崔曉富

在平面幾何的動態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為幾何最值問題。近年，各地中考題常通過幾何最值問題考查學(xué)生的實踐操作能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力。筆者針對安徽省近兩年中考數(shù)學(xué)的幾何最值問題作一探究與分析，希望對大家有所幫助。

一、實例探討與評點

問題一：（2016年安徽省中考數(shù)學(xué)第10題）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）

【考點】點與圓的位置關(guān)系；圓周角定理。

【分析】首先證明點P在以AB為直徑的☉O上，連接OC與☉O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題。

教師運用“幾何畫板”進行解析，取CQ的中點O，連接OP，當(dāng)OP⊥AB時，OP最短，所以CQ=2OP取最小值。

二、拓展與引申

閱讀下列材料：小華遇到這樣一個問題，如圖3，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。

小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了。他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題。他的做法：如圖4，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDC，連接PD，BE，則BE的長即為所求。

（1）請你寫出圖4中，PA+PB+PC的最小值為____________；

（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：

即當(dāng)PA+PB+PC值最小時PB的長為。

三、歸納小結(jié)教學(xué)啟示

1.解決平面幾何最值問題的常用方法

（1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；

（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；

（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；

（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；

（5）應(yīng)用其他知識求最值。

2.對教學(xué)的啟示

（1）教師的數(shù)學(xué)功底和文字表述水平；

（2）教師應(yīng)有廣闊的視角；

（3）加強“動態(tài)幾何”訓(xùn)練；

（4）緊扣《數(shù)學(xué)課程標準》，透析《安徽中考考綱》。

“幾何最值問題”試題新穎別致，頗具魅力，成為中考試題中的一朵朵奇葩，但我們尋根溯源，定能殊途同歸。讓我們共同努力，共同探索，共同為之奮斗！

（作者單位：安徽省南陵縣城東實驗學(xué)校）