parameter optimization

N941.5

A

1002-6487（2017）11-0010-04

國家自然科學基金資助項目（71271226）

崔學海（1979—），男，山東煙臺人，博士研究生，研究方向：經(jīng)濟數(shù)學模型。