戰(zhàn)洪仁， 侯新春 ， 曹 穎， 李雅俠， 張先珍

(沈陽化工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

基于格子Boltzmann方法預(yù)測多孔介質(zhì)的滲透率

戰(zhàn)洪仁， 侯新春 ， 曹 穎， 李雅俠， 張先珍

(沈陽化工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

多孔介質(zhì)內(nèi)的流動涉及許多工程應(yīng)用.文章采用不可壓縮的格子Boltzmann模型對多孔介質(zhì)中的流場進(jìn)行數(shù)值模擬，從微細(xì)尺度上得到多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特性及分布情況;同時，獲得了多孔介質(zhì)的滲透率與孔隙率近似成指數(shù)的變化關(guān)系.根據(jù)達(dá)西定律和格子Boltzmann方法進(jìn)行數(shù)值模擬，成功獲得多孔介質(zhì)的滲透率，為有效研究孔隙尺度下的滲流問題提供了方法，同時為多孔介質(zhì)的工程應(yīng)用及理論研究提供了依據(jù).

多孔介質(zhì)； 格子Boltzmann方法； 孔隙率； 滲透率

目前許多工程問題都涉及到了流體在多孔介質(zhì)內(nèi)的流動，比如在油氣藏開發(fā)、地下水污染、地質(zhì)學(xué)等等[1]中都可以通過模擬來預(yù)測流體的平均、總體的流動特性.滲透率是多孔介質(zhì)流體流動特性中的重要參數(shù)之一.本文從流動狀態(tài)出發(fā)，利用格子Boltzmann方法(LBM)對這一問題進(jìn)行分析.

近年來，LBM作為一種新穎的介觀數(shù)值模擬方法已經(jīng)成功地應(yīng)用在許多多孔介質(zhì)流的研究中.在描述連續(xù)介質(zhì)時,LBM與傳統(tǒng)的宏觀方程描述有本質(zhì)的不同，該方法遵循從微觀層次描述內(nèi)部流動，并連續(xù)取離散的新途徑，它將連續(xù)介質(zhì)看作大量位于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點上的離散流體質(zhì)點粒子,粒子按碰撞和遷移規(guī)則在網(wǎng)格上運動，通過對各網(wǎng)格流體質(zhì)點及運動特征的統(tǒng)計，獲得流體宏觀運動規(guī)律[2]，其最常用的數(shù)學(xué)模型為LBGK模型.本文采用LBM模擬得到多孔介質(zhì)內(nèi)的流動特性以及不同孔隙率下滲透率的變化特點，為成功獲得多孔介質(zhì)的滲透率提供了有效方法.

1 格子Boltzmann法

采用LBGK模型，其對應(yīng)的方程如下[3]：

(1)

以二維正方形格子D2Q9模型(DdQq命名規(guī)則，d代表維數(shù)，q代表離散的速度方向個數(shù))為例，其離散速度模型如圖1所示.

圖1 D2Q9模型

粒子的離散速度：

(2)

(3)

(4)

LBM的演化過程主要是由“流動”和“碰撞”組成，這兩步交替循環(huán)進(jìn)行，直到流速收斂為止.

(5)

(6)

由此得到格子上粒子的局部平衡分布函數(shù)為：

(7)

式中：ωi為第i速度方向的權(quán)重系數(shù).

將式(7)與宏觀上描述流體流動的二維N-S方程進(jìn)行類比可得到如下關(guān)系：

(8)

(9)

(10)

采用的參數(shù)均為無量綱.此外，邊界條件的處理在格子方法中起著重要的作用，對LBM模型數(shù)值模擬的精度、穩(wěn)定性以及計算效率產(chǎn)生很大的影響.LBM的邊界處理方法簡單易行，且靈活多變[7].

2 模擬結(jié)果與討論

2.1 計算模擬

采用的多孔介質(zhì)計算區(qū)域如圖2所示，由Nx×Ny=303×101的格子所劃分，高度H=101 mm，長度L=3H，多孔介質(zhì)骨架為方柱型，邊長為D，通過輸入不同數(shù)值D來確定多孔介質(zhì)的孔隙率.邊界條件:上下邊界取周期邊界條件，流體與固體骨架表面采用半步長反彈格式的無滑移邊界[8]，出口為自由邊界.

圖2 方柱多孔介質(zhì)區(qū)域

2.2 達(dá)西定律的應(yīng)用

經(jīng)典的達(dá)西定律被廣泛用來描述多孔介質(zhì)內(nèi)流體的流動問題，并用來計算多孔介質(zhì)滲透率.達(dá)西定律公式為[9]：

(11)

圖3是方柱直徑取D=10、多孔介質(zhì)的孔隙率ε=82.02 %時，應(yīng)用LBM模擬得到的多孔介質(zhì)區(qū)域中的一部分速度場，流體是從左邊界流進(jìn)的，如圖3所示.從圖3中可以看出：X軸方向孔道中的流速明顯大于Y軸方向孔道中的流速，這是因為該邊界條件下，壓力梯度主要存在于X方向.從圖3中可以獲得多孔介質(zhì)本身的特性，如介質(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、孔隙和裂縫的分布情況，且可根據(jù)模擬結(jié)果，獲得如圖4所示的不同雷諾數(shù)和壓差的關(guān)系.從圖4中可以看出：模擬結(jié)果和Ergun、Burke and Plummer、Marcom等人公式所得出的數(shù)據(jù)趨勢基本符合.其中，當(dāng)Re/(1-ε)在小于10時，近似呈線性關(guān)系，而當(dāng)Re/(1-ε)大于10時，隨著Re的增大，壓降越來越小，減小趨勢變緩.

圖3 多孔介質(zhì)內(nèi)的速度矢量場

圖4 壓力梯度與雷諾數(shù)的關(guān)系

2.3 滲透率的確定

由上述模擬可以得到多孔介質(zhì)的滲透率.滲透率表征多孔介質(zhì)對流體的滲透能力，是多孔介質(zhì)的一個重要特性參數(shù)，是滲流力學(xué)計算中最重要的輸入?yún)?shù)之一，通過試驗方法很難準(zhǔn)確得到多孔介質(zhì)的滲透率.

對于簡單幾何構(gòu)造的結(jié)構(gòu)，可以用LBM數(shù)值模擬計算其滲透率.許多研究者都曾使用二維周期性結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值試驗，其中包括Eidsath Coulaud Sahraoui、Kaviany Flower、Bejan以及Nakayama等.1995年，Nakayama等人對立方體晶格中的重復(fù)發(fā)展流體進(jìn)行了三維數(shù)值計算，并證明了Carman-kozeny提出的水力半徑理論完全能夠勝任立方體的滲透率估算[10]，立方體的滲透率估算如下：

(12)

(13)

(14)

(15)

以上公式都接近于Carman-kozeny的經(jīng)驗表達(dá)式：

(16)

在上述方程中K為滲透率，ε為孔隙率，D即表示方塊和立方體的大小，同時也表示橫流中球體和圓柱體的直徑.

圖5為由模擬結(jié)果根據(jù)式(16)繪制得到的孔隙率與滲透率的關(guān)系圖，并與已發(fā)表的結(jié)果作了對比.圖5可以反映出本文的數(shù)值結(jié)果，其孔隙率與滲透率近似成指數(shù)關(guān)系變化:K=AεB，與前人研究的結(jié)果相吻合.

圖5 滲透率與孔隙率之間的關(guān)系

用最小二乘法擬合數(shù)值模擬結(jié)果，得A=89.873 1，B=10.652 8，所以變化公式為K=89.873 1ε10.652 8.從圖5中可以看出：當(dāng)孔隙率大于0.78時，本文結(jié)果與Lee和Yang[11]所提出的公式發(fā)生偏離，隨著孔隙率的增大，偏離越來越大.這可能是由兩個原因造成的：一方面文獻(xiàn)中所采用的多孔介質(zhì)模型是圓柱，本文采用的是方柱；另一方面，本文的排列為規(guī)則排列，而文獻(xiàn)中是交錯排列的.由上述結(jié)論可知，應(yīng)用LBM，通過上述計算得到的壓降可以簡單地獲得多孔介質(zhì)的滲透率.

3 結(jié) 論

應(yīng)用格子Boltzmann方法的LBGK模型成功模擬了多孔介質(zhì)中流動特性，并進(jìn)行了數(shù)值模擬，多孔介質(zhì)內(nèi)流體的流動狀態(tài)受到模型的影響.通過對此問題的詳細(xì)研究，得到如下結(jié)論：

(1) 通過計算得到多孔介質(zhì)內(nèi)壓降與雷諾數(shù)的關(guān)系，當(dāng)Re/(1-ε)小于10時，壓降隨雷諾數(shù)的增大而減小，近似呈線性關(guān)系；當(dāng)Re/(1-ε)大于10時，減小趨勢減緩.

(2) 經(jīng)過數(shù)值模擬結(jié)果和相關(guān)分析：在本文的研究條件下，滲透率與孔隙率近似成指數(shù)關(guān)系變化，K=89.873 1ε10.652 8；根據(jù)LBM數(shù)值模擬和達(dá)西定律可以成功預(yù)測多孔介質(zhì)的滲透率，并與經(jīng)驗公式值作對比，趨勢基本符合.

(3) 通過模擬獲得了一些多孔介質(zhì)本身特性，如介質(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、孔隙和裂縫的分布情況.

[1] SCHEIDEGGER A E.The Physics of Flow Through Porous Media[J].Soil Science,1958,86(6):355.

[2] 袁竹林,蔡桂英.圓柱繞流現(xiàn)象的格子玻耳茲曼數(shù)值模擬[J].中國電機(jī)工程學(xué)報,2004,24(8):162-165.

[3] CHEN S,DOOLEN G D.Lattice Boltzmann Method for Fluid Flows[J].Annual Reviews of Fluid Mechanics,1998,30(1):329-364.

[4] GUO Z L,SHI B C,ZHENG C G.A Couple Lattice BGK Model for the Boussinesq Equations[J].Internation Journal for Numerical Methods in Fluids,2002,39(4):325-342.

[5] 劉慕仁,陳若航,李華兵，等.二維對流擴(kuò)散方程的格子Boltzmann方法[J].物理學(xué)報,1999,48(10):1800-1803.

[6] CHEN H D,CHEN S Y,MATTHAEUS W H.Recovery of the Navier-stokes Equations Using a Lattice-gas Boltzmann Method [J].Physical Revew A,1992,45(8):R5339-R5342.

[7] 何雅玲,王勇,李慶.格子Boltzmann方法的理論及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2009:7-8.

[8] ZIEGLER D P.Boundary Conditions for Lattice Boltzmann Simulations[J].Journal of Statistical Physics,1993,71(5):1171-1177.

[9] 孔祥言.高等滲流力學(xué)[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999:31-39.

[10]劉仁興.不同粒徑分布多孔介質(zhì)滲流的微觀數(shù)值模擬研究[D].武漢:武漢工業(yè)學(xué)院,2012:6-8.

[11]LEE S L,YANG J H.Modeling of Darcy-forchheimer Drag for Fluid Flow Across a Bank of Circular Cylinders[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,1997,40(13):3149-3155.

Prediction of Permeability in Porous Media Based on Lattice Boltzmann Method

ZHAN Hong-ren, HOU Xin-chun, CAO Ying, LI Ya-xia, ZHANG Xian-zhen

(Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 10142, China)

The fluid flow in porous media is involved in various engineering applications,e.g.permeability has significant research value in oil and gas exploration field.In this paper,the flow field in porous media is simulated using incompressible lattice Boltzmann model,by which structure characteristics and distributions of porous medium were obtained with micro scale.Meanwhile,the permeability of porous media varied exponentially with the porosity of porous media.The permeability of porous medium can be successfully and directly predicted basing on numerical simulation of lattice Boltzmann method and Darcy law.The simulation provide an effective method to study the interstitial flow in micro scale,and also a foundation for the theoretical research and engineering application of porous media.

porous media; lattice Boltzmann method; porosity; permeability

2014-12-08

遼寧省博士科研啟動基金項目(20141085)

戰(zhàn)洪仁(1964-)，女，山東蓬萊人，副教授，博士，主要從事強(qiáng)化傳熱與節(jié)能技術(shù)的研究與應(yīng)用.

2095-2198(2017)01-0063-04

10.3969/j.issn.2095-2198.2017.01.011

O357.3

A