文︳長沙市岳麓區(qū)博才咸嘉學(xué)校數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

“除數(shù)是小數(shù)的除法”教學(xué)研究報(bào)告

文︳長沙市岳麓區(qū)博才咸嘉學(xué)校數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室

一、問題

小數(shù)除法計(jì)算是人教版數(shù)學(xué)教材五年級上冊中的一個內(nèi)容，這個內(nèi)容分兩個部分：除數(shù)是整數(shù)的除法和除數(shù)是小數(shù)的除法。除數(shù)是小數(shù)的除法是本單元的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，其關(guān)鍵是把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。學(xué)生由于在這之前計(jì)算的都是除數(shù)是整數(shù)的除法以及受其他一些因素的影響，在計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時，盡管老師反復(fù)講解，也多次進(jìn)行練習(xí)，還是經(jīng)常出錯。一線數(shù)學(xué)教師普遍反映這個內(nèi)容難教、學(xué)生難學(xué)。我校數(shù)學(xué)組在這個內(nèi)容的教學(xué)上進(jìn)行了嘗試與思考，力圖在計(jì)算正確率上有所突破。

1.教學(xué)實(shí)踐中的問題及原因分析

為了更加清楚地掌握學(xué)生出錯的原因，我們對學(xué)過的50名學(xué)生做了一個調(diào)查。題目如圖1所示。通過調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要存在以下五個問題。

圖1

（1）學(xué)生計(jì)算時把除數(shù)當(dāng)作整數(shù)，而被除數(shù)則不變（如圖2所示）。

圖2

學(xué)生以前學(xué)習(xí)的都是除數(shù)是整數(shù)的除法，受定式思維的影響，在遇到除數(shù)是小數(shù)的除法時，習(xí)慣將它按照除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算。之所以會出現(xiàn)這樣的錯誤，是學(xué)生沒有進(jìn)一步思考：除數(shù)擴(kuò)大變成整數(shù)后，如果被除數(shù)不跟著擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商的大小就改變了。

（2）學(xué)生不知道怎樣轉(zhuǎn)化。

學(xué)生計(jì)算5.88÷0.56時，會把被除數(shù)、除數(shù)同時擴(kuò)大100倍，變成588÷56，而在計(jì)算0.544÷ 0.16時，卻把被除數(shù)0.544擴(kuò)大1000倍變成544，除數(shù)0.16擴(kuò)大100倍變成16?？梢钥闯?，學(xué)生知道計(jì)算時要把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，但沒有根據(jù)商不變的性質(zhì)把被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)。

（3）學(xué)生忘記打小數(shù)點(diǎn)（如圖3所示）。

（4）當(dāng)被除數(shù)不夠除時，學(xué)生沒有在商中間相應(yīng)的位置添0占位（如圖4所示）。

圖3

圖4

（5）學(xué)生試商不熟練。

進(jìn)一步分析這5種錯誤，我們發(fā)現(xiàn)：第1、2種錯誤的原因是學(xué)生沒有掌握知識的關(guān)鍵點(diǎn)——怎樣將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)；第3、4、5種錯誤的原因是學(xué)生對以前所學(xué)的與此知識相關(guān)的基礎(chǔ)知識掌握得不牢固。

2.教學(xué)對策

通過對學(xué)生出錯原因的分析，我們認(rèn)為在教學(xué)這個內(nèi)容時，應(yīng)將重點(diǎn)放在幫助學(xué)生解決如何將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)上。

（1）引導(dǎo)學(xué)生自主分析出錯的原因。

由于除數(shù)是小數(shù)的除法是在除數(shù)是整數(shù)的除法基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，在教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法時，教師一般會讓學(xué)生先嘗試做一做。一些基礎(chǔ)知識掌握得不扎實(shí)的學(xué)生難免會出錯。教師可以趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤的原因，讓他們知道自己錯在哪里，應(yīng)該怎樣改正。比如，有學(xué)生在嘗試計(jì)算7.65÷0.85時出錯了，在匯報(bào)時，教師除了講解如何正確計(jì)算外，還應(yīng)該跟其他學(xué)生一起，傾聽出錯的學(xué)生是怎樣想的，幫助他分析原因，糾正錯誤，避免下次再錯。

（2）針對知識的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的專項(xiàng)練習(xí)。

除數(shù)是小數(shù)的除法是老師們公認(rèn)的計(jì)算教學(xué)中的一大難點(diǎn)。為什么學(xué)生老是出錯呢？通過測試、分析、研討，我們發(fā)現(xiàn)：其實(shí)除數(shù)是小數(shù)的除法與除數(shù)是整數(shù)的除法在計(jì)算方法上是一致的，關(guān)鍵是學(xué)生需要根據(jù)商不變的性質(zhì)把除數(shù)由小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生容易出錯是因?yàn)椴粫M(jìn)行轉(zhuǎn)化。再反觀我們的課堂，教師在課堂上很少甚至是沒有針對除數(shù)和被除數(shù)小數(shù)位數(shù)的不同情況，讓學(xué)生進(jìn)行專門的轉(zhuǎn)化練習(xí)，沒有很好地突破難點(diǎn)，學(xué)生出錯也就在所難免。基于此，我們覺得在探究新知環(huán)節(jié)后要針對這個關(guān)鍵點(diǎn)，專門設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化的練習(xí)。如，先出示一組包含各種情況的除數(shù)是小數(shù)的計(jì)算題，要求：不計(jì)算，直接把它們轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。接著引導(dǎo)學(xué)生觀察轉(zhuǎn)化后的除數(shù)，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)大10倍、100倍、1000倍，就是把小數(shù)點(diǎn)向右移動一位、兩位、三位。緊跟著出示一組包含各種情況的除數(shù)是小數(shù)的計(jì)算題，要求學(xué)生直接移動小數(shù)點(diǎn)，把它們轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法算式。這樣放慢節(jié)奏、放緩坡度，把重點(diǎn)放在把除數(shù)由小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)上。

二、實(shí)踐

1.幫助學(xué)生辨析計(jì)算錯誤的原因。

師：現(xiàn)在，你想挑戰(zhàn)一下，計(jì)算出7.65÷0.85的得數(shù)嗎？給你4分鐘時間，開始。

師巡視，指名做完的學(xué)生板演（如圖5所示）。

師：算出的結(jié)果等于9，你是怎樣算出來的？

生1：把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動2位，化成整數(shù)，然后把被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動2位。這樣都變成整數(shù)，就是整數(shù)除以整數(shù)啦。

師：我們一起看看他是怎樣變成整數(shù)除法的（邊說邊用手指豎式）。除數(shù)0.85變成85，擴(kuò)大100倍。被除數(shù)7.65變成765，擴(kuò)大100倍。也就是除數(shù)和被除數(shù)同時擴(kuò)大100倍，商不變，這是我們學(xué)過的商不變性質(zhì)。有個同學(xué)是這樣算的（如圖6所示），你們覺得他這樣做是怎樣想的？

生2：他是把0.85擴(kuò)大100倍，而7.65不變，商就是原來的百分之一。

圖5

圖6

圖7

師：他的意思是：被除數(shù)沒變，還是7.65，除數(shù)變成85。（在旁邊板書豎式，如圖7所示）原來7.65÷85的結(jié)果才是0.09，出現(xiàn)這個結(jié)果是他把除數(shù)當(dāng)作85計(jì)算的。如果除數(shù)擴(kuò)大100倍，但被除數(shù)不變，商就是原來的百分之一，如果還原就要擴(kuò)大100倍。7.65÷0.85正確的結(jié)果是9?，F(xiàn)在我們回過頭看看：7.65÷0.85，除數(shù)是小數(shù)的除法我們是怎樣算出結(jié)果的？

生3：把它轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。

生4：把除數(shù)和被除數(shù)同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)再計(jì)算。

師追問：擴(kuò)大相同倍數(shù)的目的是什么？

生5：使除數(shù)變成整數(shù)，商的大小也不變，就是我們學(xué)過的知識了。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)辨析錯誤的環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生分析并弄清錯誤的原因，加深印象，避免再出錯。

2.專門設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化的環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

師：把下面的算式轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法算式。說說你是怎樣將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)的。

2.38÷0.340.544÷0.165.2÷0.32

生6：2.38÷0.34，先把被除數(shù)2.38擴(kuò)大100倍，變成238；（生說，師畫箭頭）再把除數(shù)0.34擴(kuò)大100倍，變成34。（師完善板書）

師總結(jié)：把被除數(shù)2.38擴(kuò)大100倍，變成238；再把除數(shù)0.34擴(kuò)大100倍，變成34。那0.544÷0.16呢？

生7：先把0.544乘1000，變成544；再把0.16乘1000，變成160。（板書）

師：你這樣做的依據(jù)是什么？

生7：因?yàn)?.544已經(jīng)乘了1000，要使商不變，0.16也要乘1000。

師：也就是要同時乘1000?，F(xiàn)在變成了544÷ 160。還有同學(xué)舉手，你來說。

生8：把0.544乘100，變成54.4；然后0.16也乘100，變成16。這樣就變成了學(xué)過的除數(shù)是整數(shù)的除法。

師：看來乘100也可以啊。既然乘100就可以了，何必乘1000呢？只要把除數(shù)變成整數(shù)就可以了，被除數(shù)是不是整數(shù)我們都會計(jì)算了。所以計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時，我們一般是以除數(shù)為準(zhǔn)，先把除數(shù)變成整數(shù)，再將被除數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算。

設(shè)計(jì)意圖：利用把0.544÷0.16轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)這一題，引導(dǎo)學(xué)生思考、比較，讓學(xué)生體會把它轉(zhuǎn)化成54.4÷16比轉(zhuǎn)化成544÷160要更合理、簡潔，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)計(jì)算小數(shù)除法時，是根據(jù)除數(shù)的小數(shù)位數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

師：接下來我們看5.2÷0.32。誰來說說你是怎么計(jì)算的？

生9：把除數(shù)0.32擴(kuò)大100倍變成32，再把被除數(shù)5.2擴(kuò)大100倍，變成520。

師追問：為什么擴(kuò)大100倍？

生9：這樣的話除數(shù)就變成整數(shù)了。

師：我們把這3個算式轉(zhuǎn)化成了除數(shù)是整數(shù)的除法，仔細(xì)觀察，我們是怎樣把它們轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法的？

生10：將被除數(shù)與除數(shù)同時擴(kuò)大100倍。

師：都是擴(kuò)大100倍，那小數(shù)點(diǎn)如何移動呢？

生11：向右移動2位。

師：擴(kuò)大100倍，其實(shí)就是把小數(shù)點(diǎn)向右移動2位。下次擴(kuò)大100倍時，就不用乘100，直接把小數(shù)點(diǎn)向右移動2位。擴(kuò)大10倍時，就直接把小數(shù)點(diǎn)向右移動1位；擴(kuò)大1000倍時，就直接把小數(shù)點(diǎn)向右移動3位?，F(xiàn)在，我們可以直接移動小數(shù)點(diǎn)的位置，把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。請大家直接移動小數(shù)點(diǎn)的位置，把這些算式轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。

5.58÷3.17.05÷0.470.756÷0.18

51.3÷0.2725.6÷0.3226÷0.13

生12：5.58÷3.1，把3.1的小數(shù)點(diǎn)向右移動1位，把5.58的小數(shù)點(diǎn)也向右移動1位，變成55.8÷ 31。（生說，師移動小數(shù)點(diǎn)）

師：現(xiàn)在請?jiān)诰毩?xí)紙上將剩下的幾題移動小數(shù)點(diǎn)的位置，把它們轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。2分鐘時間，看誰做得又快又對。

學(xué)生動手練習(xí)。

師：老師走了一圈，發(fā)現(xiàn)大家做得很好，我們重點(diǎn)看看第二排的幾道題。51.3÷0.27，誰來說說你是怎么做的？

生13：將0.27的小數(shù)點(diǎn)向右移動2位，51.3的小數(shù)點(diǎn)向右移動2位，變成5130÷27。

師追問：51.3怎樣移動小數(shù)點(diǎn)變成5130？

生13：將51.3的小數(shù)點(diǎn)向右移動1位，變成513；再向右移動1位，添0，變成5130。（生說，師用手勢展示移動的過程）

師：那26÷0.13呢？

生14：先把除數(shù)0.13的小數(shù)點(diǎn)向右移動2位，再把被除數(shù)26的小數(shù)點(diǎn)也向右移動2位，添1個0，再添1個0。（生說，師用手勢展示移動的過程）

師：被除數(shù)位數(shù)不夠就在末尾補(bǔ)0，26÷0.13就變成了2600÷13。

設(shè)計(jì)意圖：針對小數(shù)除法計(jì)算過程中最關(guān)鍵的步驟精心設(shè)計(jì)，旨在分散知識的難點(diǎn)，提高學(xué)生計(jì)算的正確率。

三、思考

1.課前鞏固整數(shù)除法的計(jì)算，為除數(shù)是小數(shù)的除法掃清障礙。

回顧學(xué)生學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法的過程，我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生由于對除數(shù)是整數(shù)的除法計(jì)算不熟練，導(dǎo)致在除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算中出現(xiàn)各種錯誤，如：計(jì)算時商的中間有0，沒有在商的相應(yīng)位置添0占位；試商不熟練，等等。同時，老師們發(fā)現(xiàn)小數(shù)除法之所以難教、難學(xué)，一個重要原因是，即便學(xué)生正確地將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法后，很多學(xué)生還是不會做。而出現(xiàn)這種情況是因?yàn)閷W(xué)生在計(jì)算除數(shù)是兩位數(shù)的除法時不會試商。因此，計(jì)算教學(xué)中，在開展新內(nèi)容的教學(xué)之前，根據(jù)需要可以增加一節(jié)預(yù)備課，用于復(fù)習(xí)、鞏固新知識學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)。比如，學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法之前，花一節(jié)課時間復(fù)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的整數(shù)除法；學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法之前，花一節(jié)課時間復(fù)習(xí)除數(shù)是一位數(shù)的除法；學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘三位數(shù)的乘法之前，花一節(jié)課時間復(fù)習(xí)一位數(shù)乘多位數(shù)的乘法。所謂“磨刀不誤砍柴工”。我校數(shù)學(xué)組一直堅(jiān)持每天做“計(jì)算三分鐘”練習(xí)，五年級學(xué)生在學(xué)習(xí)除數(shù)是小數(shù)的除法之前就可以利用這個計(jì)算練習(xí)時間有針對性地練習(xí)整數(shù)除法中學(xué)生的知識薄弱處和容易出錯的地方，為除數(shù)是小數(shù)的除法學(xué)習(xí)掃清障礙。

2.暫時講不清道理時不妨直接告訴學(xué)生。

在數(shù)學(xué)課堂上，我們經(jīng)常會碰到這樣一種情況：有的知識點(diǎn)試圖和學(xué)生說道理時，發(fā)現(xiàn)目前難以找到簡單有效的方法讓學(xué)生明白。如果繼續(xù)說下去，不僅耽誤了課堂寶貴的時間，效果還不好。這時老師該如何取舍呢？我們是否可以換種思路，當(dāng)?shù)览碚f不清楚時不妨直接告訴學(xué)生呢？本節(jié)課學(xué)習(xí)的除數(shù)是小數(shù)的除法，在計(jì)算時要將算式轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，為什么是以除法為準(zhǔn)而不是以被除數(shù)為準(zhǔn)呢？處理這個問題時，我們發(fā)現(xiàn)很難找到一個突破口，也無法跟學(xué)生說清楚。再三思考后教師做了這樣的處理：沒有在計(jì)算7.65÷0.85時就直接告訴學(xué)生把它轉(zhuǎn)化成剛學(xué)過的除數(shù)是整數(shù)的除法來計(jì)算，而是放在練習(xí)環(huán)節(jié)進(jìn)行處理。在將0.544÷0.16轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法算式時，學(xué)生出現(xiàn)了兩種答案544÷160和54.4÷16，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生對兩種答案進(jìn)行對比，從而發(fā)現(xiàn)：其實(shí)轉(zhuǎn)化成54.4÷16我們就會計(jì)算了。這時教師告訴學(xué)生在計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時，只要把除數(shù)變成整數(shù)就可以了，被除數(shù)是不是整數(shù)我們都會計(jì)算了。因此在計(jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時，我們一般是以除數(shù)為準(zhǔn)，先把除數(shù)化為整數(shù)，再將被除數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。

在計(jì)算教學(xué)中，與這種情況類似的還有三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)這一內(nèi)容。以14×12為例，用豎式計(jì)算如右圖所示。豎式這樣寫時，我們一般先用第二個因數(shù)12中個位上的2乘14，再用十位上的1乘14。為什么不先用第一個因數(shù)14中個位上的4乘12，再用十位上的1乘12呢？雖然我們都是把其中一個因數(shù)拆成幾十加幾，再分別用個位上的幾乘另一個因數(shù)和十位上的幾乘另一個因數(shù)，但用豎式計(jì)算時我們一般就是把第二個因數(shù)拆成幾十加幾再計(jì)算，而不拆第一個因數(shù)。教學(xué)時也很難和學(xué)生說清楚道理，我們同樣也可以選擇直接告訴學(xué)生。

計(jì)算能力對學(xué)生而言是很重要的一項(xiàng)技能，能為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)提供必要的基礎(chǔ)。在日常教學(xué)中，我們老師一定要持之以恒，想方設(shè)法提高學(xué)生的計(jì)算能力，從而讓計(jì)算教學(xué)更高效。

（執(zhí)筆：姚鑫、陳艷萍、謝凌燕、陳安、賀迎舟、鄭志剛、徐旺、李闖）