摘要：數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的平均值，在許多實(shí)際問題中，只需要知道這個平均值就可以了。但是數(shù)學(xué)期望畢竟只能反映平均值，有很大的局限性。因此，我們使用方差來解決一些實(shí)際中的問題。

關(guān)鍵詞：方差；離散程度；數(shù)學(xué)期望；應(yīng)用

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)識別碼：A 文章編號：1001-828X（2017）013-0-01

一、方差的定義和性質(zhì)

數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量的平均值。在很多實(shí)際問題中，大多用平均值來解決問題。但其也存在著一定的局限性。因此，在一些情況中，僅僅知道平均值是不夠的。 因此，引入方差的概念。

1.方差的定義

定義1[1] 設(shè)是一個隨機(jī)變量，若存在，則稱為的方差，記為，或。即稱為方差，而稱為標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。方差是隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。（標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，離散程度越大。否則，反之）。若的取值比較集中，則方差較小，若的取值比較分散，則方差較大。因此，是刻畫取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

2.方差的性質(zhì)

（1）設(shè)C是常數(shù)，則；

（2）設(shè)是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有；

（3）設(shè) 與是兩個隨機(jī)變量，則

，

特別的，當(dāng)兩個不相關(guān)的隨機(jī)變量，有，，事實(shí)上，

，

因?yàn)楹酮?dú)立，所以從而有。

（4）的取以概率為的常數(shù)值C，即其中。

（5）。

二、方差在實(shí)際中的應(yīng)用

方差的應(yīng)用非常廣泛，以下兩個例子分別講了方差在經(jīng)濟(jì)管理和農(nóng)業(yè)決策方面的應(yīng)用

1.方差在經(jīng)濟(jì)管理決策中的應(yīng)用

例1 某企業(yè)在是否轉(zhuǎn)型需要做出決策，通過調(diào)查給出了以下評估，若轉(zhuǎn)型失敗將損失萬元/月；若轉(zhuǎn)型成功的概率為，若轉(zhuǎn)型成功可增加利潤萬元/月；若不轉(zhuǎn)型利潤不變。那么該企業(yè)應(yīng)該做出何種決策呢？

解 選擇轉(zhuǎn)型能夠增加的利潤值用表示，那么的概率分布是

，

所以，選擇轉(zhuǎn)型能增加的利潤期望值為

，

若不轉(zhuǎn)型，增加的利潤為零，因此，該企業(yè)應(yīng)該作出轉(zhuǎn)型的決策。

2.方差在農(nóng)業(yè)決策問題中的應(yīng)用

解 先求出A、B兩種黃瓜產(chǎn)量的期望值

，

因此可以得出A、B兩種黃瓜期望相等。

求出兩種黃瓜產(chǎn)量的方差

，

，

B的方差大于A的方差，因此，由計(jì)算結(jié)果可以得出黃瓜品種甲比較穩(wěn)定，所以選擇種植A黃瓜。

三、結(jié)語

方差不僅僅表達(dá)了樣本偏離均值的程度，更是揭示了樣本內(nèi)部彼此波動的程度，也可以理解為方差代表了樣本彼此波動的期望。因此它是測算數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最重要的方法，它被我們廣泛應(yīng)用于實(shí)際問題中。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版，2008.

作者簡介：胡玉婷（1993-），女，碩士研究生，主要從事概率論研究。