王建龍， 袁德成， 王功明

(沈陽化工大學 信息工程學院， 遼寧 沈陽 110142)

一種PID參數(shù)閉環(huán)整定的新方法研究

王建龍， 袁德成， 王功明

(沈陽化工大學 信息工程學院， 遼寧 沈陽 110142)

對于被控對象模型未知的控制系統(tǒng)，利用閉環(huán)階躍響應所得數(shù)據(jù)進行PID控制器的參數(shù)調(diào)節(jié)，此方法僅需用PD控制器對被控對象進行一次閉環(huán)階躍響應即可根據(jù)關系式得出PID控制器的比例系數(shù)、積分時間常數(shù)，以及微分時間常數(shù).從閉環(huán)階躍響應中獲取超調(diào)量與峰值時間兩個性能指標，以及控制器增益、控制器微分時間常數(shù)，經(jīng)過一系列模型為二階時滯加純滯后的被控對象試驗測試可得：所求PID控制器參數(shù)中的比例系數(shù)、積分時間以及微分時間分別與響應中的控制器增益、控制器微分時間常數(shù)、超調(diào)量，以及峰值時間成一定的函數(shù)關系.新整定方法與SIMC法(令τc=θ)相比，不僅使得到的系統(tǒng)魯棒性更高，而且在控制系統(tǒng)的響應性能上也更優(yōu)越.

PID控制器； 閉環(huán)響應； SIMC； 二階時滯加純滯后模型

經(jīng)典的PID控制器參數(shù)整定方法大多是建立在開環(huán)過程模型的基礎上，以IMC(內(nèi)?？刂品?[1]等一系列直接合成類[2]整定方法為例，其優(yōu)點在于對設定值變化響應能獲得良好的響應性能；但對時間延遲常數(shù)較大的滯后過程(包括積分過程)負載擾動響應的控制效果欠佳.經(jīng)典的開環(huán)整定方法還有Skogestad提出的SIMC法[3]，通過降低積分時間參數(shù)來增加積分控制對大延遲被控系統(tǒng)的作用強度，以提高對負載擾動的抑制作用.雖然此類開環(huán)整定方法在工業(yè)生產(chǎn)中獲得了較廣的應用，但在獲得被控對象的開環(huán)過程模型過程中存在一定的弊端，例如在利用開環(huán)試驗獲取過程模型的數(shù)據(jù)參數(shù)時，耗時較大且對被控對象造成擾動甚至使對象失控，而且在某些情況下不容許進行開環(huán)測試，用閉環(huán)測試會更有效.最早的PID參數(shù)整定方法——Z-N法[4]也用閉環(huán)響應法，即用純比例控制作用使被控系統(tǒng)達到等幅振蕩狀態(tài)，獲得臨界增益和振蕩頻率值，然后按經(jīng)驗公式計算PID控制器的3個參數(shù).但Z-N法的一個缺點是需要系統(tǒng)出現(xiàn)臨界振蕩即達到不穩(wěn)定的邊緣；另一個缺點是低于二階的過程用純比例控制，可能觀察不到等幅振蕩現(xiàn)象，而且測試得到的兩個參數(shù)(臨界增益和振蕩頻率值)用于計算PID的3個參數(shù)也不方便.

本文研究了一種新的PID控制閉環(huán)參數(shù)整定方法，對PD控制器與被控對象組成的閉環(huán)系統(tǒng)進行設定值階躍響應，利用響應所得數(shù)據(jù)進行控制器參數(shù)整定.新方法操作簡便，讓受控對象在閉環(huán)條件下得到控制只需進行較少的試驗次數(shù)即可，在進行整定試驗時無需讓受控系統(tǒng)到達不穩(wěn)定的邊緣.

1 SIMC與夏姆斯設定值法

1.1 SIMC整定法

二階時滯加純滯后模型(STPD):

(1)

式中，k為過程增益；T1為主時間常數(shù)；θ為等效的純滯后時間；T2為次時間常數(shù)(數(shù)值較T1小，但T2>θ).對于被控對象為二階模型的PID控制器，SIMC的整定公式[3]為：

(2)

Ti=min{T1,4(Tc+θ)}

(3)

Td=T2

(4)

基于快速和平穩(wěn)的控制要求，令可調(diào)參數(shù)τc等于期望閉環(huán)響應時間θ，讓控制系統(tǒng)的響應性能和魯棒性達到一個平衡狀態(tài).

SIMC調(diào)節(jié)方法的第一步需要把受控對象的模型降價到一階時滯加純滯后模型(FTPD)或二階時滯加純滯后模型(STPD)，第二步再利用得到的模型參數(shù)進行PID參數(shù)整定.第一步的模型降階所用方法有：(1) 開環(huán)階躍響應測試法；(2) 閉環(huán)階躍響應測試法[5]；(3) 利用辨識方法得到系統(tǒng)的精確模型后再用減半原則降階.雖然法(2)可以利用閉環(huán)響應測試法得到受控對象模型，但此方法仍需進行兩步操作，另外在獲取過程模型時可能會用到近似法，使得到的模型數(shù)據(jù)有所失真.

1.2 夏姆斯設定值法

為減少整定過程所需步驟，Shamsuzzoha[6]提出在純比例控制下利用設定值階躍變化的閉環(huán)響應數(shù)據(jù)直接進行PI控制器的參數(shù)整定，此法是在SIMC方法的基礎上，對一系列一階時滯加純滯后對象進行實驗得出的.它可以在被控對象模型未知的情況下，利用閉環(huán)響應所得數(shù)據(jù)進行PI控制器的參數(shù)整定.

現(xiàn)在用二階對象模型替代一階對象模型，用PD控制器替代P控制器，取一系列從時滯過程到延遲(積分)過程的二階被控模型，并對響應所得數(shù)據(jù)進行擬合分析.PD控制器有增進調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定度的優(yōu)點，并可調(diào)小比例度，從而加快調(diào)節(jié)過程，減少動態(tài)偏差和靜差.比例微分控制器相比較于純比例控制器雖然微分作用不直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但它增加了系統(tǒng)的阻尼，因此可以允許采用比較大的增益K值，這將間接地改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度[7].對于有較大慣性或滯后的被控對象，比例微分(PD)控制器能改善系統(tǒng)在調(diào)節(jié)過程中的動態(tài)特性.

2 參數(shù)整定式的獲得

2.1 閉環(huán)實驗

利用被控對象為二階時滯加純滯后的系統(tǒng)進行閉環(huán)實驗，并根據(jù)所得實驗數(shù)據(jù)進行PID控制器參數(shù)整定，閉環(huán)實驗選取設定值階躍響應.

實驗步驟如下：

(1)在PD控制器下做設定值階躍變化的閉環(huán)響應，保持受控系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀，如圖1所示.

圖1 PD控制下閉環(huán)階躍設定響應

(2) 記錄以下實驗數(shù)據(jù)：Kc0為實驗中出現(xiàn)振蕩時對應的控制器增益；Td0為實驗中出現(xiàn)振蕩時對應的控制器微分時間常數(shù)；tp為設定值階躍變化后閉環(huán)響應出現(xiàn)的第一個峰值的時間；Δys為設定值階躍變化的大小；Δyp為設定值階躍變化后閉環(huán)響應出現(xiàn)第一個峰值時對應的輸出變化值；Δy∞為設定值階躍變化后閉環(huán)響應最終的穩(wěn)態(tài)值；y0為響應的初始值.并計算超調(diào)量：

(5)

Δy∞的值需要響應穩(wěn)定之后才能獲得，但當超調(diào)量的取值相對較大時，響應需要經(jīng)過較長的時間才能達到穩(wěn)態(tài)，在此種情況下，可以在響應達到第一個負峰值時終止響應并記錄此時的峰值Δyu，并由以下公式計算Δy∞的值：

Δy∞=0.45(Δyp+Δyu)+0.1y0

(6)

(3) 不斷調(diào)整比例系數(shù)和微分時間常數(shù)，得到所需的不同超調(diào)量和峰值時間的閉環(huán)實驗數(shù)據(jù).

通常，可以利用設定值階躍變化的閉環(huán)響應實驗數(shù)據(jù)來得到受控對象的模型參數(shù)值[7]，然后再用SIMC整定方法的第二步得到控制器參數(shù).下面所推導的是利用實驗數(shù)據(jù)直接計算控制器參數(shù)的新整定方法，得到一個階躍響應數(shù)據(jù)和SIMC整定公式(2)、(3)、(4)之間的關系式，即參數(shù)整定式.

2.2Kc的整定式

2.2.1 獲取響應試驗數(shù)據(jù)

(1) 首先固定PD控制器的微分時間常數(shù)Td0，通過調(diào)整控制器的比例參數(shù)值Kc0讓閉環(huán)響應產(chǎn)生確定的超調(diào)量值，即得到超調(diào)量分別為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6的6組閉環(huán)響應試驗數(shù)據(jù).

(2) 改變PD控制器Td0的大小，并再次調(diào)整比例參數(shù)值，得到6組確定超調(diào)量大小的閉環(huán)響應試驗數(shù)據(jù).

(3) 對于每一個模型共改變5次Td0的取值，即分別令Td0=0.10、0.25、0.35、0.50、0.60，因此，共得到6×5組設定值階躍閉環(huán)響應數(shù)據(jù).

為了使15個模型的響應試驗都能獲得0.1～0.6的超調(diào)量，在這30組試驗中，Td0的取值范圍為0.1～0.6，因此從因子分析(factor analysis)的角度，Td0的取值需要包含最小值、最大值以及中間值，分別為0.10、0.35、0.60.

記錄15個模型共6×5×15組響應中比例增益Kc0的取值.

2.2.2 數(shù)據(jù)擬合分析

對實驗數(shù)據(jù)進行分析后發(fā)現(xiàn)，對于確定的超調(diào)量σ與微分時間常數(shù)Td0，Kc與Kc0成線性比例關系：

(7)

而且比值A的大小取決于σ與Td0，與模型參數(shù)量T1/θ的取值無關.以Td0=0.1為例，在不同超調(diào)量σ下，對相應的實驗數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)果如圖2所示.

圖2 不同超調(diào)量下Kc與Kc0的數(shù)據(jù)擬合(Td0=0.1)

當階躍響應的超調(diào)量確定，而微分時間常數(shù)Td0改變時，A的數(shù)值也相應改變.對相應數(shù)據(jù)進行擬合分析，以超調(diào)量σ=0.3和σ=0.4為例，擬合分析結(jié)果如圖3、圖4所示.

圖3 σ為0.3時Td0對A的影響

圖4 σ為0.4時Td0對A的影響

綜上所述，比值A是由微分時間常數(shù)和超調(diào)量共同決定的.通過數(shù)據(jù)擬合后得到比值A與微分時間常數(shù)Td0成以下函數(shù)關系：

(8)

數(shù)據(jù)擬合如圖5所示.其中a、b、c的取值與超調(diào)量σ成以下函數(shù)關系：

a=2.933σ2-2.975σ+1.062

b=-3.59σ2+3.811σ-1.502

(9)

c=1.47σ2-1.592σ+1.144

圖5 比值A與Td0的擬合關系

數(shù)據(jù)擬合如圖6所示.

綜上所述，Kc的整定式如(7)、(8)、(9)式所示.

圖6 系數(shù)a、b、c與σ的擬合關系

2.3Td的整定式

(1) 首先設定控制器的比例參數(shù)值Kc0為確定值，通過調(diào)整控制器的微分時間參數(shù)值Td0讓每組閉環(huán)響應產(chǎn)生確定的峰值時間，即得到tp分別為2.5、2.6、2.7、2.8、2.9、3.0的6組閉環(huán)響應試驗.

(2) 改變PD控制器Kc0的大小，并再次調(diào)整微分時間常數(shù)參數(shù)值Td0，得到6組確定峰值時間的閉環(huán)響應試驗.

(3)對于每一個模型共改變3次Kc0的取值，令Kc0分別為1.00、1.25、1.50，總共得到6×3組設定值階躍變化閉環(huán)響應.為了使11個模型的響應試驗都能獲得數(shù)值為2.5～3.0的峰值時間，在這18組試驗中Kc0的取值范圍為1.00～1.50，因此，從因子分析(factor analysis)的角度，Kc0的取值需要包含最小值、最大值以及中間值，分別為1.00、1.25、1.50.

記錄11個模型共11×6×3組響應中微分時間常數(shù)Td0、比例參數(shù)Kc0以及峰值時間tp.對198組試驗數(shù)據(jù)進行分析擬合之后發(fā)現(xiàn)，對于確定的比例參數(shù)Kc0以及峰值時間tp，Td與Td0成線性比例關系：

(10)

比值B的大小取決于Kc0與tp，但與模型參數(shù)量T1/T2的取值無關，B與Kc0、tp的關系式為：

(11)

2.4Ti的整定式

從式(3)可以看出：在不同的有效時間延遲θ取值情況下，積分時間參數(shù)的整定分為兩種情況，根據(jù)Shamsuzzoha在文獻[6]中所做的推導，得出：

(12)

Ti2=8θ

(13)

選取4個具有代表性的二階時滯過程模型，與PD控制器組成閉環(huán)系統(tǒng)并進行設定值單位階躍響應試驗，對實驗所得數(shù)據(jù)進行擬合處理(結(jié)果如同圖7所示)，利用有效時間延遲θ與峰值時間tp的比值跟超調(diào)量之間的關系式，最終確定θ的取值.

圖7 θ與tp的比值和超調(diào)量之間的關系

(1)對于具有較大時間延遲參數(shù)(T1/θ<8)的被控過程，θ與tp的比值介于0.16(T1/θ=8、超調(diào)量=0.1時)至0.49(T1/θ=0.1、超調(diào)量=0.6時)之間，在超調(diào)量的中間值0.3處，比值的變化為0.21～0.48.為了能得到較大的積分時間參數(shù)，可以保守地選擇θ=0.49tp.因此，當具有較大的有效時間延遲常數(shù)時，積分時間參數(shù)的整定式為：

(14)

(2)對于具有較小時間延遲參數(shù)(T1/θ>8)的被控過程，θ與tp的比值介于0.14(T1/θ=100、超調(diào)量=0.1時)至0.26(T1/θ=0.8、超調(diào)量=0.6時)之間，選擇平均值θ=0.2tp，而且在超調(diào)量中間值0.3處，比值的變化為0.19～0.21.因此，當具有較小的有效時間延遲常數(shù)θ時，積分時間參數(shù)的整定式為：

Ti2=1.6tp

(15)

3 仿真與對比分析

選取4個過程模型，分別用新整定法和SIMC法進行PID控制器參數(shù)整定，計算控制器與被控對象組成閉環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度Ms，并將其作為衡量控制系統(tǒng)魯棒性的指標.Ms的計算公式為：

(16)

由于Ms等于在奈奎斯特曲線中從環(huán)路傳遞函數(shù)到臨界點(-1，0)的最短距離值，因此，Ms值越小則說明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量值越大，即魯棒性越高.對比結(jié)果如表1所示.

以表1中第一個過程模型為例，以新整定方法和SIMC法所得結(jié)果構(gòu)成的PID控制器與被控對象組成閉環(huán)系統(tǒng)，在t=0 s時進行單位階躍響應，并在t=40 s時加入單位階躍作為負載擾動，對比仿真結(jié)果如圖8所示.

通過計算輸出量的絕對誤差積分(IAE)和輸出量的總變分(TV)來衡量系統(tǒng)響應的輸出和輸入控制性能，絕對誤差積分和總變分的計算公式分別為：

(17)

(18)

其中，在利用(18)式計算之前需要將輸入信號離散化為數(shù)組的形式，即[u1,u2,u3,…,ui…].還應該注意的是，總變分(TV)也可表示為：

(19)

即輸入量微分的絕對值的積分值，因此總變分值可以很好地衡量信號的平滑度.并計算相應的超調(diào)量和峰值，如表2所示.如同最大靈敏度一樣，絕對誤差積分(IAE)和輸出量的總變分(TV)兩者的數(shù)值越小，表示控制器的性能越優(yōu)越；但對于一個已經(jīng)達到平衡狀態(tài)的控制器而言，為獲得更小的絕對誤差積分(IAE)，只能增加總變分(TV)和最大靈敏度(Ms)值，反之亦然.

圖8 響應結(jié)果的仿真對比

表1 新整定方法與SIMC(令τc=θ)的對比

表2 響應性能指標的數(shù)據(jù)對比

從表1和表2的對比結(jié)果可以看出：由新整定方法計算得出的最大靈敏度值、輸出量總變分(TV)值普遍比SIMC所得對應數(shù)值要小，說明由新整定方法計算得出的控制系統(tǒng)魯棒性更高、系統(tǒng)控制性能更優(yōu)越.而在與一階模型的“夏姆斯設定值法”對比中發(fā)現(xiàn)，新整定方法所得控制系統(tǒng)對擾動的抑制能力更強.

4 結(jié) 論

設計了一種新的PID控制器參數(shù)閉環(huán)整定方法，對于被控對象模型未知的控制過程，將被控對象與PD控制器組成閉環(huán)系統(tǒng)并進行一次設定值階躍響應，利用響應所得數(shù)據(jù)，即可根據(jù)關系式得出PID控制器的3個參數(shù)值.比例系數(shù)的參數(shù)整定式為：

Kc=AKc0/F

a=2.933σ2-2.975σ+1.062

b=-3.59σ2+3.811σ-1.502

c=1.47σ2-1.592σ+1.144

微分時間常數(shù)Td的參數(shù)整定式：

積分時間常數(shù)Ti的參數(shù)整定式為：

其中，F(xiàn)=1時，可得到較好的魯棒性和適當?shù)捻憫俣龋瑑烧咛幱谝粋€平衡狀態(tài)(對應于SIMC法中令閉環(huán)時間常數(shù)等于有效時間延遲)；如果想提高系統(tǒng)的魯棒性，可適當增加F的取值，也可以通過減小F的取值來提高響應速度，但系統(tǒng)的魯棒性會降低.與其它經(jīng)典PID控制器參數(shù)整定方法相比，該閉環(huán)整定方法操作簡單，且在控制系統(tǒng)的性能指標和魯棒性方面也能取得理想效果.

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[6] SHAMSUZZOHA M，SKOGESTAD S，HALVORSEN I J.A Simple Approach for On-line PI Controller Tuning Using Closed-loop Setpoint Resp-onses[J].Computer Aided Chemical Engineering，2010，28(4):619-624.

[7] 袁德成.過程控制工程[M].北京：機械工業(yè)出版社，2013:55-56.

A New Closed-loop Approach for PID Tuning

WANG Jian-long， YUAN De-cheng， WANG Gong-min

(Shenyang University of Chemical Technology， Shenyang 110142， China)

A simple and new method is proposed for the PID controller tuning for an unidentified system by using closed-loop responses.The proposed method requires only one step test in the closed-loop system in which the process is controlled by the PD controller.A series of data is obtained from closed-loop step response，contain the overshoot，the corresponding time to reach the peak，controller′s proportional gain and the controller′s derivative time.Based on a range of second-order with delay test processes，two simple analytical correlations can be derived for the proportional gain，integral time and derivative time as equations set respectively.The proposed method is compared with the SIMC tuning rule，and not only gives good robustness，but also possess fine performance.

PID controller; closed-loop response; SIMC; second-order with delay model

2014-11-04

王建龍(1988-)，男，山東濰坊人，碩士研究生在讀，主要從事復雜工業(yè)工程的建模與控制研究.

袁德成(1960-)，男，內(nèi)蒙古阿拉善人，教授，博士，主要從事化工過程建模、控制與優(yōu)化的研究.

2095-2198(2017)01-0083-08

10.3969/j.issn.2095-2198.2017.01.015

TP13

A