張丁釵（永泰縣嵩口中心小學(xué)，福建永泰350700）

圖形與幾何教學(xué)策略探析

張丁釵
（永泰縣嵩口中心小學(xué)，福建永泰350700）

“圖形與幾何”的教學(xué)重在激發(fā)學(xué)生的空間想象力和創(chuàng)造力，為此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形抽象的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，理解數(shù)學(xué)的思維方式與原理；經(jīng)歷分類與辨析的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想方法；經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，累積數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；經(jīng)歷圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程，發(fā)展學(xué)生空間觀念。

空間想象力；創(chuàng)造力；圖形與幾何；教學(xué)策略

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》在總體目標(biāo)中明確提出“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那么，在學(xué)習(xí)“圖形與幾何”過(guò)程中，除了要把握?qǐng)D形的特征與性質(zhì)以外，在基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)方面，有怎樣的要求呢？《標(biāo)準(zhǔn)》較多地使用“觀察、操作、認(rèn)識(shí)、經(jīng)歷……”“結(jié)合實(shí)例（生活情境）了解……”“通過(guò)實(shí)物和具體模型，了解……”的表述，這實(shí)際上明確了認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程和方式為觀察、操作、探索等。同時(shí)，《標(biāo)準(zhǔn)》中較多地使用了“經(jīng)歷、體驗(yàn)”等過(guò)程性目標(biāo)動(dòng)詞，這也說(shuō)明學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)以及圖形特征的把握不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)需要凸顯認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程性和體驗(yàn)性，而抽象、分類、探索、轉(zhuǎn)化等是其中很重要的環(huán)節(jié)。

一、經(jīng)歷圖形抽象的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活

圖形本身不是客觀存在的具體東西，是抽象的結(jié)果，在抽象過(guò)程中拋棄了物體顏色、重量、組成等物質(zhì)屬性，只從形狀、位置、角度等方面認(rèn)識(shí)物體，因此學(xué)生在認(rèn)識(shí)圖形過(guò)程中，教師要幫助他們完成以下抽象過(guò)程。

1.從實(shí)際物體到立體圖形的抽象。學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中，首先接觸到的是立體的東西，如：房子、柜子、鉛筆盒、球等，然后才會(huì)注意到立體圖形的某個(gè)表面。因此學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然也會(huì)遵循這種認(rèn)知規(guī)律。認(rèn)識(shí)立體圖形時(shí)，課前讓學(xué)生收集一些包裝盒子，并搭建自己喜歡的造型，說(shuō)說(shuō)自己用到了哪些形狀的盒子。接著讓學(xué)生將特點(diǎn)相同的盒子放到一起，即分一分，并起一個(gè)名字，然后從大量的統(tǒng)一形狀的實(shí)際物體中抽象出長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、球等立體圖形。

在教學(xué)中要利用多媒體幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由實(shí)物到符號(hào)的抽象過(guò)程。例如：學(xué)生指出日常生活中見到過(guò)的物體的形狀以后，課件演示將高樓、盒子的背景隱去，只留下形，從而抽象出立體圖形。

2.從立體圖形到平面圖形的抽象。對(duì)于平面圖形的抽象過(guò)程，可以從兩個(gè)維度入手。一是從生活中實(shí)際物體面的形狀的抽象，二是描述抽象完畢的立體圖形的某個(gè)面。經(jīng)歷了這樣的抽象過(guò)程，使數(shù)學(xué)生活化，幫助學(xué)生更好理解圖形的來(lái)源和研究圖形的背景，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)這門學(xué)科所研究的問(wèn)題具有的抽象性。比如在一年級(jí)認(rèn)識(shí)平面圖形時(shí)，可以采取下面的方式：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)想象。教學(xué)中教師首先創(chuàng)設(shè)一個(gè)形象的問(wèn)題情境“立體圖形的腳印”：大森林里下雪了，立體圖形邀請(qǐng)一些小動(dòng)物一起到雪地上玩。提問(wèn)：想一想，這些立體圖形會(huì)在草地上留下什么樣的腳印呢？這實(shí)際上是激發(fā)學(xué)生根據(jù)立體圖形的某個(gè)面想象平面圖形。

（2）動(dòng)手操作，拓印圖形。教師提問(wèn)：怎樣能得到這些立體圖形的腳印呢？學(xué)生想了很多辦法，描一描，用印泥印一印等等。無(wú)論運(yùn)用何種辦法，在做的過(guò)程中，學(xué)生都會(huì)體會(huì)到平面圖形是從立體圖形上得到的。

（3）關(guān)注特征，分類命名。剪平面圖形，并分類。把畫好的腳印剪下來(lái)，貼到相應(yīng)的位置。一邊貼，一邊想，得到的小腳印和誰(shuí)是好朋友就把它貼在誰(shuí)的下面。這實(shí)際上是一個(gè)簡(jiǎn)單的分類過(guò)程。觀察平面圖形，初步感知。

觀察到的小腳印，你能發(fā)現(xiàn)什么？這實(shí)際上是依次觀察每一類平面圖形，感知每一類平面圖形的特點(diǎn)。求同，并命名。

這些小腳印有什么共同的地方？你是怎么看的？這實(shí)際上是讓學(xué)生說(shuō)理的一個(gè)過(guò)程，也就是一個(gè)求同的過(guò)程，得出每一類圖形的相同點(diǎn)，并給每一類圖形命名。

這些圖形和剛才的立體圖形有什么關(guān)系？有什么不同的地方？這實(shí)際上是進(jìn)一步體會(huì)“面”來(lái)自于“體”，溝通立體圖形和平面圖形的關(guān)系。

通過(guò)前面幾個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)，學(xué)生很好地完成了從立體圖形到平面圖形的抽象?？梢?，學(xué)生對(duì)圖形的抽象是需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)感知過(guò)程的，不是一次就能夠完成的。因此在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反復(fù)的觀察、操作、想象來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)。

二、經(jīng)歷圖形分類與辨析的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)思想方法

分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想。圖形分類可以幫助學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行比較、概括，從而深入體會(huì)圖形的特征。我們以“四邊形的分類”為例，探討分類的過(guò)程。

教師給學(xué)生提供若干個(gè)大小、形狀不同的四邊形，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行分類。具體如下：

深入推進(jìn)流域水資源保護(hù)與水生態(tài)修復(fù)。加快流域水資源保護(hù)規(guī)劃和水土保持規(guī)劃編制。加大飲用水水源地、地下水保護(hù)力度，協(xié)調(diào)推動(dòng)潘大水庫(kù)周邊綜合整治工程實(shí)施、網(wǎng)箱養(yǎng)魚清理和水生態(tài)補(bǔ)償機(jī)制建設(shè)。以平原區(qū)風(fēng)沙治理為重點(diǎn)大力推進(jìn)流域水土保持生態(tài)修復(fù)。

1.觀察比較，明確視角。仔細(xì)觀察，這些圖形都是四邊形，但是它們有什么不一樣的地方呢？（有的對(duì)邊平行，有的對(duì)邊相等，有的對(duì)邊相等且平行，有的對(duì)角相等，有的對(duì)角不相等。教師可以根據(jù)學(xué)生的回答，簡(jiǎn)單板書。）

2.比較辨析，確定標(biāo)準(zhǔn)。同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了這么多不同的地方，主要集中在哪些方面呢？（對(duì)邊平行，對(duì)角相等，對(duì)邊相等，四條邊相等，四個(gè)角相等）找到研究問(wèn)題的視角：從邊和角入手。

3.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類。填表格，并根據(jù)表格，填集合圈。

在這節(jié)課中，分類的標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的。首先，觀察比較。教師引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上發(fā)表自己的想法，發(fā)散學(xué)生的思維，把不同的地方盡可能地表達(dá)出來(lái)。其次，匯報(bào)聚焦。結(jié)合學(xué)生的匯報(bào)，將不同的地方集中在邊和角上。再次，確定標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)邊和角不同確定分類標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)邊是否平行、對(duì)角是否相等、四角是否相等、四邊是否相等。最后，完成分類。借助于分類學(xué)生很自然地厘清了不同四邊形之間的關(guān)系。

在這個(gè)過(guò)程中，分類標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生自己在觀察比較中發(fā)現(xiàn)的，在比較辨析中確定的。不是教師告訴的。通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握的不僅僅是四邊形的分類，更習(xí)得了確定分類標(biāo)準(zhǔn)的方法以及研究圖形特征的方法。

三、經(jīng)歷探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，累積數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

小學(xué)生獲得第的對(duì)圖形的表象是建立在視覺、觸覺、聽覺等大量感官活動(dòng)的基礎(chǔ)上的。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師要盡可能地組織多樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中建立表象，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。具體如下：

1.觀察。觀察是學(xué)生獲取圖形特征的最直接的方法。學(xué)生對(duì)很多圖形特征的發(fā)現(xiàn)、猜想的提出等都是始于觀察的。因此，教師要善于組織多種多樣的觀察活動(dòng)，通過(guò)觀察初步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。一方面，可以讓學(xué)生觀察靜態(tài)的圖形，初步感知圖形的特征；另一方面，可引導(dǎo)學(xué)生觀察動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)演示，借以驗(yàn)證圖形的特征，加深印象。觀察前，教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際適時(shí)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助于觀察比較得出初步的結(jié)論、確定思考的維度、得出自己的認(rèn)識(shí)。

2.操作。學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上會(huì)直觀獲得很多關(guān)于圖形的經(jīng)驗(yàn)，那么，這些發(fā)現(xiàn)是否可靠呢？就需要進(jìn)一步的操作如撕、折、剪、拼、畫等活動(dòng)來(lái)驗(yàn)證。通過(guò)這些簡(jiǎn)單的操作活動(dòng)能夠進(jìn)一步驗(yàn)證學(xué)生觀察的結(jié)果，同時(shí)也能夠發(fā)現(xiàn)一些通過(guò)觀察所不能得到的圖形的隱性特征。

4.猜想。學(xué)生的很多發(fā)現(xiàn)都始于猜想。因此在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生敢于猜想。如：在學(xué)習(xí)三角形三條邊的關(guān)系之前，教師就可以組織學(xué)生展開猜想，是不是只要給出三條線段，就一定能圍成三角形呢？從而引發(fā)學(xué)生探究的熱情。

5.推理。推理是人們生活與學(xué)習(xí)經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合情推理進(jìn)行驗(yàn)證。如：學(xué)生在驗(yàn)證正方形的四條邊是否都相等這一特征時(shí)，先把正方形左右兩條邊對(duì)折，發(fā)現(xiàn)對(duì)邊相等，然后再斜向?qū)φ郏l(fā)現(xiàn)鄰邊相等。由此就能推理得出正方形四條邊的長(zhǎng)度都相等。

6.反思。學(xué)生探討完圖形的特征以后，教師還要適時(shí)的組織學(xué)生進(jìn)行反思，從而引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地反思回顧探索圖形特征的方法、過(guò)程。荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾早就有過(guò)精辟的論述：“兒童用邏輯方法組織活動(dòng)的能力有著一個(gè)持續(xù)但并不連續(xù)的發(fā)展過(guò)程。在最初階段，他們通過(guò)手、眼以及各種感覺器官進(jìn)行思維，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的親身體驗(yàn)，通過(guò)主動(dòng)的反思，就會(huì)客觀地描述這些低層次的活動(dòng)，從而進(jìn)入一個(gè)較高的層次，幫助學(xué)生有效地積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”

當(dāng)然，在實(shí)際活動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)活動(dòng)都不是單獨(dú)展開的，很多時(shí)候是將幾個(gè)活動(dòng)相繼或同時(shí)展開的。在活動(dòng)中逐步積累直觀經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生有條理的思考和解決問(wèn)題的能力。

下面以“三角形兩邊之和大于第三邊”為例剖析學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。

（1）直觀觀察，初步感知

提問(wèn)：觀察東東家和學(xué)校的示意圖。

思考：東東每天從家去學(xué)校，怎樣走最近？

課件演示：連接家、公園和學(xué)校，圍成一個(gè)三角形。三角形里有很多問(wèn)題值得研究，給你任意長(zhǎng)的三根小棒，是不是都能圍成三角形呢？

（2）操作探究

①教師給學(xué)生提供5根長(zhǎng)度不同的小棒，供學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作。分別是：9厘米、3厘米、6厘米、7厘米和5厘米。要求：任意選擇3根，看一看能否圍成一個(gè)首尾連接的三角形，并填寫表格。

②觀察課件演示，對(duì)于不能圍成三角形的情況，思考：怎樣才能圍成三角形呢？

在觀察中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有延長(zhǎng)另外兩根小棒的長(zhǎng)度才能圍成三角形。

③研究能夠圍成三角形的三根小棒，它們之間有什么關(guān)系？

該節(jié)課中，教師先后引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了兩個(gè)層次的探究活動(dòng)。一是否所有的三根小棒都能圍成三角形？二是圍成三角形的三根小棒具備什么特點(diǎn)？在這兩個(gè)層次的探究活動(dòng)中，教師先后多次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了觀察、操作和比較活動(dòng)。在觀察中初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在比較中抽象出規(guī)律，明確問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生積累了足夠的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅有動(dòng)手操作即實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，也有抽象思考即思維的經(jīng)驗(yàn)，有效地發(fā)展了學(xué)生的空間思維，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、經(jīng)歷圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程，發(fā)展學(xué)生空間觀念

“圖形與幾何”內(nèi)容重要的目標(biāo)之一是培養(yǎng)幾何直觀，發(fā)展空間觀念。所謂空間觀念是對(duì)空間中物體的位置、位置之間關(guān)系的感性認(rèn)識(shí)，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于空間觀念是這樣敘述的：“主要是指能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形?！?/p>

從上面的論述可以看到，建立空間觀念的本質(zhì)是為了提高學(xué)生的空間想象力。這個(gè)想象力既包括從現(xiàn)實(shí)物體到平面圖形的抽象，也包括從平面圖形到現(xiàn)實(shí)物體的想象。所以在圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，要結(jié)合內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，幫助學(xué)生在頭腦中建立起圖形的直觀表象，為學(xué)生提供想象的機(jī)會(huì)，以“展開與折疊”為例，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了兩個(gè)重要的轉(zhuǎn)化過(guò)程。

1.正方體到平面展開圖的轉(zhuǎn)化。（1）想象：把正方體剪開，剪開的展開圖會(huì)是什么樣的？（2）操作：剪出盡可能與其他同學(xué)不同的展開圖。（3）求同：轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，看一看，哪些展開圖實(shí)際上是相同的？（4）分類：根據(jù)展開圖的特點(diǎn)進(jìn)行分類。

2.平面展開圖到正方體的轉(zhuǎn)化。（1）動(dòng)手折：用展開圖直接折成正方體。（2）想象折：不動(dòng)手，動(dòng)腦想象怎樣把展開圖折成正方體。（3）驗(yàn)證想象：先利用展開圖，想象著標(biāo)出各面，然后動(dòng)手折，驗(yàn)證想象是否正確。

縱觀教學(xué)過(guò)程，既有動(dòng)手的過(guò)程，也有思考、想象的過(guò)程，教師指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了兩個(gè)重要的圖形轉(zhuǎn)化過(guò)程，溝通了兩個(gè)重要的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即：立體圖形和平面展開圖之間的雙向轉(zhuǎn)化，想象和實(shí)物操作的雙向轉(zhuǎn)化；溝通立體圖形和平面展開圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通頭腦想象和實(shí)物操作之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而有效發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

［1］姚莉華.“空間與圖形”有效教學(xué)策略研究［J］.基礎(chǔ)教育論壇，2011（11）.

［2］高俊生.小學(xué)數(shù)學(xué)教師“圖形與幾何”領(lǐng)域疑難問(wèn)題分析［D］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2012.

［3］李光樹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論［M］.人民教育出版社，2011.

［4］楊慶余.小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［5］藍(lán)志輝.在操作體驗(yàn)中發(fā)展小學(xué)生的空間觀念［J］.江西教育，2005（9）.

［6］周佩青.小學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)［J］.教學(xué)月刊（小學(xué)版），2005（10）.

（責(zé)任編輯：陳志華）