左睿++唐翠芳

[摘 要] 本次研究發(fā)軔于筆者在教育實(shí)習(xí)實(shí)踐階段對(duì)一線數(shù)學(xué)活動(dòng)的觀察、參與及反思. 因此本文采用的研究方式為案例研究. 所探討的核心問(wèn)題是如何才能使中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的課后答疑的收效落到實(shí)處，為此筆者結(jié)合案例對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)了分析. 首先從正反兩個(gè)方面討論了案例中教師的做法的長(zhǎng)處與不足. 其次通過(guò)和有經(jīng)驗(yàn)的老教師的交流，筆者嘗試改進(jìn)了案例中的答疑方式.最后對(duì)案例進(jìn)行了歸納與總結(jié)并提出了確保課后答疑有效實(shí)行的兩點(diǎn)關(guān)鍵因素. 其一教師應(yīng)掌握精深的數(shù)學(xué)知識(shí). 其二教師必須具備須靈活的教學(xué)智慧.

[關(guān)鍵詞] 課后答疑；三角函數(shù)；案例研究

前言

課后答疑作為數(shù)學(xué)教學(xué)中必要的一環(huán)，不僅能夠鞏固落實(shí)課上教學(xué)的效果，而且還有著其他教學(xué)形式無(wú)可替代的作用[1] . 為了闡明該觀點(diǎn)，不妨將“課后答疑”、“課上問(wèn)答”、“作業(yè)批改”視為師生之間信息的交流三種主要模式，接著對(duì)比“課后答疑”與后兩者的不同. 首先與“作業(yè)批改”的書(shū)面形式相比“課后答疑”以口頭交流的方式進(jìn)行，顯然更具實(shí)效性. 其次較“課上問(wèn)答”而言，“課后答疑”中涉及的問(wèn)題對(duì)學(xué)生更有含金量.因?yàn)閷W(xué)生對(duì)新知的建構(gòu)需要經(jīng)歷一個(gè)反復(fù)思考以同化或順應(yīng)的過(guò)程. 當(dāng)然這并非一帆風(fēng)順，他們很可能會(huì)愕然發(fā)現(xiàn)課上似乎明明還答得出來(lái)的小問(wèn)題在課下卻成了百思不得其解的大麻煩. 最后上述三者中，鑒于“課后答疑”的形式通常是一對(duì)一的，而且學(xué)生是主動(dòng)發(fā)問(wèn)的一方.因此教師在答疑時(shí)便可針對(duì)學(xué)生的具體問(wèn)題因材施教[2] .

然而課后答疑，持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)一般為10～20分鐘，規(guī)模也比較小通常只有師生兩人，而且與正式課堂相比答疑時(shí)的氛圍相對(duì)輕松舒緩. 這難免會(huì)對(duì)剛?cè)肼毑痪玫男率纸處煯a(chǎn)生一種誤導(dǎo). 即：課后答疑就是幫學(xué)生亡羊補(bǔ)牢，重點(diǎn)是學(xué)生知識(shí)體系的鞏固與修補(bǔ)，至于教師講授知識(shí)的方法或形式大可不必同課上教學(xué)那樣精雕細(xì)琢，而且也來(lái)不及細(xì)細(xì)琢磨. 為了駁斥這一說(shuō)法. 下文整理實(shí)錄了發(fā)生在貴陽(yáng)二中某班午間休息時(shí)的一次答疑活動(dòng).其中進(jìn)行答疑的教師是一位教齡不滿三年的新手型教師，答疑的焦點(diǎn)是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.

生：“對(duì)± 的誘導(dǎo)公式的記憶始終不理想，該怎么辦呢？”

師：“可以通過(guò)口訣的方式進(jìn)行記憶.奇變偶不變，符號(hào)看象限.”

生：“必須這樣照搬程序嗎？要是能像其他幾組誘導(dǎo)公式靠理解來(lái)記憶就好了.”

師：“也不一定，能談?wù)勀闼f(shuō)的理解記憶的方法嗎？”

生：“結(jié)合三角函數(shù)定義與三角函數(shù)線得到如下三種劃分.”

（1）由α與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱記憶sin（-α）=-sin（α），cos（-α）=cos（α）.

（2）由α與α+2kπ（k∈Z）的終邊重合記憶sin（α+2kπ）=sin（α），cos（α+2kπ）=cos（α）.

（3）由α與α+π的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱記憶sin（α+π）=-sin（α），cos（α+π）= -cos（α），tan（α+π）=tan（α）.

師：“理解很到位，而且課上也是這樣講的.”

生：“那為何不將該方法貫徹到底？反而要死記硬背呢？”

師：“因?yàn)榭谠E便于操作.其流程分做下述兩步.”

（1）定名稱. α+（2k+1） 時(shí)sin與cos、tan與cot互相轉(zhuǎn)變；α+（2k） 時(shí)原三角函數(shù)名保持不變.

（2）定正負(fù). 把α看成銳角……

生：“稍停一下. （1）中α+（2k） ？圳α+kπ，這就是‘偶不變的原因. 那當(dāng) 的系數(shù)為奇數(shù)時(shí)函數(shù)名為何要改變？”

師：“用你熟悉的三角函數(shù)線來(lái)解釋. 定名時(shí)先不考慮正負(fù)，因此默認(rèn)α為銳角并作出相應(yīng)示意圖.”

圖1

圖2

師：“記∠AOB為α，則∠A1OB為α+ ，∠A2OB2為α- ，圓O半徑為1. 試用△AOB三邊表示sinα，cosα.”

生：sinα=AB，cosα=OB.

師：“類似地利用△A1B1O表示sinα+ ，cosα+ ，利用△A2B2O表示=sinα- ，cosα- .”

生：sinα+ =A1B1，cosα+ =B1O，sinα- =A2B2，cosα- =B O.

師：“別忘了，上述三個(gè)直角三角形兩兩全等，于是……”

生：sinα=cosα+ =cosα- ，

cosα=sinα+ =sinα- .

師：“很好，而初中銳角三角函數(shù)中關(guān)于互余兩角的正余弦函數(shù)名的變化恰為上述討論的一種特殊情形.”

生：“可確定正負(fù)號(hào)時(shí)，為什么也可以把α當(dāng)作銳角？”

師：“......因?yàn)闀?shū)上就是這么規(guī)定的嘛，大家都是這么理解的.”

生：“不能像剛才一樣解釋一下嗎？”

師：“別太鉆牛角啦！”

生：（悻悻而回）

現(xiàn)在有請(qǐng)各位讀者對(duì)上述案例中教師的答疑教學(xué)做出一個(gè)評(píng)價(jià)并說(shuō)明理由. 然而我們卻不難把針對(duì)該問(wèn)題的諸般看法大致地歸納劃分成旗幟鮮明的兩大對(duì)立陣營(yíng). 為了便于描述筆者用甲、乙兩方代表這兩種不同的觀點(diǎn).

甲方觀點(diǎn)認(rèn)為，案例中教師的答疑毫無(wú)疑問(wèn)是失敗的.學(xué)生前來(lái)的目的是為了找到一種通過(guò)理解而非死記硬背的方式掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式. 而就最終的結(jié)果來(lái)看教師沒(méi)能通過(guò)答疑徹底地幫學(xué)生排憂解惑. 此外更令人擔(dān)憂的是案例中教師在與學(xué)生交流時(shí)并沒(méi)有注重教學(xué)用語(yǔ)的規(guī)范表述. 這不僅要求教師能夠用簡(jiǎn)明準(zhǔn)確的語(yǔ)言講解專業(yè)知識(shí)，還要求教師具有一定的談話技巧，兼顧聽(tīng)話人的情感與自尊心. 比如：案例第三小節(jié)中類似“書(shū)上是這么規(guī)定的”、“不要鉆牛角”的表述都可能挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使得教師在學(xué)生心中的形象大打折扣.

乙方觀點(diǎn)認(rèn)為，案例中教師的答疑從過(guò)程來(lái)看是無(wú)可厚非的. 首先：從案例第一小節(jié)中學(xué)生回答問(wèn)題的情況來(lái)看，他的問(wèn)題并非出在誘導(dǎo)公式的掌握上而在于其特有的學(xué)習(xí)習(xí)慣，即對(duì)無(wú)法用理解記憶的知識(shí)產(chǎn)生一種執(zhí)拗的排斥，但有時(shí)機(jī)械記憶卻是必要而高效的.因此適當(dāng)?shù)刈屍洹芭霰凇被蛟S能夠促使該生在學(xué)習(xí)方法上做出改變. 其次：結(jié)合案例第二小節(jié)可知該生已經(jīng)對(duì)“奇變偶不變”中 系數(shù)為偶數(shù)的情況理解得十分準(zhǔn)確了. 接著教師，如圖1、2，分別在單位圓中作出α、α± 進(jìn)行比較從而講清了函數(shù)名變化的原理. 此時(shí)需要學(xué)生強(qiáng)記的就只有函數(shù)變名后的正負(fù)號(hào)，這便達(dá)到機(jī)械記憶與理解記憶的平衡.

綜合甲、乙兩方觀點(diǎn)不難發(fā)現(xiàn)甲方評(píng)斷答疑是否有效的標(biāo)準(zhǔn)是以“受教育者”的視角建立的，即充分重視學(xué)生在答疑中的體驗(yàn)與收獲. 相比之下乙方則傾向站在“教育者”的立場(chǎng)去判斷答疑的收益，把答疑視為對(duì)教師課堂教學(xué)的有效補(bǔ)充手段. 然而就為了實(shí)現(xiàn)課后答疑的根本目的而言，絕不應(yīng)該將這兩種價(jià)值觀對(duì)立起來(lái)[3] . 有了這樣一個(gè)基本認(rèn)同后讓我們?cè)俅谓馄氏惹澳侵弧奥槿浮?

學(xué)生為什會(huì)來(lái)答疑呢？學(xué)生為何會(huì)喜歡來(lái)答疑呢？這顯然是兩個(gè)截然不同的問(wèn)題. 一般而言我們都會(huì)理所當(dāng)然地認(rèn)為當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)上遭遇挫折時(shí)便會(huì)向教師求助. 但事實(shí)證明能夠主動(dòng)走到教師辦公室去尋求幫助對(duì)學(xué)生而言甚至是需要一種勇氣的. 因?yàn)樵诖鹨蛇^(guò)程中學(xué)生學(xué)業(yè)上的缺點(diǎn)與不足充分地暴露展示給教師，從客觀上講這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生自我效能感的下降，而自我效能的持續(xù)降低終將阻礙學(xué)生形成繼續(xù)參與答疑的內(nèi)驅(qū)力. 當(dāng)然也有教師認(rèn)為對(duì)真正好學(xué)的學(xué)生無(wú)論如何都不會(huì)放棄求知的！話雖如此，可是學(xué)生們卻有權(quán)利也更傾向于選擇他們能夠接受的解惑方式. 這也就不難解釋為何有的學(xué)生寧愿自己苦思冥想或者求助其他同學(xué)，甚至不惜高價(jià)聘請(qǐng)私人家教，也不愿向自己的任課教師請(qǐng)教的緣故.

因此教師必須想方設(shè)法在答疑的過(guò)程中增強(qiáng)學(xué)生的自我效能感. 為了達(dá)到這一目的教師首先應(yīng)當(dāng)注意與學(xué)生交流的方式. 但是在筆者看來(lái)這并非是要教師在說(shuō)每句話前都要斟酌一番，跟學(xué)生“報(bào)喜不報(bào)憂”. 根據(jù)英國(guó)密德薩斯大學(xué)戴安·蒙哥馬利教授的研究教師激發(fā)學(xué)生積極學(xué)習(xí)態(tài)度的前提是教師自身能夠以認(rèn)真不敷衍的態(tài)度對(duì)待學(xué)生[4] . 相比之下案例中教師的講解則呈現(xiàn)出一種典型的虎頭蛇尾的態(tài)勢(shì). 即在講解自身熟悉的內(nèi)容時(shí)尚能做到循循善誘. 在這一階段教師并沒(méi)有直接回答學(xué)生提出的問(wèn)題而是設(shè)法搭建腳手架，即用一系列相關(guān)的簡(jiǎn)單的小問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生自己找出問(wèn)題的答案. 這一做法顯然是值得稱道的，因?yàn)閷W(xué)生主要憑借了自身的力量解決了問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)了學(xué)生自我效能感的提升. 毫無(wú)疑問(wèn)到此為止這名學(xué)生的心情應(yīng)當(dāng)是非常愉悅的. 可不幸的是當(dāng)碰到意料之外的問(wèn)題時(shí)這位教師卻換成上一副冷面孔. 似乎還在埋怨學(xué)生過(guò)于偏執(zhí)，所提的問(wèn)題沒(méi)有回答的價(jià)值. 這前后一熱一冷的強(qiáng)烈反差怎能不叫學(xué)生失望呢？

那現(xiàn)在假設(shè)您自己就是上述案例中的那位教師. 當(dāng)學(xué)生向你提出“sinα=cosα+ =cosα- 、cosα=sinα+ =sinα- 在確定正負(fù)號(hào)時(shí)，為什么也可以把α當(dāng)作銳角”的問(wèn)題時(shí)，您會(huì)怎樣回答呢？如果一時(shí)想不到答案您又會(huì)如何做呢？無(wú)可否認(rèn)與課堂教學(xué)相比，在課后答疑中學(xué)生問(wèn)題的多樣性、特殊性增加了. 因此其中時(shí)不時(shí)就會(huì)蹦出些令教師頭痛不已的“奇思怪想”. 此時(shí)教師不能輕易抹殺學(xué)生提問(wèn)的價(jià)值，無(wú)論其問(wèn)題在形式看來(lái)有多么的荒謬畢竟都是學(xué)生經(jīng)過(guò)一番思考后的成果. 換而言之我們也不該一面不停地鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，另一面又總是隨意否定其思考的價(jià)值. 可“把α當(dāng)作銳角”的確是教材上的原話（人教版高中數(shù)學(xué)必修4，P26），教材并沒(méi)有對(duì)其做出過(guò)多的解釋. 為此經(jīng)過(guò)與有著多年教齡的專家級(jí)教師商議，筆者嘗試將原先案例中的答疑方式做如下改進(jìn)，具體流程分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：

首先，要講清所謂“符號(hào)看象限”指的是變名之后，sinα前添加的正負(fù)號(hào)要與cosα± 本身的正負(fù)保持一致. 類似的cosα前添加的正負(fù)號(hào)與sinα± 本身的正負(fù)保持一致. 而之所以能將α視為銳角或者說(shuō)第一象限內(nèi)的角，則是因?yàn)榧幢悝廖挥谄渌笙?，sinα、cosα前正負(fù)號(hào)的添加規(guī)則恰巧與α在第一象限時(shí)完全相同.

其次，若經(jīng)上述解答學(xué)生仍存疑問(wèn)，在答疑時(shí)間、學(xué)生接受能力等條件都允許的前提下可采用分類枚舉的方式來(lái)深入講解. 鑒于對(duì)教師答疑效率、學(xué)生有意注意能夠持續(xù)的時(shí)間上限等因素的考慮，研究建議教師要避免對(duì)α分屬于二、三、四象限時(shí)三種情形的逐一討論而應(yīng)當(dāng)先讓學(xué)生隨機(jī)選定α所在象限，再由教師進(jìn)行分析. 具體結(jié)果如表1、表2：

總結(jié)

為了形成師生之間良好的答疑互動(dòng)交流，教師可以嘗試從兩個(gè)方面做出努力.

對(duì)教師而言，必然要求其對(duì)本專業(yè)學(xué)科知識(shí)有著深入而全面的理解，而這種理解最終顯化為教師能夠不拘泥于教材的限制. 在筆者看來(lái)課本更像是對(duì)教師教學(xué)進(jìn)度與難度做出的一個(gè)統(tǒng)一的簡(jiǎn)要標(biāo)準(zhǔn)，因此我們無(wú)法指望能夠直接從書(shū)中獲得所有問(wèn)題的答案. 同時(shí)數(shù)學(xué)教師教學(xué)的意義也正是在于能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)由抽象、簡(jiǎn)略的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)、翔實(shí)的教育形態(tài). 上述案例中教師答疑失敗的根本原因就是在于缺乏對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的深入思考，以至于被學(xué)生問(wèn)了個(gè)措手不及，不得不敷衍了事[5] . 值得注意的是類似于“把α當(dāng)作銳角”的提問(wèn)并不在少數(shù). 僅在高一階段學(xué)生就足以拋出這樣較為刁鉆的問(wèn)題，比如：π到底是度數(shù)還是實(shí)數(shù)，180°=3.1415…？a<0、a=1時(shí)y=ax為何不是指數(shù)函數(shù)，是不是函數(shù)？數(shù)列為什么可以視為函數(shù)，應(yīng)當(dāng)如何理解函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集？等等.

然而除去精深的學(xué)科知識(shí)外，教師在教學(xué)中處理問(wèn)題的方式也將直接影響教學(xué)活動(dòng)的效果，這主要體現(xiàn)在教師與學(xué)生交流的方式上. 比如上述案例中導(dǎo)致學(xué)生由興致勃勃變?yōu)殂鴼w的直接原因，便是教師教學(xué)智慧的匱乏. 試想一下如果教師能夠坦誠(chéng)地告訴學(xué)生自己不能立即解答當(dāng)前這一問(wèn)題并約定一個(gè)明確的時(shí)間給予答復(fù)，那么學(xué)生也很可能對(duì)此表示出充分的理解. 當(dāng)然也會(huì)有讀者強(qiáng)調(diào)案例中學(xué)生太過(guò)于任性，只重視理解記憶忽視機(jī)械記憶必然導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率的低下[6] . 的確教師不能對(duì)此視而不見(jiàn)，不過(guò)學(xué)生的某種學(xué)習(xí)偏好與習(xí)慣一旦形成就較難發(fā)生改變. 教師一味地空洞說(shuō)教非但不能起到預(yù)期的收效，反倒會(huì)激起學(xué)生的反感. 顯然案例中教師告誡學(xué)生不要鉆牛角尖的本意是為了改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，可結(jié)果卻事與愿違. 如果他能夠采用表1、表2中的枚舉法讓學(xué)生親身體會(huì)到適度機(jī)械記憶的優(yōu)勢(shì)，則必將事半功倍.

參考文獻(xiàn)：

[1] 何建東. “探析式”答疑在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào). 2010，49（4）：25-27.

[2] 劉萍. 發(fā)揮學(xué)生主體作用提高課后答疑效果[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué). 2015（7）：1-2.

[3] 井維華. 論學(xué)生的主體性發(fā)展與教師主導(dǎo)作用的辯證統(tǒng)一[J]. 教育評(píng)論.1997（2）：37-39.

[4] Diane·Montgomery.Helping Teachers Develop through Classroom Observation， Second Edition[M]. David Fulton Publishers Ltd （Oct. 18 2013）.ISBN-10：113414590X.ISBN-13： 978-1134145904.

[5] 黃毅英. 數(shù)學(xué)教師不怕被學(xué)生難倒了：中小學(xué)數(shù)學(xué)教師所需的數(shù)學(xué)知識(shí)[M]. 華中師范大學(xué)出版社.2012.

[6] 楊冰. 把“機(jī)械記憶”轉(zhuǎn)化為“理解記憶”的探索[J]. 教育理論與實(shí)踐.2008（28）：89-91.